人教版中考数学拓展题型二次函数综合题有答案.doc

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目录

拓展题型　二次函数综合题 1

拓展一　二次函数与线段和差问题 1

拓展二　二次函数与三角形面积问题 10

拓展三　二次函数与特殊四边形判定问题 23

拓展四　二次函数与特殊三角形判定问题 37

拓展题型　二次函数综合题

拓展一　二次函数与线段和差问题

针对演练

1.（2016贺州10分）如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，E点坐标为（6，8），抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O，A，E三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）求AD的长；

（3）点P是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P的坐标．

第1题图

2.（2016大连12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y＝x2＋与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称．

（1）填空，点B的坐标是________；

（2）过点B的直线y＝kx＋b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC.求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；

（3）在

（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．

第2题图

3.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接CB交EF于点M，再连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；

（3）设G（4，－5）在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？

如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

第3题图备用图

【答案】

1．解：

（1）∵四边形OABC是矩形，B（10，8），

∴A（10，0）.……………………………………………………（1分）

又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（10，0）、E（6，8）和O（0，0），

∴，解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x；………………………（3分）

（2）由题意可知：

AD＝ED，BE＝10－6＝4，AB＝8，………（4分）

设AD为x，则ED＝x，BD＝AB－AD＝8－x，

在Rt△BDE中，ED2＝EB2＋BD2，

即x2＝42＋（8－x）2，…………………………………………（5分）

解得x＝5，

即AD＝5；……………………………………………………（6分）

（3）由

（2）可知，D点的坐标是（10，5），

∴△PAD的周长l＝PA＋PD＋AD＝PA＋PD＋5，…………（7分）

∵抛物线的对称轴是线段OA的垂直平分线，点P是抛物线对称轴上的一动点，

∴PO＝PA，

∵l＝PA＋PD＋5＝PO＋PD＋5，

∴当PO＋PD最小时，△PAD的周长l最小，

即当点P移动到直线OD与抛物线对称轴的交点处时PO＋PD最小，………………………………………………………………（8分）

设直线OD的解析式为y＝kx，

将D点坐标（10，5）代入得：

5＝10k，解得k＝，

∴直线OD的解析式为y＝x，………………………………（9分）

当x＝5时，y＝，

∴P点的坐标是（5，）．……………………………………（10分）

2．解：

（1）（0，）；……………………………………………（2分）

【解法提示】由y＝x2＋得：

A（0，），

∵点B、O关于点A对称，

∴B（0，）．

（2）∵直线BC过点B（0，），

∴直线BC解析式为y＝kx＋，………………………………（3分）

∴C（，0），

又∵P是直线l上一点，

∴可设P（，a）．

如解图①，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接PB，

第2题解图①

则在Rt△PNB中，由勾股定理得：

PB2＝PN2＋NB2，

∵PB＝PC＝a，

∴a2＝（）2＋（a－）2，……………………………………（5分）

解得a＝，

∴PB＝，

∴P点坐标为（，），……………………………（6分）

当x＝时，y＝，

∴点P在抛物线上；…………………………………………（7分）

（3）如解图②，由C′在y轴上，可知∠CBP＝∠C′BP，

第2题解图②

∵PB＝PC，

∴∠CBP＝∠PCB，

∵PC∥C′B，

∴∠PCB＝∠ABC，

∴∠C′BP＝∠CBP＝∠ABC＝60°，

∴△PBC为等边三角形，

∵OB＝，

∴BC＝1，OC＝，

∴PC＝1，

∴P（，1）．…………………………………………………（12分）

3．解：

（1）∵四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，

∴C（0，3），E（2，3），

将C（0，3），E（2，3）代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得，

，解得，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

（2）由

（1）得y＝－x2＋2x＋3，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A（－1，0），B（3，0），

∴AO＝1，BO＝3，

又∵C（0，3），

∴OC＝3，

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝，

∵CO＝BO＝3，OF＝2，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AF＝3，BF＝1，

∴MF＝BF＝1，

∵RO∥MF，

∴△ARO∽△AMF，

∴，

∴，

解得RO＝，

∴CR＝3－＝，

在Rt△AOR中，AR＝，

∴△ACR的周长为＋＋＝；

（3）存在点P，使得AP＋PH＋HG的值最小．

如解图，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P，连接AP，

此时，AP＋PH＋HG的值最小，

第3题解图

设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，

将A′（1，0），G（4，－5）代入得，

，

解得，

∴直线A′G的解析式为y＝－x＋，

令x＝2，得y＝－＋＝－，

∴点H的坐标为（2，－），

∴符合题意的点P的坐标为（0，－）．

拓展二　二次函数与三角形面积问题

针对演练

1.（2016永州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过（－1，0），

（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

第1题图

2.（2015攀枝花）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在

（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得△BCD的面积最大？

若存在，求出D点坐标及△BCD面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）在

（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3.（2015桂林）如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与坐标轴分别交于点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．

（1）直接写出抛物线的解析式：

____________________；

（2）求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式；当t为何值时，△CED的面积最大？

最大面积是多少？

（3）当△CED的面积最大时，在抛物线上是否存在点P（点E除外），使△PCD的面积等于△CED的最大面积，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4.（2016常州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x与二次函数y＝x2＋bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；

（3）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF＝S△AOM？

若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

第4题图

【答案】

1．解：

（1）令x＝0，得y＝－3，

∴C（0，－3），

把（－1，0）和（3，0）代入y＝ax2＋bx－3中，得

，解得，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；…………………………（3分）

（2）联立方程组，

解得，，

∵O是AB的中点，

∴x1＋x2＝0，即

解得k＝－2，

∴或，

∴A（－，2），B（，－2）；…………………………（7分）；

（3）不存在实数k使得△ABC的面积为.理由如下：

假设存在实数k使得△ABC的面积为，

联立方程组，解得

，，

则A（），

B（），

∴S△ABC＝OC（xB－xA）＝，

∴×3×＝，

∴k2＋4k＋16＝10，即k2＋4k＋6＝0，

∵b2－4ac＝16－24<0，

∴此方程无解，

∴不存在实数k使得△ABC的面积为.………………（12分）

2．解：

（1）把点A（－1，0），B（3，0）代入y＝－x2＋bx＋c，得，解得，

∴y＝－x2＋2x＋3；

【一题多解】由题意可知点A（－1，0），点B（3，0）是抛物线与x轴的两个交点，∴抛物线解析式为y＝－（x＋1）（x－3）＝－x2＋2x＋3.

（2）存在点D，使得△BCD的面积最大．

设D（t，－t2＋2t＋3），如解图①，作DH⊥x轴于点H，C点坐标为（0，3），

第2题解图①

则S△BCD＝S四边形DCOH＋S△BDH－S△BOC＝t（－t2＋2t＋3＋3）＋（3－t）（－t2＋2t＋3）－×3×3＝－t2＋t，

∵－＜0，即抛物线开口向下，在对称轴处取得最大值，

∴当t＝－＝时，S△BCD＝－×（）2＋×＝，

即点D的坐标为（，）时，S△BCD有最大值，且最大面积为；

（3）存在点Q，使得△QMB与△PMB的面积相等．

如解图②，∵P（1，4），过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，

第2题解图②

∵直线BC为y＝－x＋3，

∴过点P作BC的平行直线l1，设l1为y＝－x＋b，将P（1，4）代入即可得到直线l1的解析式为y＝－x＋5，

联立方程组，

解得，，

∴Q1（2，3）；

∵直线PM为x＝1，直线BC为y＝－x＋3，

∴M（1，2），

设PM与x轴交于点E，

∵PM＝EM＝2，

∴过点E作BC的平行直线l2，则过点E且与BC平行的直线l2与抛物线的交点也为所求Q点之一，即将直线BC向下平移2个单位得到直线l2，解析式为y＝－x＋1，

联立方程组，

解得，，

∴Q2（），Q3（），

∴满足条件的Q点为Q1（2，3），Q2（），Q3（）．

3．解：

（1）y＝－x2＋3x＋8；

【解法提示】把点A（0，8）、B（8，0）代入y＝－