新人教版教材八年级上册数学《整式的乘法与因式分解》教案文档格式.docx
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例2、计算:
要点指导:
底数中负号的处理;
能化为同底数幂的数字底数的处理;
多项式底数及符号的处理。
例3、
(1)填空:
⑴若xm+n×
xm-n=x9;
则m=;
⑵2m=16,2n=8,则2m+n=。
四、归纳小结,布置作业
小结:
1、同底数幂相乘的法则;
2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形;
3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;
4、要注意与加减运算的区别。
教学反思
14.1.2幂的乘方
教学目标:
1、经历探索幂的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解幂的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
幂的乘方的运算性质及其应用.
教学难点:
幂的运算性质的灵活运用.
一:
知识回顾
1.讲评作业中出现的错误
2.同底数幂的乘法的应用的练习
二:
新课引入
探究:
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
(1)(32)3=32×
32×
32=3﹝﹞
(2)(a2)3=a2·
a2·
a2=a﹝﹞
(3)(am)3=am·
am·
am=a﹝﹞
(4)(am)n=
=
=amn.
观察结果,发现幂在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.
引导学生归纳同底数幂的乘法法则:
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
即:
(am)n=amn(m、n都是正整数).
二、知识应用
例题:
(1)(103)5;
(2)(a4)4;
(3)(am)2;
(4)-(x4)3;
说明:
-(x4)3表示(x4)3的相反数
课本第页(学生黑板演板)
补充例题:
(1)(y2)3·
y
(2)2(a2)6-(a3)4(3)(ab2)3
(4)-(-2a2b)4
说明:
(1)(y2)3·
y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,再做乘法,所以,(y2)3·
y=y2×
3·
y=y6+1=y7;
(2)2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简.所以,2(a2)6-(a3)4=2a2×
6-a3×
4=2a12-a12=a12.
三幂的乘方法则的逆用
.
(1)x13·
x7=x()=()5=()4=()10;
(2)a2m=()2=()m(m为正整数).
1.已知3×
9n=37,求n的值.
2.已知a3n=5,b2n=3,求a6nb4n的值.
3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值.
四、归纳小结、布置作业
幂的乘方法则.
14.1.3积的乘方
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂的意义;
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
积的乘方的运算性质及其应用.
积的乘方运算性质的灵活运用.
教学过程:
一.创设情境,复习导入
1.前面我们学习了同底数幂的乘法、幂的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:
(1)
(2)
(3)
(4)
2.探索新知,讲授新课
(1)(3×
5)7——积的乘方
=
——幂的意义
×
——乘法交换律、结合律
=37×
57;
——乘方的意义
(2)(ab)2=(ab)·
(ab)=(a·
a)·
(b·
b)=a()b()
(3)(a2b3)3=(a2b3)·
(a2b3)·
(a2b3)=(a2·
a2)·
(b3·
b3·
b3)=a()b()
(4)(ab)n
——幂的意义
·
=anbn.——乘方的意义
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
(ab)n=an·
bn
二、知识应用,巩固提高
例题3计算
(1)(2a)3;
(2)(-5b)3;
(3)(xy2)2;
(4)(-2/3x3)4.(5)(-2xy)4(6)(2×
103 )2
(5)意在将(ab)n=anbn推广,得到了(abc)n=anbncn
判断对错:
下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
①
②
③
课本第页
三.综合尝试,巩固知识
补充例题:
计算:
(1)
(2)
四.逆用公式:
,即
预备题:
(2)
例题:
(1)0.12516·
(-8)17;
(2)
(2)已知2m=3,2n=5,求23m+2n的值.
(注解):
23m+2n=23m·
22n=(2m)3·
(2n)2=33·
52=27×
25=675.
四、归纳小结、
五、布置作业
六、教学反思
14.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)
经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
单项式与单项式相乘的运算法则的探索.
灵活运用法则进行计算和化简.
一.复习巩固:
同底数幂,幂的乘方,积的乘方三个法则的区分。
二.提出问题,引入新课
(课本引例):
光的速度约为3×
105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×
102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
(1)怎样计算(3×
105)×
(5×
102)?
计算过程中用到哪些运算律及运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5•bc2怎样计算这个式子?
(3×
105)×
102),它们相乘是单项式与单项式相乘.
ac5•bc2是两个单项式ac5与bc2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幂的运算性质来计算:
ac5•bc2=(a•b)•(c5•c2)=abc5+2=abc7.
三.单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
例4(课本例题)计算:
(学生黑板演板)
(1)(-5a2b)(-3a);
(2)(2x)3(-5xy2).
练习1(课本)计算:
(1)3x25x3;
(2)4y(-2xy2);
(3)(3x2y)3•(-4x);
(4)(-2a)3(-3a)2.
练习2(课本)下面计算的对不对?
如果不对,应当怎样改正?
(1)3a3•2a2=6a6;
(2)2x2•3x2=6x4;
(3)3x2•4x2=12x2;
(4)5y3•y5=15y15.
四.巩固提高
(补充例题):
1.(-2x2y)·
(1/3xy2)
2.(-3/2ab)·
(-2a)·
(-2/3a2b2)
3.(2×
105)2·
(4×
103)
4.(-4xy)·
(-x2y2)·
(1/2y3)
5.(-1/2ab2c)2·
(-1/3ab3c2)3·
(12a3b)
6.(-ab3)·
(-a2b)3
7.(-2xn+1yn)·
(-3xy)·
(-1/2x2z)
8.-6m2n·
(x-y)3·
1/3mn2·
(y-x)2
五.小结作业
方法归纳:
(1)积的系数等于各系数的积,应先确定符号。
(2)相同字母相乘,是同底数幂的乘法。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢掉。
(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
作业:
14.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)
经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
单项式与多项式相乘的运算法则的探索.
一.复习旧知
1.单项式乘单项式的运算法则
2.练习:
9x2y3·
(-2xy2)(-3ab)3·
(1/3abz)
3.合并同类项的知识
二、问题引入,探究单项式与多项式相乘的法则
(课本内容):
三家连锁店以相同的价格m(单位:
元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内的销售量(单位:
瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?
学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:
m(a+b+c).
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:
ma+mb+mc.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
m(a+b+c)=ma+mb+mc.
学生归纳:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.
引导学生体会:
单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,
三.讲解例题
1.例题5(课本)计算:
(1)(-4x2)(3x+1);
(2)
2.补充例题1:
化简求值:
(-3x)2-2x(x+3)+x·
x+2x·
(-4x+3)+2007
其中:
x=2008
课本页
3.补充练习:
计算
1.2ab(5ab2+3a2b);
2.(
ab2-2ab)·
ab;
3.-6x(x-3y);
4.-2a2(
ab+b2).
5.(-2a2)·
(1/2ab+b2)
6.(2/3x2y-6xy)·
1/2xy2
7.(-3x2)·
(4x2-4/9x+1)
83ab·
(6a2b4-3ab+3/2ab3)
9.1/3xny·
(3/4x2-1/2xy-2/3y-1/2x2y)
10.(-ab)2·
(-3ab)2·
(2/3a2b+a3·
a-1/3a)
四.小结归纳
布置作业:
14.1.4整式的乘法(多项式乘以多项式)
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算.
多项式与多项式相乘的运算法则的探索
讲评作业
二.创设情景,引入新课
(课本)如图,为了扩大街心花园的绿地面积,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地,增长了b米,加宽了n米.你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
一种计算方法是先分别求出四个长方形的面积,再求它们的和,即(am+an+bm+bn)米2.
另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m+n)米2.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn进行分析,可以把m+n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得
(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n),
再利用单项式与多项式相乘的法则,得
a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn.
多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、应用提高、拓展创新
例6(课本):
(1)(3x+1)(x+2);
(2)(x-8y)(x-y);
(3)(x+y)(x2-xy+y2)
进行运算时应注意:
不漏不重,符号问题,合并同类项
(课本)148页12
1.(a+b)(a-b)-(a+2b)(a-b)
2.(3x4-3x2+1)(x4+x2-2)
3.(x-1)(x+1)(x2+1)
4.当a=-1/2时,求代数式(2a-b)(2a+b)+(2a-b)(b-4a)+2b(b-3a)的值
四.归纳总结,
五.布置作业
六.教学反思
14.2.1平方差公式
经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.
平方差公式的推导和应用.
灵活运用平方差公式解决实际问题.
过程:
一.创设问题情境,激发学生兴趣,引出本节内容
活动1知识复习
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
活动2计算下列各题,你能发现什么规律?
(1)(x+1)(x-1);
(2)(a+2)(a-2);
(3)(3-x)(3+x);
(4)(2m+n)(2m-n).
再计算:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.
得出平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2.即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
活动3请用剪刀从边长为a的正方形纸板上,剪下一个边长为b的小正方形(如图1),然后拼成如图2的长方形,你能根据图中的面积说明平方差公式吗?
图1图2
图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为
(a2-b2).
在图2中,长方形的长和宽分别为(a+b)、(a-b),所以面积为
(a+b)(a-b).
这两部分面积应该是相等的,即(a+b)(a-b)=a2-b2.
例1计算:
(1)(3x+2)(3x-2);
(2)(-x+2y)(-x-2y)
(3)(b+2a)(2a-b);
(4)(3+2a)(-3+2a)
加深对平方差公式的理解(课本153页练习1有同种题型)
下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是()
(1)(x+1)(1+x);
(2)(
a+b)(b-
a);
(3)(-a+b)(a-b);
(4)(x2-y)(x+y2);
(5)(-a-b)(a-b);
(6)(c2-d2)(d2+c2).
例题2:
(1)102×
98
(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
(3)(a+b+c)(a-b+c)(补充)
(4)20042-20032(补充)
(5)(a+3)(a-3)(a2+9)(补充)
(3)意在说明公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式
(4)意在说明公式的逆用
课本页2
五、课本习题页习题
14.2.2完全平方公式(第1课时)
完全平方公式的推导及其应用;
完全平方公式的几何背景;
体会公式中字母的广泛含义,它可以是数,也可以是整式.
(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释;
(2)完全平方公式的应用.
完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用.
一、激发学生兴趣,引出本节内容
活动1探究,计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2=(p+1)(p+1)=_________;
(2)(m+2)2=(m+2)(m+2)=_________;
(3)(p-1)2=(p-1)(p-1)=_________;
(4)(m-2)2=(m-2)(m-2)=_________.
答案:
(1)p2+2p+1;
(2)m2+4m+4;
(3)p2-2p+1;
(4)m2-4m+4.
活动2在上述活动中我们发现(a+b)2=
,是否对任意的a、b,上述式子都成立呢?
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,并进行归纳,用多项式乘法法则可得
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a(a-b)-b(a-b)=a2-ab-ab+b2
=a2-2ab+b2.
二、问题引申,总结归纳完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍,即
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b)2=a2-2ab+b2.
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征:
(1)左边为两个数的和或差的平方;
(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍.
活动4你能根据教材中的图14.2-2和图14.2-3中的面积说明完全平方公式吗?
三.例题讲解,巩固新知
例3:
(课本)运用完全平方公式计算
(1)(4m+n)2;
(2)(y-1/2)2
运用完全平方公式计算
(1)(-x+2y)2;
(2)(-x-y)2;
(3)(x+y)2-(x-y)2.
(1)题可转化为(2y-x)2或(x-2y)2,再运用完全平方公式;
(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;
(3)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.
例4:
(课本)运用完全平方公式计算
(1)1022;
(2)992.
思考:
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
为什么?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗?
课本页
(1)如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式,求k的值
(2)已知x+y=8,xy=12,求x2+y2;
(x-y)2的值
(3)已知a+1/a=3,求a2+1/a2
完全平方公式.
课本页习题
14.2.2完全平方公式(第2课时)
熟练掌握完全平方公式及其应用,理解公式中添括号的方法
重点:
添括号法则及完全平方公式的灵活应用
内容:
一复习旧知,引入添括号法则
去括号法则:
a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a-b-c
添括号法则:
a+b+c=a+(b+c)a-b-c=a-(b+c)
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
(课本页练习1有同种类型题)
a+b-c=a+(b-c)=a-(-b+c)
a-b+c=a+(-b+c)=a-(b-c)
二讲解例题,巩固新知
例题5运用乘法公式计算:
(课本)
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)
(2)(a+b+c)2.
练习:
课本156页练习2
三补充例题,开阔眼界
1利用乘法公式化简求值题
(2x+y)2-(x+y)(x–y),其中x=1,y=-2
2乘法公式在解方程和不等式中的应用
①已知(a+b)2=7,(a-b)2=4求a2+b2和ab的值
②解不等式:
(2x-5)(-5-2x)+(x+5)2﹥3x(-x+2)
3与三角形知识相结合的应用
已知三角形ABC的三边长a、b、c,满足a2+b2+c2-ab–bc-ac=0,试判断三角形的形状。
四总结归纳,布置作业
添括号法则
课本页(根据学生情况酌定)
14.3.1同底数幂的除法
1、经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幂的除法的运算性质,并能解一些实际问题。
公式的实际应用。
a0=1中a≠0的规定。
一、探索同底数幂的除法法则
1、根据除法的意义填空,并探索其规律
(1)55÷
53=5()
(2)107÷
105=10()
(3)a6÷
a3=a()
推导公式:
am÷
an=am-n(a≠0,m、n为正整数,且m>n)
归纳:
同底数幂相除,底数不变,指数相减。
2、比较公式
am·
an=am+n(am)n=amn
(ab)m=ambmam÷
an=am-n
比较其异同,强调其适用条件
二、实际应用
例1:
(1)x8÷
x2
(2)a4÷
a(3)(ab)5÷
(ab)2
例2:
一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M=210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?
解:
26M=26×
210K=216K
216÷
28=28(张)=256(张)
三、探究a0的意义
根据除法的意义填空,你能得什么结论?
(1)32÷
32=
(2)103÷
103=
(3)am÷
am=(a≠0)
由除法意义得:
am÷
an=1(a≠0)
如果依照am÷
am=am-m=a0
于是规定:
a0=1(a≠0)
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
四、练习:
五、作业:
14.3.2整式的除法
(1)
经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算。
运用法则计算单项式除法
法则的探索
一、提出问题,引入新课]
问题:
木星的质量约是1.90×
1024吨,地球的质量约是5.98×
1021吨,你知道木星的质量约