11二轮复习讲义常用逻辑用语Word格式文档下载.docx
《11二轮复习讲义常用逻辑用语Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《11二轮复习讲义常用逻辑用语Word格式文档下载.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
（2）命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；
命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．
4．全（特）称命题及其否定
（1）全称命题p：
∀x∈M，p（x）．它的否定綈p：
∃x0∈M，綈p（x0）.
（2）特称命题p：
∃x0∈M，p（x）．它的否定綈p：
∀x∈M，綈p（x）.,Y
1．忽略集合元素互异性：
在求解与集合有关的参数问题时，一定要注意集合元素的互异性，否则容易产生增根．
2．忽略空集：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在分类讨论时要注意“空集优先”的原则．
3．混淆命题的否定与否命题：
在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的条件进行否定，又对命题的结论进行否定.
1．（文）（2018·
全国卷Ⅰ，1）已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝（A）
A．{0,2} B．{1,2}
C．{0}D．{－2，－1,0,1,2}
[解析] A∩B＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}．
故选A．
（理）（2018·
全国卷Ⅰ，2）已知集合A＝{x|x2－x－2>
0}，则∁RA＝（B）
A．{x|－1<
x<
2}
B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<
－1}∪{x|x>
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] ∵x2－x－2>
0，∴（x－2）（x＋1）>
0，∴x>
2或x<
－1，即A＝{x|x>
－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．
由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
故选B．
2．（文）（2018·
全国卷Ⅲ，1）已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝（C）
A．{0} B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] ∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，∴A∩B＝{1,2}．
故选C．
全国卷Ⅱ，2）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（A）
A．9B．8
C．5D．4
[解析] 将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即（－1，－1），（－1,0），（－1,1），（0，－1），（0,0），（0,1），（1，－1），（1,0），（1,1），共有9个．
3．（文）（2018·
天津卷，3）设x∈R，则“x3>
8”是“|x|>
2”的（A）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由x3>
8⇒x>
2⇒|x|>
2，反之不成立，
故“x3>
2”的充分不必要条件．
天津卷，4）设x∈R，则“
<
”是“x3<
1”的（A）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由“
＜
”得0＜x＜1，则0<
x3＜1，即“
”⇒“x3＜1”；
由“x3＜1”得x＜1，当x≤0时，
≥
，即“x3＜1”/⇒“
”．所以“
”是“x3＜1”的充分而不必要条件．
4．（2018·
浙江卷，6）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（A）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
[解析] ∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，则一定有m∥α，
但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，
∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．
5．（文）（2018·
北京卷，4）设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的（B）
[解析] a，b，c，d是非零实数，若a＜0，d＜0，b＞0，c＞0，且ad＝bc，则a，b，c，d不成等比数列（可以假设a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3）．若a，b，c，d成等比数列，则由等比数列的性质可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件．
北京卷，6）设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的（C）
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由|a－3b|＝|3a＋b|，得（a－3b）2＝（3a＋b）2，
即a2＋9b2－6a·
b＝9a2＋b2＋6a·
b.
又a，b均为单位向量，所以a2＝b2＝1，
所以a·
b＝0，能推出a⊥b.
由a⊥b得|a－3b|＝
，|3a＋b|＝
，
能推出|a－3b|＝|3a＋b|，
所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要条件．
6．（文）（2017·
全国卷Ⅰ，1）已知集合A＝{x|x<
2}，B＝{x|3－2x>
0}，则（A）
A．A∩B＝{x|x<
} B．A∩B＝∅
C．A∪B＝{x|x<
}D．A∪B＝R
[解析] 由3－2x>
0，得x<
∴B＝{x|x<
}，
∴A∩B＝{x|x<
2}∩{x|x<
}＝{x|x<
（理）（2017·
1}，B＝{x|3x<
1}，则（A）
0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>
1}D．A∩B＝∅
[解析] 由3x<
1，得x<
0，
∴B＝{x|3x<
1}＝{x|x<
0}．
1}∩{x|x<
0}＝{x|x<
0}，故选A．
7．（2017·
全国卷Ⅱ，2）设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（C）
A．{1，－3} B．{1,0}
C．{1,3} D．{1,5}
[解析] ∵A∩B＝{1}，∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，
∴B＝{1,3}．
8．（文）（2017·
山东卷，5）已知命题p：
∃x∈R，x2－x＋1≥0；
命题q：
若a2<
b2，则a<
b.下列命题为真命题的是（B）
A．p∧qB．p∧（綈q）
C．（綈p）∧qD．（綈p）∧（綈q）
[解析] ∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×
1×
1<
0，∴x2－x＋1>
0恒成立，
∴p为真命题，綈p为假命题．
∵当a＝－1，b＝－2时，（－1）2<
（－2）2，但－1>
－2，
∴q为假命题，綈q为真命题．
根据真值表可知p∧（綈q）为真命题，p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）为假命题．
山东卷，3）已知命题p：
∀x>
0，ln（x＋1）>
0；
若a>
b，则a2>
b2.下列命题为真命题的是（B）
[解析] ∵x>
0，∴x＋1>
1，
∴ln（x＋1）>
ln1＝0.
∴命题p为真命题，
∴綈p为假命题．
∵a>
b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，（－2）2＝4，此时a2<
b2，
∴命题q为假命题，
∴綈q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧（綈q）为真命题，（綈p）∧q为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题．
例1
（1）（文）设集合M＝{x|x2＋x－6<
0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（A）
A．[1,2） B．[1,2]
C．（2,3]D．[2,3]
[解析] ∵M＝{x|－3<
2}，N＝{x|1≤x≤3}，
∴M∩N＝{x|1≤x<
2}，故选A．
（理）已知集合A＝{x|x>
2}，B＝{x|x<
2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是（A）
A．1B．2
C．3D．4
[解析] ∵B＝{x|x<
2m}，∴∁RB＝{x|x≥2m}，
又∵A⊆∁RB，
∴有2m≤2，即m≤1.
由选项可知选A．
（2）（文）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为（B）
[解析] A∩B＝{1,2,3,4}∩{2,4,6,8}＝{2,4}，
∴A∩B中共有2个元素，故选B．
（理）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B中元素的个数为（B）
A．3B．2
C．1D．0
[解析] 集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，
集合B表示直线y＝x上的所有点的集合．
结合图形可知，直线与圆有两个交点，
所以A∩B中元素的个数为2.
（3）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{（x1＋x2，y1＋y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（C）
A．77B．49
C．45D．30
[解析] 由题得A＝{（－1,0），（0,0），（1,0），（0,1），（0，－1）}，如下图所示：
因为B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，由A⊕B的定义可得，A⊕B相当于将A集合中各点上下平移或左右平移0,1,2个单位，如下图所示：
所以A⊕B中的元素个数为7×
7－4＝45.
『规律总结』
（1）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．
（2）对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．
G
1．（文）设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（C）
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析] 由集合A＝{x|－2≤x≤2}，易知A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，故选C．
（理）设集合M＝{x|－2<
3}，N＝{x|2x＋1≤1}则M∩（∁RN）＝（D）
A．（3，＋∞）B．（－2，－1]
C．[－1,3）D．（－1,3）
[解析] 集合N＝{x|2x＋1≤1}＝{x|x＋1≤0}＝{x|x≤－1}．故∁RN＝{x|x>
－1}，故M∩∁RN＝{x|－1<
3}．故选D．
2．（文）已知集合U＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）＝（A）
A．{x|1<
2}B．{x|1≤x≤2}
C．{x|x≤2}D．{x|x≥1}
[解析] A∪B＝{x|x≤1}∪{x|x≥2}＝{x|x≤1或x≥2}，所以∁U（A∪B）＝{x|1<
2}．
（理）已知集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<
0}，则A∩B＝（A）
A．{－1,0}B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{0,1,2}
[解析] 由题意知B＝{x|－2<
1}，所以A∩B＝{－1,0}，故选A．
3．（文）已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|（a－2）（a2－3）＝0，a∈M}，则集合A的子集共有（B）
A．1个B．2个
C．4个D．8个
[解析] |a|≥2⇒a≥2或a≤－2.又a∈M，（a－2）（a2－3）＝0⇒a＝2或a＝±
（舍），即A中只有一个元素2，故A的子集只有2个．
（理）已知集合A＝{x|x2－3x＋2<
0}，B＝{x|log4x>
}，则（D）
A．A⊆BB．B⊆A
C．A∩∁RB＝RD．A∩B＝∅
[解析] 因为x2－3x＋2<
所以1<
2，
又因为log4x>
＝log42，
所以x>
所以A∩B＝∅.
例2
（1）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（B）
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
[解析] 若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.
∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．
其逆命题为：
若|z1|＝|z2|，则z1，z2互为共轭复数，
若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1，z2不为共轭复数．
∴逆命题为假，否命题也为假．
（2）已知命题p：
∃x∈R，使sinx＝
；
∀x∈R，都有x2＋x＋1>
0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（綈q）”是假命题；
③命题“（綈p）∨q”是真命题；
④命题“（綈p）∨（綈q）”是假命题．
其中正确的结论是（A）
A．②③B．②④
C．③④D．①②③
[解析] ∵
>
1，∴命题p是假命题．
∵x2＋x＋1＝（x＋
）2＋
∴命题q是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧（綈q）”为假，“（綈p）∨q”为真，“（綈p）∨（綈q）”为真，所以只有②③正确，故选A．
（1）一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
（2）四种命题真假的判断依据：
一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．
（3）形如p∨q，p∧q，綈p命题的真假根据真值表判定．
（4）全称命题与特称（存在性）命题真假的判定：
①全称命题：
要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p（x）成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称（存在性）命题：
要判定一个特称（存在性）命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p（x0）成立即可，否则，这一特称（存在性）命题就是假命题．
1．设a，b，c是非零向量．已知命题p：
若a·
b＝0，b·
c＝0，则a·
c＝0；
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（A）
A．p∨q B．p∧q
C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）
[解析] 由题意知命题p为假命题，命题q为真命题，所以p∨q为真命题．故选A．
2．以下四个命题中，真命题的个数是（C）
①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；
②存在正实数a，b，使得lg（a＋b）＝lga＋lgb；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC中，A<
B是sinA<
sinB的充分不必要条件．
A．0B．1
C．2D．3
[解析] 对于①，原命题的逆命题为：
若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故①是假命题；
对于②，根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg（a＋b）＝lga＋lgb，故②是真命题；
对于③，易知“所有奇数都是素数”的否定就是“至少有一个奇数不是素数”，故③是真命题；
对于④，根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<
B⇔a<
b（a，b为角A，B所对的边）⇔2RsinA<
2RsinB（R为△ABC外接圆的半径）⇔sinA<
sinB，故A<
sinB的充要条件，故④是假命题，选C．
3．（2018·
北京卷，1）已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝（A）
A．{0,1}B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}
[解析] ∵A＝{x||x|<
2}＝{x|－2<
2}，
∴A∩B＝{0,1}．
例3
（1）设θ∈R，则“|θ－
|<
”是“sinθ<
”的（A）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
[解析] ∵|θ－
∴－
θ－
，即0<
θ<
.
显然0<
时，sinθ<
成立．
但sinθ<
时，由周期函数的性质知0<
不一定成立．故0<
是sinθ<
的充分而不必要条件．
（2）若p是q的充分不必要条件，则下列判断正确的是（C）
A．綈p是q的必要不充分条件
B．綈q是p的必要不充分条件
C．綈p是綈q的必要不充分条件
D．綈q是綈p的必要不充分条件
[解析] 由p是q的充分不必要条件可知p⇒q，q⇒/p，由互为逆否命题的两命题等价可得綈q⇒綈p，綈p⇒/綈q，
∴綈p是綈q的必要不充分条件，故选C．
（3）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<
0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<
0”的（C）
A．充要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 设数列的首项为a1，则a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2（1＋q）<
0，即q<
－1，故q<
0是q<
－1的必要而不充分条件．故选C．
（4）已知“x>
k”是“
1”的充分不必要条件，则k的取值范围是（A）
A．[2，＋∞）B．[1，＋∞）
C．（2，＋∞）D．（－∞，－1]
[解析] 由
1，可得
－1＝
0，所以x<
－1或x>
2，因为“x>
1”的充分不必要条件，所以k≥2.
1．判定充分条件与必要条件的3种方法
（1）定义法：
正、反方向推，若p⇒q，则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；
若p⇒q，且q⇒/p，则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）．
（2）集合法：
利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）：
若A＝B，则是B的充要条件．
（3）等价法：
将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
2．提醒：
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B，而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A．
娄底二模）“a<
－1”是“直线ax＋y－3＝0的倾斜角大于
[解析] 设直线ax＋y－3＝0的倾斜角为θ，则tanθ＝－a，若a<
－1，得θ角大于
，由倾斜角θ大于
得－a>
1，或－a<
0即a<
－1或a>
0.
（理）“a2＝1”是“函数f（x）＝lg（
＋a）为奇函数”的（B）
[解析] a2＝1⇒a＝±
1，f（x）＝lg（
＋a）为奇函数等价于f（x）＋f（－x）＝0，即lg（
＋a）＋lg（
＋a）＝0⇔（
＋a）（
＋a）＝1化简得a＝－1，故选B．
2．（文）若集合A＝{x|x2－x－2<
0}，B＝{x|－2<
a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（C）
A．a>
－2 B．a≤－2
C．a>
－1D．a≥－1
[解析] 由x2－x－2<
0知－1<
即A＝{x|－1<
又B＝{x|－2<
a}及A∩B≠∅知a>
－1.
（理）设a，b都是不等于1的正数，则“3a>
3b>
3”是“loga3<
logb3”的（B）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
[解析] 由3a>
3，知a>
b>
1，所以log3a>
log3b>
0，所以
，即loga3<
logb3，所以“3a>
logb3”的充分条件；
但是取a＝
，b＝3也满足loga3<
logb3，不符合a>
1.所以“3a>
logb3”的充分不必要条件．
A组
天津卷，1）设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<
2}，则（A∪B）∩C＝（C）
A．{－1,1} B．{0,1}
C．{－1,0,1}D．{2,3,4}
[解析] ∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，
∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．
又C＝{x∈R|－1≤x<
∴（A∪B）∩C＝{－1,0,1}．
天津卷，1）设全集为R，集合A＝{x|0<
2}，B＝{x|x≥1}，则A∩（∁RB）＝（B）
A．{x|0<
x≤1}B．{x|0<
1}
C．{x|1≤x<
2}D．{x|0<
[解析] 全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁RB＝{x|x<
1}．
∵集合A＝{x|0<
2}，∴A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜1}．
故选
升级会员 