中考数学压轴题精析.doc
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中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形
基本题型：
已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为等腰三角形，求点坐标。
分两大类进行讨论：
（1）为底时（即）：
点在的垂直平分线上。
利用中点公式求出的中点；
利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出的垂直平分线的斜率；
利用中点与斜率求出的垂直平分线的解析式；
将的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。
（2）为腰时，分两类讨论：
①以为顶角时（即）：
点在以为圆心以为半径的圆上。
②以为顶角时（即）：
点在以为圆心以为半径的圆上。
利用圆的一般方程列出（或）的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。
中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形
基本题型：
已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若为直角三角形，求点坐标。
分两大类进行讨论：
（1）为斜边时（即）：
点在以为直径的圆周上。
利用中点公式求出的中点；
利用圆的一般方程列出的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。
（2）为直角边时，分两类讨论：
①以为直角时（即）：
②以为直角时（即）：
利用两点的斜率公式求出，因为两直线垂直斜率乘积为，进而求出（或）的斜率；进而求出（或）的解析式；
将（或）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点坐标。
所需知识点：
一、两点之间距离公式：
已知两点，
则由勾股定理可得：
。
二、圆的方程：
点在⊙M上，⊙M中的圆心M为，半径为R。
则，得到方程☆：
。
∴P在☆的图象上，即☆为⊙M的方程。
三、中点公式：
四、已知两点，则线段PQ的中点M为。
五、任意两点的斜率公式：
已知两点，则直线PQ的斜率：
。
中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形
基本题型：
一、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为平行四边形，求点坐标。
分两大类进行讨论：
（1）为边时
（2）为对角线时
二、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为距形，求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边互相垂直
（2）对角线相等
三、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为菱形，求点坐标。
在四边形为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
四、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为正方形，求点坐标。
在四边形为矩形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边相等
（2）对角线互相垂直
在四边形为菱形的基础上，运用以下两种方法进行讨论：
（1）邻边互相垂直
（2）对角线相等
五、已知，抛物线，点在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若四边形为梯形，求点坐标。
分三大类进行讨论：
（1）为底时
（2）为腰时（3）为对角线时
典型例题：
典型例题：
例一（08深圳中考题）、如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？
求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
（2009年烟台市）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；
O
B
x
y
A
M
C
1
（第26题图）
（4）当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？
（请直接写出结论）．
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（2009•临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？
若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
思路点拨
1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．
2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．
3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．
4．把△DCA可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA．
满分解答
（1）因为抛物线与x轴交于A（4，0）、B（1，0）两点，设抛物线的解析式为，代入点C的坐标（0，－2），解得．所以抛物线的解析式为．
（2）设点P的坐标为．
①如图2，当点P在x轴上方时，1＜x＜4，，．
如果，那么．解得不合题意．
如果，那么．解得．
此时点P的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P在点A的右侧时，x＞4，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得不合题意．
③如图4，当点P在点B的左侧时，x＜1，，．
解方程，得．此时点P的坐标为．
解方程，得．此时点P与点O重合，不合题意．
综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或或．
图2图3图4
（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为．
设点D的横坐标为m，那么点D的坐标为，点E的坐标为．所以．
因此．
当时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．
图5图6
如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段时，求tan∠CED的值；
②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
温馨提示：
考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．
思路点拨1．第
（1）、
（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．
2．第（3）题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注意y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．
3．根据C、D的坐标，可以知道直角三角形CDE是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了．
满分解答
（1）设抛物线的函数表达式为，代入点C（0，－3），得．所以抛物线的函数表达式为．
（2）由，知A（－1，0），B（3，0）．设直线BC的函数表达式为，代入点B（3，0）和点C（0，－3），得解得，．所以直线BC的函数表达式为．
（3）①因为AB＝4，所以．因为P、Q关于直线x＝1对称，所以点P的横坐标为．于是得到点P的坐标为，点F的坐标为．所以，．
进而得到，点E的坐标为．
直线BC:
与抛物线的对称轴x＝1的交点D的坐标为（1，－2）．
过点D作DH⊥y轴，垂足为H．
在Rt△EDH中，DH＝1，，所以tan∠CED．
②，．
图2图3图4
考点伸展第（3）题②求点P的坐标的步骤是：
如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE的顶点E的坐标，再求出CE的中点F的坐标，把点F的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x的较小的一个值就是点P的横坐标．
（2010•河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S、求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
解：
（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
①如图1，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x，
则Q（x，-x）．
②如图2，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=-x得出Q为（4，-4）．
故满足题意的Q点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），
（2013•眉山）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？
若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
．∴抛物线的解析式为：
y=x2+2x-3．
（2）存在．
△APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：
①以点A为直角顶点．
如解答图，过点A作直线AD的垂线，与抛物线交于点P，与y轴交于点F．
∵OA=OD=1，则△AOD为等腰直角三角形，
∵PA⊥AD，则△OAF为等腰直角三角形，∴OF=1，F（0，-1）．
设直线PA的解析式为y=kx+b，将点A（1，0），F（0，-1）的坐标代入得：
解得k=1，b=-1，
∴y=x-1．
将y=x-1代入抛物线解析式y=x2+2x-3得，x2+2x-3=x-1，
整理得：
x2+x-2=0，
解得x=-2或x=1，
当x=-2时，y=x-1=-3，
∴P（-2，-3）；
②以点P为直角顶点．
此时∠PAE
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