十字相乘法简1Word文件下载.docx

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-6.

（a×

-7））×

+6）=a²

-ax-42（计算过程省略），

得到结果与原来结果不相符，原式+a变成了-a.

再算：

+7）×

+（-6））=ax²

+ax²

-42

正确，所以a²

+ax-42就被分解成为（ax+7）×

（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。

例题解析例1

把2x²

-7x+3分解因式.

分析：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分

别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.

分解二次项系数（只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！

十字相乘法

2=1×

2=2×

1；

分解常数项：

3=1×

3=3×

1=（-3）×

（-1）=（-1）×

（-3）.

用画十字交叉线方法表示下列四种情况：

11

╳

23

13

21

1×

1+2×

3=7≠-7

1-1

2-3

（-3）+2×

（-1）=-5≠-7

1-3

2-1

（-1）+2×

（-3）=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.

解2x²

-7x+3=（x-3）（2x-1）

一般地，对于二次三项式ax²

+bx+c（a≠0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：

a1c1

a2c2

a1c2+a2c1

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²

+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即

+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.

例2

把6x²

-7x-5分解因式.

按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种

3-5

2×

（-5）+3×

1=-7

是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.

解6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）

指出：

通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x²

+2x-15分解因式，十字相乘法是

15

5+1×

（-3）=2

所以x+2x-15=（x-3）（x+5）.

例3

把5x²

+6xy-8y²

分解因式.

这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²

看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即

12

5-4

（-4）+5×

2=6

解5x²

=（x+2y）（5x-4y）.

原式分解为两个关于x，y的一次式.

例4

把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式.

这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.

问：

以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

答：

第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.

解（x-y）（2x-2y-3）-2

=（x-y）[2（x-y）-3]-2

=2（x-y）²

-3（x-y）-2

1-2

（-2）=－3

=[（x-y）-2][2（x-y）+1]

=（x-y-2）（2x-2y+1）.

把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.

例5

+2x-15

常数项（-15）<

0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或

（1）（-15）或（3）

（-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。

=（x-3）（x+5）

总结：

①x²

+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；

常数项是两个数的积；

一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）

②kx²

+mx+n型的式子的因式分解

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么

kx²

+mx+n=（ax+b）（cx+d）

ab

cd

例6

某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？

解：

去年毕业生一共7500人，7650÷

（1+2%）=7500人。

本科生：

-2%………8%

…………………2%

研究生：

10%………-4%

本科生∶研究生=8%∶（-4%）=-2∶1。

去年的本科生：

7500×

2/3=5000

今年的本科生：

5000×

0.98=4900

这所高校今年毕业的本科生有4900人。

例7

鸡兔同笼问题：

今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚

鸡：

70…………46

……………………94

兔：

140…………24

兔=46：

24=23：

12

鸡有23只，兔有12只。

例8

解一元二次方程：

-7x+3分解因式。

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。

分解二次项系数（只取正因数）：

3=1×

3+2×

1=5

3=7

（-1）=-5

（-3）=-7

经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.

解：

2x²

-7x+3=（x-3）（2x-1）.

+bx+c（a≠0），

如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，

即a=a1a2，

常数项c可以分解成两个因数之积，

即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，

排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，

若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，

即a1c2+a2c1=b，

那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，

即ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.

按照例1的方法，

分解二次项系数6及常数项-5，

把它们分别排列，

可有8种不相同的排列方法，

其中的一种21╳3-52×

解6x²

-7x-5=（2x+1）（3x-5）

通过例1和例2可以看到，

运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，

往往要经过多次观察，

才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.

对于二次项系数是1的二次三项式，

也可以用十字相乘法分解因式，

这时只需考虑如何把常数项分解因数.

例如把x²

+2x-15分解因式，

十字相乘法是1-3╳151×

所以x²

+2x-15=（x-3）（x+5）.

这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，

把-8y²

看作常数项，

在分解二次项及常数项系数时，

只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，

经过观察，选取合适的一组，

即12╳5-41×

例9

这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，

只有先进行多项式的乘法运算，

把变形后的多项式再因式分解.

两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?

1-2╳21

把（x-y）看作一个整体进行因式分解，

这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x²

0，可分解成异号两数的积，

可分解为（-1）（15），或

（1）（-15）或（3）（-5）或（-3）（5），

其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。

=（x-3）（x+5）

一次项系数是常数项的两个因数的和.

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，

那么kx²

+mx+n=（ax+b）（cx+d）ab╳cd

（1）（x+3）（x-6）=-8

（2）2x²

+3x=0

（3）6x²

+5x-50=0

（4）x²

-2（+）x+4=0

（1）解：

（x+3）（x-6）=-8化简整理得

-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）

（x-5）（x+2）=0（方程左边分解因式）

∴x-5=0或x+2=0（转化成两个一元一次方程）

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

（2）解：

x（2x+3）=0（用提公因式法将方程左边分解因式）

∴x=0或2x+3=0（转化成两个一元一次方程）

∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。

注意：

有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。

（3）解：

6x²

（2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=5/2,x2=-10/3是原方程的解。

（4）解：

-2（+）x+4=0（∵4可分解为2·

2，∴此题可用因式分解法）

（x-2）（x-2）=0

∴x1=2,x2=2是原方程的解。

例题x²

-x-2=0

（x+1）（x-2）=0

∴x+1=0或x-2=0

∴x1=-1,x2=2

（附：

^是数学符号，例：

3²

=3×

3=9）

教学重点

重点：

正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；

教学难点

难点：

灵活运用十字相乘法分解因式。

让学生灵活掌握。

理解十字相乘公式并灵活计算。

原理

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。

平均值为C。

求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。

假设总量为S，A所占的数量为M，B为S-M。

则：

[A*M+B*（S－M）]/S=C

A*M/S+B*（S-M）/S=C

M/S=（C-B）/（A-B）

1-M/S=（A-C）/（A-B）

因此：

M/S∶（1-M/S）=（C-B）∶（A-C）

上面的计算过程可以抽象为：

A………C-B

……C

B………A-C

这就是所谓的十字相乘法。

X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。

即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。

注意事项

第一点：

用来解决两者之间的比例问题。

第二点：

得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：

总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。

具体应用

双十字相乘法是一种因式分解方法。

对于型如Ax²

;

+Bxy+Cy²

+Dx+Ey+F的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。

这种方法运算过程较繁。

对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。

3x²

+5xy－2y²

+x+9y－4=（x+2y－1）（3x－y+4）

因为3=1×

3，－2=2×

（－1），－4=（－1）×

4，

而1×

（－1）+3×

2=5，2×

4+（－1）（－1）=9，1×

4+3×

（－1）=1

要诀：

把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，

ab+b²

+a－b－2

=0×

+ab+b²

=（0×

a+b+1）（a+b－2）

=（b+1）（a+b－2）

提示：

设x²

=y，用拆项法把cx²

拆成mx²

与ny之和。

2x^4+13x^3+20x²

+11x+2

=2y²

+13xy+15x²

+5y+11x+2

=（2y+3x+1）（y+5x+2）

=（2x²

+3x+1）（x²

+5x+2）

=（x+1）（2x+1）（x²

分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式（ax²

+bxy+cy²

+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式．

例如，分解因式2x²

-7xy-22y²

-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

-（5+7y）x-（22y²

-35y+3），

可以看作是关于x的二次三项式．

对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

即

-22y²

+35y-3=（2y-3）（-11y+1）．

再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

所以

原式=〔x+（2y-3）〕〔2x+（-11y+1）〕

=（x+2y-3）（2x-11y+1）．

（x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2；

（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y²

+35y-3．

这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”

用双十字相乘法对多项式ax²

+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

⑴用十字相乘法分解ax²

，得到一个十字相乘图（有两列）；

⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

我们把形如anx^n+a（n-1）x^（n-1）+…+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），…等记号表示，如

f（x）=x²

-3x+2，g（x）=x^5+x²

+6，…，

当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示．如对上面的多项式f（x）

f⑴=12-3×

1+2=0；

f（-2）=（-2）²

-3×

（-2）+2=12．

若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根．

定理1（因式定理）若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a．

根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根．对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

怎样进行分解因式

例7x+（-8x）=-x

原式=（x+7）（x-8）

-2x+（-8x）=-10x

原式=（x-2）（x-8）

例3、

该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。

因为

9y+10y=19y

原式=（2y+3）（3y+5）

例4、因式分解。

21x+（-18x）=3x

原式=（2x+3）（7x-9）

例5、因式分解。

该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。

-25（x+2）+[-4（x+2）]=-29（x+2）

原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]

=（2x-1）（5x+8）

例6、因式分解。

该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。

-2+[-12]=-14a+（-2a）=-a3a+（-4a）=-a

原式=[-2][-12]

=（a+1）（a-2）（a+3）（a-4）