高中数学第2章函数24幂函数课时作业苏教版必修Word格式.docx

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|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是________．

7．给出以下结论：

①当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

②幂函数的图象都经过（0,0），（1,1）两点；

③若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大；

④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限．

则正确结论的序号为________．

8．函数y＝＋x－1的定义域是________．

9．已知函数y＝x－2m－3的图象过原点，则实数m的取值范围是____________________．

二、解答题

10．比较、、的大小，并说明理由．

11．如图，幂函数y＝x3m－7（m∈N）的图象关于y轴对称，且与x轴、y轴均无交点，求此函数的解析式．

能力提升

12．已知函数f（x）＝（m2＋2m）·

，m为何值时，函数f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数．

13．点（

，2）在幂函数f（x）的图象上，点（－2，

）在幂函数g（x）的图象上，问当x为何值时，有：

（1）f（x）>

g（x）；

（2）f（x）＝g（x）；

（3）f（x）<

g（x）．

1．幂函数在第一象限内指数变化规律：

在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；

在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．

2．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数

中的m是否为偶数；

判断幂函数的奇偶性时要看指数

中的m、n是奇数还是偶数．y＝xα，当α＝

（m、n∈N*，m、

n互质）时，有：

n

m

y＝的奇偶性

定义域

奇数

偶数

非奇非偶函数

[0，＋∞）

偶函数

（－∞，＋∞）

奇函数

3.幂函数y＝的单调性，在（0，＋∞）上，

>

0时为增函数，

<

0时为减函数．

§

2.4　幂函数

知识梳理

1．y＝xα　3.

（1）（1,1）　

（2）（0,0），（1,1）　递增　下凸

（3）（1,1）　递减　（4）原点　y轴　（5）四

作业设计

1．①②④

解析　根据幂函数的定义：

形如y＝xα的函数称为幂函数，③中自变量x的系数是2，不符合幂函数的定义，所以③不是幂函数．

2.

解析　设幂函数为y＝xα，依题意，

＝4α，

即22α＝2－1，∴α＝－

.

∴幂函数为y＝，∴f（8）＝＝

＝

3．②

解析　y＝＝

，∴x∈R，y≥0，f（－x）＝

＝f（x），即y＝是偶函数，又∵

<

1，∴图象上凸．

4．2，

，－

，－2

解析　作直线x＝t（t>

1）与各个图象相交，则交点自上而下的排列顺序恰好是按幂指数的降幂排列的．

5．a>

c>

b

解析　根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，y＝在x>

0时是增函数，所以a>

c，y＝（

）x在x>

0时是减函数，所以c>

b.

6．2

解析　因为x∈（－1,0）∪（0,1），

所以0<

|x|<

1.

要使f（x）＝xα>

|x|，xα在（－1,0）∪（0,1）上应大于0，

所以α＝－1,1显然是不成立的．

当α＝0时，f（x）＝1>

|x|；

当α＝2时，f（x）＝x2＝|x|2<

当α＝－2时，f（x）＝x－2＝|x|－2>

1>

|x|.

综上，α的可能取值为0或－2，共2个．

7．④

解析　当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，故①不正确；

当α<

0时，函数y＝xα的图象不过（0,0）点，故②不正确；

幂函数y＝x－1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故③不正确．④正确．

8．（0，＋∞）

解析　y＝的定义域是[0，＋∞），y＝x－1的定义域是（－∞，0）∪（0，＋∞），再取交集．

9．m<

－

解析　由幂函数的性质知－2m－3>

0，

故m<

10．解　考查函数y＝1.1x，∵1.1>

1，

∴它在（0，＋∞）上是增函数．

又∵

>

，∴>

再考查函数y＝，∵

又∵1.4>

1.1，∴>

，

∴>

11．解　由题意，得3m－7<

0.

∴m<

∵m∈N，∴m＝0,1或2，

∵幂函数的图象关于y轴对称，

∴3m－7为偶数．

∵m＝0时，3m－7＝－7，

m＝1时，3m－7＝－4，

m＝2时，3m－7＝－1.

故当m＝1时，y＝x－4符合题意．即y＝x－4.

12．解　

（1）若f（x）为正比例函数，则

⇒m＝1.

（2）若f（x）为反比例函数，

则

⇒m＝－1.

（3）若f（x）为二次函数，则

⇒m＝

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，

∴m＝－1±

13．解　设f（x）＝xα，则由题意，得

2＝（

）α，∴α＝2，即f（x）＝x2.

设g（x）＝xβ，由题意，得

＝（－2）β，

∴β＝－2，即g（x）＝x－2.

在同一平面直角坐标系中作出f（x）与g（x）的图象，如图所示．

由图象可知：

（1）当x>

1或x<

－1时，

f（x）>

（2）当x＝±

1时，f（x）＝g（x）；

（3）当－1<

x<

1且x≠0时，

f（x）<

2019-2020年高中数学第2章函数2.5.1函数的零点课时作业苏教版必修

课时目标　1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．

1．函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的关系

函数图象

判别式

Δ>

Δ＝0

Δ<

与x轴交

点个数

方程的根

无解

一般地，我们把使函数y＝f（x）的值为0的实数x称为函数y＝f（x）的______．

3．函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的________，也就是函数y＝f（x）的图象与x轴的交点的______．

4．方程f（x）＝0有实数根

⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有______

⇔函数y＝f（x）有______．

函数零点的存在性的判断方法

若函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）·

f（b）<

0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点．

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·

c<

0，则函数的零点个数是________．

2．若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．（填序号）

①若f（a）f（b）>

0，不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0；

②若f（a）f（b）<

0，存在且只存在一个实数c∈（a，b）使得f（c）＝0；

③若f（a）f（b）>

0，有可能存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0；

④若f（a）f（b）<

0，有可能不存在实数c∈（a，b）使得f（c）＝0.

3．若函数f（x）＝ax＋b（a≠0）有一个零点为2，那么函数g（x）＝bx2－ax的零点是________．

4．已知函数y＝f（x）是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．

5．函数f（x）＝

零点的个数为________．

6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是________．

7．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在（0，＋∞）上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．

8．函数f（x）＝lnx－x＋2的零点个数为________．

9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为（k，k＋1）（k∈N），则k的值为________.

x

－1

1

2

3

ex

0.37

2.72

7.39

20.09

x＋2

4

5

10．证明：

方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

11．关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

12．设函数f（x）＝

若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则方程f（x）＝x的解的个数是_______________________．

13．若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系

（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．

（2）根据函数零点定义可知，函数f（x）的零点就是方程f（x）＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f（x）＝0是否有实根，有几个实根．

（3）函数F（x）＝f（x）－g（x）的零点就是方程f（x）＝g（x）的实数根，也就是函数y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象交点的横坐标．

2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝

3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．

2.5　函数与方程

2．5.1　函数的零点

1．2个　1个　0个　2个　1个　2.零点　3.实数根　横坐标

4．交点　零点

1．2个

解析　方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<

0，∴a≠0，

∴Δ＝b2－4ac>

即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，

则对应函数的零点个数为2个．

2．①②④

解析　对于①，可能存在根；

对于②，必存在但不一定唯一；

④显然不成立．

3．0，－

解析　∵a≠0,2a＋b＝0，

∴b≠0，

＝－

令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝

4．4

解析　由图象可知，当x>

0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．

5．2

解析　x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.

x>

0时，f（x）＝lnx－2在（0，＋∞）上递增，

f

（1）＝－2<

0，f（e3）＝1>

0，∴f

（1）f（e3）<

∴f（x）在（0，＋∞）上有且只有一个零点．

综上，f（x）在R上有2个零点．

6．（－∞，0）

解析　设f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f（0）＝0可得d＝0，f（x）＝x（ax2＋bx＋c）＝ax（x－1）（x－2）⇒b＝－3a，又由x∈（0,1）时f（x）>

0，可得a>

0，∴b<

7．3　0

解析　∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，又∵f（x）在（0，＋∞）上是增函数，由奇函数的对称性可知，f（x）在（－∞，0）上也单调递增，由f

（2）＝－f（－2）＝0.因此在（0，＋∞）上只有一个零点，综上f（x）在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.

8．2

解析　该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：

由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f（x）＝lnx－x＋2有2个零点．

9．1

解析　设f（x）＝e2－（x＋2），由题意知f（－1）<

0，f（0）<

0，f

（1）<

0，f

（2）>

0，所以方程的一个实根在区间（1,2）内，即k＝1.

10．证明　设f（x）＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．

因为f（－1）＝3>

0，f（0）＝－2<

0，f

（2）＝6>

所以在（－1,0），（0,2）内都有实数解．

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．

11．解　令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14.

依题意得

或

即

，解得－

m<

12．3

解析　由已知

得

∴f（x）＝

当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，

即x2＋3x＋2＝0，

∴x＝－1或x＝－2；

当x>

0时，方程为x＝2，

∴方程f（x）＝x有3个解．

13．解　设f（x）＝x2＋（k－2）x＋2k－1.

∵方程f（x）＝0的两根中，一根在（0,1）内，一根在（1,2）内，

∴

，即

k<