十字相乘法简1Word文件下载.docx

1、-6.（a-7）+6）=a-ax-42（计算过程省略），得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a.再算：+7）+（-6）=ax+ax-42正确，所以a+ax-42就被分解成为（ax+7）（ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。例题解析例1把2x-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数（只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！十字相乘法2=12=21；分解常数项：3=13=31=（-3）（-1）=（-1）（-3）.用画十字交叉线方

2、法表示下列四种情况：1 12 31 32 111+23=7 -71 -12 -3（-3）+2（-1）=-5 -71 -32 -1（-1）+2（-3）=-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解 2x-7x+3=（x-3）（2x-1）一般地，对于二次三项式ax+bx+c（a0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数b

3、，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例2把6x-7x-5分解因式.按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种3 -52（-5）+31=-7是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2-7x-5=（2x+1）（3x-5）指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定

4、是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式，十字相乘法是1 55+1（-3）=2所以x+2x-15=（x-3）（x+5）.例3把5x+6xy-8y分解因式.这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即1 25 -4（-4）+52=6解 5x=（x+2y）（5x-4y）.原式分解为两个关于x，y的一次式.例4把（x-y）（2x-2y-3）-2分解因式.这个多项式是两个因式之积与另

5、一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2（x-y），它是第一个因式的二倍，然后把（x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于（x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解 （x-y）（2x-2y-3）-2=（x-y）2（x-y）-3-2=2（x-y） -3（x-y）-21 -2（-2）=3=（x-y）-22（x-y）+1=（x-y-2）（2x-2y+1）.把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体

6、”思想方法.例5+2x-15常数项（-15）0，可分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）（-15）或（3）（-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。=（x-3）（x+5）总结：x+（p+q）x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）kx+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么kx+mx+n=（ax+b）（cx+d）a bc d

7、例6某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年（2006）毕业的本科生有多少人？解：去年毕业生一共7500人，7650（1+2%）=7500人。本科生：-2%8%2%研究生：10% -4%本科生研究生=8%（-4%）=-21。去年的本科生：75002/3=5000今年的本科生：50000.98=4900这所高校今年毕业的本科生有4900人。例7鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？假设全为鸡脚则有70只脚，假设全为兔脚则有140只脚鸡：70 4694兔：140 2

8、4兔=46：24=23：12鸡有23只，兔有12只。例8解一元二次方程：-7x+3分解因式。先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数（只取正因数）： 3=13+21=53=7（-1） =-5（-3） =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7.解 ：2x-7x+3=（x-3）（2x-1）.+bx+c（a0），如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c

9、2，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）.按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不相同的排列方法，其中的一种 213-5 2解 6x-7x-5=（2x+1）（3x-5）通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式，也可以

10、用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式，十字相乘法是1-3 15 1所以x+2x-15=（x-3）（x+5）.这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 12 5-4 1例9这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?1-2 21把（x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x0，可

11、分解成异号两数的积，可分解为（-1）（15），或（1）（-15）或（3） （-5）或（-3）（5），其中只有（-3）（5）中-3和5的和为2。 =（x-3）（x+5）一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：如果能够分解成k=ac，n=bd，且有ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=（ax+b）（cx+d） a bc d（1） （x+3）（x-6）=-8（2） 2x+3x=0（3） 6x+5x-50=0（4）x-2（ + ）x+4=0（1）解：（x+3）（x-6）=-8 化简整理得-3x-10=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5

12、）（x+2）=0 （方程左边分解因式）x-5=0或x+2=0 （转化成两个一元一次方程）x1=5,x2=-2是原方程的解。（2）解：x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）x=0或2x+3=0 （转化成两个一元一次方程）x1=0，x2=-3/2是原方程的解。注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。（3）解：6x（2x-5）（3x+10）=0 （十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）2x-5=0或3x+10=0x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。（4）解：-2（+ ）x+4 =0 （4 可分解为2 2 ，此题可用因式分解法）（x-2

13、）（x-2 ）=0x1=2,x2=2是原方程的解。例题x-x-2=0（x+1）（x-2）=0x+1=0或x-2=0x1=-1,x2=2（附：是数学符号，例：3=33=9）教学重点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式；教学难点难点：灵活运用十字相乘法分解因式。让学生灵活掌握。理解十字相乘公式并灵活计算。原理一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S， A所占的数量为M，B为S-M。则：A*M+B*（SM）/S=CA*M/S+B*（S-M）/S=CM/S=（C-B）/（A

14、-B）1-M/S=（A-C）/（A-B）因此：M/S（1-M/S）=（C-B）（A-C）上面的计算过程可以抽象为：A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。注意事项第一点：用来解决两者之间的比例问题。第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。具体应用双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax;+Bxy+Cy+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。

15、这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”（主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。3x+5xy2y+x+9y4=（x+2y1）（3xy+4）因为3=13，2=2（1），4=（1）4，而1（1）+32=5，24+（1）（1）=9，14+3（1）=1要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，ab+b+ab2=0+ab+b=（0a+b+1）（a+b2）=（b+1）（a+b2）提示：设x=y，用拆项法把cx拆成mx与ny之和。2x4+13x3+20x+11x+2=2y+13xy+15x+5y+11x+2=（2y+3x+1）（y+5x+2）=（2x+3x+1）（x+5x+2）

16、=（x+1）（2x+1）（x分解二次三项式时，我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式（ax+bxy+cy+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为-（5+7y）x-（22y-35y+3），可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y+35y-3=（2y-3）（-11y+1）再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=x+（2y-3）2x+（-11y+1）=（x+2y-3）（2x-11y+1）（x+2y）（2x-1

17、1y）=2x2-7xy-22y2；（x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；（2y-3）（-11y+1）=-22y+35y-3这就是所谓的双十字相乘法也是俗称的“主元法”用双十字相乘法对多项式ax+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：用十字相乘法分解ax，得到一个十字相乘图（有两列）；把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx我们把形如anxn+a（n-1）x（n-1）+a1x+a0（n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f（x），g（x），等记号表示，如f（x）=x-3x+2，

18、g（x）=x5+x+6，当x=a时，多项式f（x）的值用f（a）表示如对上面的多项式f（x）f=12-31+2=0；f（-2）=（-2）-3（-2）+2=12若f（a）=0，则称a为多项式f（x）的一个根定理1（因式定理） 若a是一元多项式f（x）的根，即f（a）=0成立，则多项式f（x）有一个因式x-a根据因式定理，找出一元多项式f（x）的一次因式的关键是求多项式f（x）的根对于任意多项式f（x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f（x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根怎样进行分解因式例 7x + （-8x） =-x原式=（x+7）（x-8）

19、-2x+（-8x）=-10x原式=（x-2）（x-8）例3、该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。因为9y + 10y=19y原式=（2y+3）（3y+5）例4、 因式分解。21x + （-18x）=3x原式=（2x+3）（7x-9）例5、 因式分解。该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。-25（x+2）+-4（x+2）= -29（x+2）原式=2（x+2）-55（x+2）-2=（2x-1）（5x+8）例6、 因式分解。该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。-2+-12=-14 a + （-2a）=-a 3a +（-4a）=-a原式=-2 -12=（a+1）（a-2）（a+3）（a-4）