一次函数及反比例函数的图象与性质Word格式.docx

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k、b的符号

草图

经过的象限

k＞0，b＞0

直线经过第一、二、三象限

k＞0，b＜0

直线经过第一、三、四象限

k＜0，b＞0

直线经过第一、二、四象限

k＜0，b＜0

直线经过第二、三、四象限

（二）反比例函数

1、反比例函数定义：

形如

叫做反比例函数．自变量的取值范围是x≠0．

2、反比例函数的图象是双曲线．

3、反比例函数

的性质

（1）当k＞0时，图象的两分支分别在第一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．

（2）当k＜0时，图象的两分支分别在第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

（三）基本规律

1、确定一次函数的解析式，通常采用待定系数法，由题目已知条件得到关于k，b的二元一次方程组，再求出k，b．

2、对于直线l1：

y=k1x＋b1，与l2；

y=k2x＋b2．

　当l1∥l2时，k1=k2且b1≠b2，反之当k1=k2且b1≠b2时，l1∥l2．

3、画一次函数的图象时通常只需描出图象上任两点的坐标，再过这两点画一条直线，一般画出直线y=kx＋b与两坐标轴的交点

和（0，b），正比例函数图象过（0，0）和点（1，k）．

4、反比例函数

的图象是断开的，产生的原因是自变量的取值范围是x≠0，这两条曲线可以无限地接近x轴、y轴，但永远不会与x轴、y轴相交．双曲线是关于原点成中心对称的，也是轴对称的．

5、过双曲线

上任一点向x轴或y轴引垂线，并连接该点与原点，得到直角三角形，这个直角三角形的面积与点的位置无关，是一个定值为

．这一结论常常用到，应特别记住．

二、典型例题剖析

例1、

（1）若函数

是一次函数，则m=________．

（2）已知m是整数且一次函数y=（m＋4）x＋m＋2的图象不经过第二象限，则m=________．

点评：

（1）一次函数y=kx＋b中k≠0这一条件不能忽视．

（2）直线y=kx＋b不过第二象限的条件

要特别注意，此时直线经过第一、三象限是正比例函数．

例2、已知y＝y1＋y2，y1与x－1成正比例，y2与x＋1成反比例．当x=0时y=－5，当x=2时y=1，那么当y=－3时x=________．

分析：

　　根据题意，分别设出y1与y2的函数关系式，根据y=y1＋y2，把x、y代入求出比例系数，得到y与x的函数关系式，再求x的值．

注：

　　这里必须注意，其中的两个比例函数要用两个不同字母k1，k2，千万不要用同一个字母k，这是同学们易错的地方．

例3、已知一直线经过点A（－1，1）和B（1，－5）求直线AB的解析式．

　　直线的解析式可设为y=kx＋b，因为k，b待定，由直线过A（－1，1）和B（1，－5）可以确定．

解：

　　设直线AB的解析式为：

y=kx＋b（k≠0）

　　∵点A（－1，1）和B（1，－5）在直线y=kx＋b上，

　　∴直线AB的解析式为y=－3x－2

　　求函数的解析式可采用待定系数法，这样把求函数的关系转化为解二元一次方程组的问题来解决，用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤为：

（1）设函数的解析式为y=kx＋b（k≠0）．

（2）将已知点的坐标代入函数的解析式，得出方程组．

　　（3）求k，b的值，得函数的解析式．

例4、如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线

与直线y=－x＋（k＋1）在第四象限的交点，AB⊥x轴于B且

．

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标及△AOC的面积．

与点A在双曲线上位置无关，把△AOC分割为△COE与△AOE，是因为这两个三角形的面积均可求，其OE边上的高分别是C、A两点纵坐标的绝对值，应注意数形结合．

例5、如图，已知直线y=－x＋2与x轴、y轴分别交于A和点B，另一直线y=kx＋b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB分成两部分．

（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值．

（2）若△AOB被分成的两部分面积比为1︰5，求k和b的值．

（1）由直线y=kx＋b（k≠0）经过点C（1，0）且把△AOB分成面积相等的两部分，则该直线应为△ABO的中线BC所在的直线，由题意知B点坐标为B（0，2），

　　∴y=kx＋b经过点B（0，2），C（1，0），易求得k=－2，b=2．

（2）如果直线y=kx＋b分△AOB两部分的面积比为1︰5，则有两种情形：

①过点C作直线y=kx＋b交y轴于点E（0，y0），

例6、已知关于x的函数y=k（x－1）和

它们在同一坐标系的图象大致是（　）

　　　　A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．

选B．

　　按比例系数的性质进行分类讨论．当k＞0时双曲线

在第二、四象限，而直线y=k（x－1）在第一、三、四象限，故只有选B．

例7、已知（－1，y1），（2，y2），（π，y3）在反比例系数

的图象上，则下列结论正确的是（　）

A．y1＞y2＞y3　　　　　　　　　　B．y1＞y3＞y2

C．y3＞y1＞y2　　　　　　　　　D．y2＞y3＞y1

　　无论k为何值，反比例系数－k2－1＜0，所以双曲线

的两个分支分别位于第二、四象限．故当x＜0时y＞0，当x＞0，y＜0．

∴y1＞y2，y1＞y3．

又∵2＜π，∴y3＞y2．

∴y1＞y3＞y2，选B．

例8、已知反比例函数

的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），且当x1＜0＜x2时有y1＜y2，则m的取值范围是（　）

选C．由x1＜0＜x2时有y1＜y2知1－2m＞0，

例9、某批发商欲将一批海产品由A地运往B地，汽车货运公司和铁路货运公司均开办海产品运输业务，已知运输路程为120千米，汽车和火车的速度分别为60千米/时和100千米/时，两货运公司的收费项目及收费标准如下表所示：

运输工具

运输费单价

（元/吨·

千克）

冷藏费单价

小时）

过路费

（元）

装卸及管理费

汽车

2

5

200

火车

1.8

1600

　　注：

“元/吨·

千米”表示每吨货物每千米运费；

小时”表示每吨货物每小时冷藏费．

（1）设该批发商待运的海产品有x（吨），汽车货运公司和铁路货运公司所要收取的费用分别为y1（元）和y2（元），试求y1和y2与x的函数关系式．

（2）若该批发商待运的海产品不少于30吨，为节省运费，他应选哪个货运公司承担运输业务？

这是一道图表信息题，决策题型，读懂题意，列出两个函数关系式是关键．

（1）根据题意有

（2）当y1=y2即222x＋1600=250x＋200，解得：

x=50；

　　当y1＞y2即250x＋200＞222x＋1600，解得：

x＞50；

　　当y1＜y2即250x＋200＜222x＋1600，解得x＜50.

　　当所运产品刚好50吨时，选汽车公司或铁路货运公司中的任意一家均可；

当所运产品不少于30吨且不足50吨时，选择汽运公司，当所运海产品多于50吨时，应选择铁路货运公司．

例10、十堰市广电局与长江证券公司联合推出宽带网业务，用户通过宽带网可以享受新闻点播、点击武当、影视欣赏、股市大户室等项服务．其上网费用的方式有：

方式一，每月80元包干；

方式二，每月上网时间（x小时）与上网费（y元）的函数关系如图所示；

方式三，以0小时为起点，每小时收费1.6元，月收费不超过120元，若设一用户每月上网x小时，月上网总费用y元．

（1）根据图象求出方式二中y与x的函数关系式（0≤x≤100）；

（2）试写出方式三中，y与x的函数关系式（0≤x≤75）

　　（3）试问此用户每月上网60小时，选用哪种方式上网，其费用最少？

　　这是一道图象信息题，根据题意，结合图象解题，其中求方式二的解析式是难点，应分0≤x≤50和50≤x≤100两个区间求解析式．

（1）①当0≤x≤50时，y=58．

　　②当50≤x≤100时，设y=kx＋b（k≠0），由图象可知直线经过（50，58），（100，118）两点，

（2）当0≤x≤75时y=1.6x

　　（3）当x=60时，方式一收费y=80元；

　　当x=60时，方式二收费y=1.2×

60－2=70元；

　　当x=60时，方式三收费y=1.6×

60=96元．

　　故用户每月上网60小时，应选择方式二上网费用最小