无锡地区中考选择填空压轴题专题7圆的综合问题含答案.docx
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无锡地区中考选择填空压轴题专题7圆的综合问题含答案
专题07圆的综合问题
例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（ ）
A．2B．
C．
＋1D．
同类题型1.1如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
①若AD＝5，BD＝2，则
；
②∠ACB＝∠DCF；
③△FDA∽△FCB；
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则
；
则正确的结论是（ ）
A．①③B．②③④C．③④D．①②④
同类题型1.2一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图
（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．
（4）连结AE、AF，如图（5）所示．
经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④
：
，
以上结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以
为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．
同类题型2.1如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，
，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
同类题型2.2如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．
同类题型2.3如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
例3．如图，直线
，⊙O与
和
分别相切于点A和点B．点M和点N分别是
和
上的动点，MN沿
和
平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误的是（ ）
A．
B．若MN与⊙O相切，则
C．若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切
D．
和
的距离为2
同类题型3.1如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，－1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是__________．
同类题型3.2我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：
与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（ ）
A．6B．8C．10D．12
同类题型3.3已知AC⊥BC于C，BC＝a，CA＝b，AB＝c，下列图形中⊙O与△ABC的某两条边或三边所在的直线相切，则⊙O的半径为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例4．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则
的值为______________．
同类题型4.1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作⊙M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE＝5，CE＝3，则DF的长是_______________．
同类题型4.2如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD＝2AD，EC＝2AE，则sin∠BAC的值等于线段（ ）
A．DE的长B．BC的长C．
DE的长D．
DE的长
例5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，
．下列四个结论：
①AC平分∠DAB；②
＝PB﹒PA；③若
OP，则阴影部分的面积为
；④若PC＝24，则
．其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①②④D．①②③
同类题型5.1如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．
同类题型5.2某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为_____________．
同类题型5.3如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
同类题型5.4如图，已知矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，分别以边AD，BC为直径在矩形ABCD的内部作半圆
和半圆
，一平行于AB的直线EF与这两个半圆分别交于点E、点F，且EF＝2（EF与AB在圆心
和
的同侧），则由
，EF，
，AB所围成图形（图中阴影部分）的面积等于_______．
参考答案
例1．如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA＋PB的最小值为（ ）
A．2B．
C．
＋1D．
解：
作A关于MN的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP＋PB＝QP＋PB＝QB，
根据两点之间线段最短，PA＋PB的最小值为QB的长度，
连接OQ，OB，
∵点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠ACD＝30°．
∵B弧AD中点，
∴∠BOD＝∠ACD＝30°，
∴∠QOD＝2∠QCD＝2×30°＝60°，
∴∠BOQ＝30°＋60°＝90°．
∵⊙O的半径是2，
∴OB＝OQ＝2，
∴
，即PA＋PB的最小值为2
．
选D．
同类题型1.1如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
①若AD＝5，BD＝2，则
；
②∠ACB＝∠DCF；
③△FDA∽△FCB；
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC＝FC＝4，DF＝3，则
；
则正确的结论是（ ）
A．①③B．②③④C．③④D．①②④
解：
①如图1，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠BAD＝∠CBD，
∵∠BDE＝∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴
，
由AD＝5，BD＝2，可求
，
①不正确；
②如图2，
连接CD，
∠FCD＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，
∴∠FCD＝∠ABD，
若∠ACB＝∠DCF，因为∠ACB＝∠ADB，
则有：
∠ABD＝∠ADB，与已知不符，
故②不正确；
③如图3，
∵∠F＝∠F，∠FAD＝∠FBC，
∴△FDA∽△FCB；
故③正确；
④如图4，
连接CD，由②知：
∠FCD＝∠ABD，
又∵∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴
，
由AC＝FC＝4，DF＝3，可求：
AF＝8，
，
∴
，
∵直径AG⊥BD，
∴
，
∴
，
∴
，
故④正确；
故选：
C．
同类题型1.2一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：
（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图
（2）所示．
（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．
（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．
（4）连结AE、AF，如图（5）所示．
经过以上操作小芳得到了以下结论：
①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④
：
，
以上结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：
∵纸片上下折叠A、B两点重合，
∴∠BMD＝90°，
∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴∠BNF＝90°，
∴∠BMD＝∠BNF＝90°，
∴CD∥EF，故①正确；
根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN＝MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故②正确；
如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°－30°＝60°，
又∵AM＝ME（都是半径），
∴∠AEM＝∠EAM，
∴
×60°＝30°，
∴∠AEF＝∠AEM＋∠MEN＝30°＋30°＝60°，
同理可求∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，故③正确；
设圆的半径为r，则
r，
r，
∴
r，
r，
∴
：
：
：
4π，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
选D．
同类题型1.3
同类题型1.4
例2．如图，△ABC中，BC＝4，∠BAC＝45°，以
为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．
解：
作OF⊥BC于F，则
BC＝2，如图，连结OB，
在Rt△OBF中，
，
∵∠BAC＝45°，BC＝4，
∴点A在BC所对应的一段弧上一点，
∴当点A在BC的垂直平分线上时OA最大，
此时AF⊥BC，AB＝AC，
作BD⊥AC于D，如图，设BD＝x，
∵△ABD为等腰直角三角形，
∴
x，
∴
x，
在Rt△BDC中，∵
，
∴
，即
），
∵
BD﹒AC，
∴
＋2，
∴
，
即线段OA的最大值为
＋2＋2
．
同类题型2.1如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，
，则sin∠CBD的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
连接AO，
∵OM⊥AB于点M，AO＝BO，
∴∠AOM＝∠BOM，
∵∠AOB＝2∠C
∴∠MOB＝∠C，
∵⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，
，
∴
则sin∠CBD的值等于
．
选B．
同类题型2.2如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．
解：
①根据题意，画出图
（1），
在△QOC中，OC＝OM，
∴∠OMC＝∠OCP，
在△OPM中，MP＝MO，
∴∠MOP＝∠MPO，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠MPO＝∠OCP＋∠AOC＝∠OCP＋30°，
在△OPM中，∠MOP＋∠MPO＋∠OMC＝180°，
即（∠OCP＋30°）＋（∠OCP＋30°）＋∠OCP＝180°，
整理得，3∠OCP＝120°，
∴∠OCP＝40°．
②当P在线段OA的延长线上（如图2）
∵
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