1、-6.(a-7)+6)=a-ax-42(计算过程省略),得到结果与原来结果不相符,原式+a 变成了-a.再算:+7)+(-6)=ax+ax-42正确,所以a+ax-42就被分解成为(ax+7)(ax-6),这就是通俗的十字相乘法分解因式。例题解析例1把2x-7x+3分解因式.分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同!十字相乘法2=12=21;分解常数项:3=13=31=(-3)(-1)=(-1)(-3).用画十字交叉线方
2、法表示下列四种情况:1 12 31 32 111+23=7 -71 -12 -3(-3)+2(-1)=-5 -71 -32 -1(-1)+2(-3)=-7经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7.解 2x-7x+3=(x-3)(2x-1)一般地,对于二次三项式ax+bx+c(a0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c2,排列如下:a1 c1a2 c2a1c2+a2c1按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax+bx+c的一次项系数b
3、,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法.例2把6x-7x-5分解因式.按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种3 -52(-5)+31=-7是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出:通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定
4、是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式,十字相乘法是1 55+1(-3)=2所以x+2x-15=(x-3)(x+5).例3把5x+6xy-8y分解因式.这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即1 25 -4(-4)+52=6解 5x=(x+2y)(5x-4y).原式分解为两个关于x,y的一次式.例4把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.这个多项式是两个因式之积与另
5、一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.问:以上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.解 (x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)2(x-y)-3-2=2(x-y) -3(x-y)-21 -2(-2)=3=(x-y)-22(x-y)+1=(x-y-2)(2x-2y+1).把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体
6、”思想方法.例5+2x-15常数项(-15)0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5)总结:x+(p+q)x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1;常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)a bc d
7、例6某高校2006年度毕业学生7650名,比上年度增长2%,其中本科毕业生比上年度减少2%,而研究生毕业数量比上年度增加10%,那么,这所高校今年(2006)毕业的本科生有多少人?解:去年毕业生一共7500人,7650(1+2%)=7500人。本科生:-2%8%2%研究生:10% -4%本科生研究生=8%(-4%)=-21。去年的本科生:75002/3=5000今年的本科生:50000.98=4900这所高校今年毕业的本科生有4900人。例7鸡兔同笼问题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?假设全为鸡脚则有70只脚,假设全为兔脚则有140只脚鸡:70 4694兔:140 2
8、4兔=46:24=23:12鸡有23只,兔有12只。例8解一元二次方程:-7x+3分解因式。先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数。分解二次项系数(只取正因数): 3=13+21=53=7(-1) =-5(-3) =-7经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数7.解 :2x-7x+3=(x-3)(2x-1).+bx+c(a0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c1c2,把a1,a2,c1,c
9、2,排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不相同的排列方法,其中的一种 213-5 2解 6x-7x-5=(2x+1)(3x-5)通过例1和例2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是1的二次三项式,也可以
10、用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x+2x-15分解因式,十字相乘法是1-3 15 1所以x+2x-15=(x-3)(x+5).这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即 12 5-4 1例9这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?1-2 21把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例5x0,可
11、分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。 =(x-3)(x+5)一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:如果能够分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 时,那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d) a bc d(1) (x+3)(x-6)=-8(2) 2x+3x=0(3) 6x+5x-50=0(4)x-2( + )x+4=0(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)(x-5
12、)(x+2)=0 (方程左边分解因式)x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)x1=5,x2=-2是原方程的解。(2)解:x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)x1=0,x2=-3/2是原方程的解。注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。(3)解:6x(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)2x-5=0或3x+10=0x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。(4)解:-2(+ )x+4 =0 (4 可分解为2 2 ,此题可用因式分解法)(x-2
13、)(x-2 )=0x1=2,x2=2是原方程的解。例题x-x-2=0(x+1)(x-2)=0x+1=0或x-2=0x1=-1,x2=2(附:是数学符号,例:3=33=9)教学重点重点:正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式;教学难点难点:灵活运用十字相乘法分解因式。让学生灵活掌握。理解十字相乘公式并灵活计算。原理一个集合中的个体,只有2个不同的取值,部分个体取值为A,剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S, A所占的数量为M,B为S-M。则:A*M+B*(SM)/S=CA*M/S+B*(S-M)/S=CM/S=(C-B)/(A
14、-B)1-M/S=(A-C)/(A-B)因此:M/S(1-M/S)=(C-B)(A-C)上面的计算过程可以抽象为:A C-BCB A-C这就是所谓的十字相乘法。X增加,平均数C向A偏,A-C(每个A给B的值)变小,C-B(每个B获得的值)变大,两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例,以十字相乘法形式展现更加清晰。注意事项第一点:用来解决两者之间的比例问题。第二点:得出的比例关系是基数的比例关系。第三点:总均值放中央,对角线上,大数减小数,结果放在对角线上。具体应用双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如 Ax;+Bxy+Cy+Dx+Ey+F 的多项式的因式分解,常采用的方法是待定系数法。
15、这种方法运算过程较繁。对于这问题,若采用“双十字相乘法”(主元法),就能很容易将此类型的多项式分解因式。3x+5xy2y+x+9y4=(x+2y1)(3xy+4)因为3=13,2=2(1),4=(1)4,而1(1)+32=5,24+(1)(1)=9,14+3(1)=1要诀:把缺少的一项当作系数为0,0乘任何数得0,ab+b+ab2=0+ab+b=(0a+b+1)(a+b2)=(b+1)(a+b2)提示:设x=y,用拆项法把cx拆成mx与ny之和。2x4+13x3+20x+11x+2=2y+13xy+15x+5y+11x+2=(2y+3x+1)(y+5x+2)=(2x+3x+1)(x+5x+2)
16、=(x+1)(2x+1)(x分解二次三项式时,我们常用十字相乘法对于某些二元二次六项式(ax+bxy+cy+dx+ey+f),我们也可以用十字相乘法分解因式例如,分解因式2x-7xy-22y-5x+35y-3我们将上式按x降幂排列,并把y当作常数,于是上式可变形为-(5+7y)x-(22y-35y+3),可以看作是关于x的二次三项式对于常数项而言,它是关于y的二次三项式,也可以用十字相乘法,分解为即-22y+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解所以原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1)(x+2y)(2x-1
17、1y)=2x2-7xy-22y2;(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3;(2y-3)(-11y+1)=-22y+35y-3这就是所谓的双十字相乘法也是俗称的“主元法”用双十字相乘法对多项式ax+dx+ey+f进行因式分解的步骤是:用十字相乘法分解ax,得到一个十字相乘图(有两列);把常数项f分解成两个因式填在第三列上,要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey,第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx我们把形如anxn+a(n-1)x(n-1)+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式,并用f(x),g(x),等记号表示,如f(x)=x-3x+2,
18、g(x)=x5+x+6,当x=a时,多项式f(x)的值用f(a)表示如对上面的多项式f(x)f=12-31+2=0;f(-2)=(-2)-3(-2)+2=12若f(a)=0,则称a为多项式f(x)的一个根定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根,即f(a)=0成立,则多项式f(x)有一个因式x-a根据因式定理,找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根对于任意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的,然而当多项式f(x)的系数都是整数时,即整系数多项式时,经常用下面的定理来判定它是否有有理根怎样进行分解因式例 7x + (-8x) =-x原式=(x+7)(x-8)
19、-2x+(-8x)=-10x原式=(x-2)(x-8)例3、该题虽然二次项系数不为1,但也可以用十字相乘法进行因式分解。因为9y + 10y=19y原式=(2y+3)(3y+5)例4、 因式分解。21x + (-18x)=3x原式=(2x+3)(7x-9)例5、 因式分解。该题可以将(x+2)看作一个整体来进行因式分解。-25(x+2)+-4(x+2)= -29(x+2)原式=2(x+2)-55(x+2)-2=(2x-1)(5x+8)例6、 因式分解。该题可以先将()看作一个整体进行十字相乘法分解,接着再套用一次十字相乘。-2+-12=-14 a + (-2a)=-a 3a +(-4a)=-a原式=-2 -12=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
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