普通高等学校招生全国统一考试广东卷文科数学试题答案.doc
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东山教育中小学课外辅导
2004年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学试题参考答案
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,满分60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B卷
C
A
C
A
B
D
D
A
A
B
D
B
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,满分16分.
(13)(14)-2i(15)(16)
三、解答题:
本大题共6小题,满分74分。
解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17.解:
∵成公比为2的等比数列,∴,
∵成等比数列
∴
即
解得,或
当时,,与等比数列的首项不为零,故应舍去,
当时,或,
所以或.
18.解:
(I)以A为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正向建立空间直角坐标系,则有
、、、、
于是,
设向量与平面C1DE垂直,则有
,其中
取,则是一个与平面垂直的向量
向量与平面垂直
与所成的角为二面角的平面角
(II)设EC1与FD1所成角为β,则
19.证明:
(I)
故在(0,1上是减函数,而在(1,+∞)上是增函数,由且得0故,即
(II)0曲线在点处的切线方程为:
,即
∴切线与x轴、y轴正向的交点为和
故所求三角形面积听表达式为:
20.解:
如图,
以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正向,建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点,则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020)
设为巨响为生点,由A、C同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因B点比A点晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线上,
依题意得a=680,c=1020,
故双曲线方程为
用y=-x代入上式,得,∵|PB|>|PA|,
,即,故
答:
巨响发生在接报中心的西偏北450距中心处.
21.(I)解:
函数,连续,且
,令,得
当时,,为减函数,
当时,,为增函数,
根据函数极值判别方法,为极小值,而且
对都有
故当整数m≤1时,f(x)≥1-m≥0
(II)证明:
由(I)知,当整数m>1时,f(1-m)=1-m<0,
函数,在上为连续减函数.
当整数时,与异号;
由所给定理知,存在唯一的,使
而当整数m>1时,
(,上述不等式也可用数学归纳法证明)
类似地,当整数m>1时,函数,在上为连续增函数且f(1-m)与异号,由所给定理知,存在唯一的,使
故当m>1时,方程f(x)=0在内有两个实根.
22.解:
首先讨论l不与x轴垂直时的情况,设直线l的方程为
y=kx+b,如图所示,l与椭圆、双曲线的交点为:
依题意有,由
得 ……
(1)
由得 ……
(2)
若,则与双曲线最多只有一个交点,不合题意,故
由
或
(i)当时,由
(1)得,由
(2)得
由,即
故l的方程为
(ii)当b=0时,由
(1)得,由
(2)得
由即
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得,
由
即
故的方程为
综上所述,故l的方程为、和
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