分式方程题型重难点最新总结Word文档下载推荐.docx
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检验：
把尸一2代入（x+2）（x—2）,得（―2+2）（-2-2）=0
所以x=-2是原方程的增根，原分式方程无解.
2x-5
⑵原方程可变形知金亍金矿占土方程两边都乘以（x_2）（x+3）（x_4）,得5x（x-4）+（2x—5）（x—2）=（7x—10）（x+3）,整理，得*0x=70,Ax=l,检验，当x=l时，（x-2）（x+3）（x-4）H0・・・原方程的解是x=l.
【变2】设实数k满足0<
k<
l,解关于x的分式方程：
——J—=^1.
x—lX~—XX
【解析】由题意得,2kx-l=（2k+l）（x-i）,
即2也-l=（2R+l）x-2k-l,解得x=2k,
I.如果k=-,即x=l,则x=2k为原方程的增根；
2
n.如果OvRvl且£
工丄，则x^2k为原方程的根.
题型二分式方程的增根、无解及解范围问题
【例3】
（1）若关于x的方程—=—+1无解，则a的值是.
x-2x-2
（2）若关于x的分式方程—--=1无解，则。
=.
x-lX
（3）若关于x的方程±
Ll__^=血+2无解，求a的值.
x+2x-l（X-1）（X4-2）
【解析】
（1）1或2；
（2）1或一2;
原方程化为（a+2）x=3,x=1>
x=0、a+2=0时，原方程均无解.
（3）原方程化为（a+2）x=-3f①
T原方程无解，.・・。
+2=0或兀—1=0,x+2=0,
得x=l,x=—2分别代入①，得67=—5,a=-—,
综上知a=—2,-5或一丄.
【例4】
（1）若关于x的方程兰巴+1=0的根为正数，则加取值范围为•
x-2
（2）若关于x的分式方程—=^—2的解是非负数，则。
取值范围是.
%—12x—2
（3）若关于x的方程竺乜_1=0的解为正数，则a取值范围为•
x-l
（1）去分母，得：
2x+加+（x-2）=0,化简可得：
尤=23^,
由题意得：
x>
0且XH2,即：
且^^工2,解得：
加<
2且加工"
.
33
49
（2）a>
—且aH—.
（3）avl且dH—1.
【例5】
（1）若关于x的分式方程——=1有增根，则增根是
X--1X-1
（2）如果分式方程口—_=8出现了增根，那么£
的值为.
x-17-x
（3）若分式方程互-4^-=—产生增根，则加的值为•
X+1X~+XX
（4）如果解方程—=-^!
—时出现增根，则加的取值为.
x-2x+2%--4
（1）x=l:
去分母，得：
6-m（x+1）=x2-1,移项，得：
7-m（x+1）=,
当x=-l时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论），当x=l时为原方程的增根.
（2）1:
（3）—2或1;
（4）ni=±
—.
【变3】⑴若分式方程：
2+匕竺=丄有增根，则k的值为
x—22—x
⑵若关于X的分式方程岂出_1=?
无解，则加的值为
x-3x
⑶若分式方程兰削=-1的解是正数，求。
的取值范围.
⑷解关于x的方程总=》（c+d工0）
【解析】⑴解分式方程得：
*二，由于有增根，则“2,・••二=2,・・・R=12-k2-k
⑵解分式方程得：
x=-—,由于方程无解，则x=0或3
2ni+1
3
当x=0时，加无解，当x=3时，m=—
0_ZT
⑶解分式方程得：
x=>
0-fl-x^2,a<
2a^-4
题型三8大技巧解分式方程
对于某些特殊类型的分式方程，如果采用常规方法来解，往往会带来繁琐的运算。
下面举例介绍几种巧解分式方程的方法.
技巧局部通分法
【例6】解下列关于x的方程（组）:
x-6x-5x-5x-2
【解析】局部通分得…
去分母，得x2—7x+10=x2—9.v+18,故a=4
（3x+l）
（x-4）（x-3）（x-5）（x-l）
经检验知曰是原方程的解.
/.3x4-1=0,或=0,
由3x+l=0,解得x=--,由——丄=0,解得x=7.
3（x—4）（x-3）（x—5）（兀一1）
经检验：
“冷，*7是原方程的根.
技巧2：
分离常数法
【例7】
x-lx-7x-3x-5+=Hx-2x-8x-4x-6
【分析】方程中每一个分式的分母加1都等于它的分子，根据这样一个特点，可以把分子分成两
项，然后分别用它的分母去除，消去分子中的未知数.
【解析】分离常数得
（x-2）+l（x-8）+l（x-4）+l（x-6）+l
H=1
x-2x-8x-4x-6
即]+—!
—+]+—!
—=]+—!
—
注：
分离常数之后达到使分式方程简化的目的，之后可以用刚才的局部通分法继续解题移项得：
J=——
x—2x-4x-6x-8
局部通分得：
J—=—-——
x~一6.r+8.V-14x+48
.•.X2—14x+48=W—6x+8解得a=5,经检验x=5是原方程的解.
x+1x-lx~-I
【解析】方程3「+9x+7_2.£
+4x-3_x节"
1=。
可化为:
【变5】解方程岁+9兀+7_2疋+4—3/口“1=0
x+lx-lx--1
2«
12«
、32x+l
x+lx-lx--1
132x+l八-4x-5门
»
—=0=>
———=0
x+lx-lx~-ix~-1
故x=--,经检验，是原方程的解.
4
［变6】解方程车竺2+1=算±
竺±
1
x'
+x-2x~+2x+l
rhji+r*、X"
4-x—2—12x~+4x+2—1
X'
+x-2x'
+2x+l
-1-1
1+—+1=2+
x~+x-2+2a+1
———-——=———,X2+x-2=x2+2x+1,x=-3
x_4-x—2x~+2x+1
经检验x=-3不是原方程的增根，・•・原方程的解是x=-3
经检验=；
为原方程组的解.
[y=2上2Qr2
【例9】解方程（丄）2-巳——4=0
X—1X—1
【解析】设上二则原方程可化为：
才一3y—4=0解得y=4或y=-l.
（1）当y=4时，———=4,去分母，得二4（兀一1）=>
匕一4兀+4二0=>
x=2；
x-l
把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0.
所以，*2,都是原方程的解.
故》=。
或者如I,即字+宁=。
或者匕誉九解之得，X=y,或X=O,或“5,经检验，均是原方程的解.
【解析】把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们
还不会解这类方程组.若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成
则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解•设-=/«
，丄
经检验;
M是原方程组的解.
【变9】
x+y3
解方程组＜?
x+y2
+
2x-y
_£
~~6
=3
【解析】按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，会出现高次方程，目前我们还不会解.因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换）去解这个方程组.
设=m，丄=”，则原方程组变形为＜
--3n=~-
36
—+2h=3
化简整理方程组：
将方程⑴两边同乘以6,得：
加-⑻=-1将方程⑵两边同乘以2得：
加+4“=6
・•・原方程组化为严一⑻：
T•…•…丫）解方程组：
（3H4）X2^n=-
[/n+4n=6（4）2
把，冷代入⑷籾+4专・"
即＜
x-y2
fx+y=4......（5）
[x-y=2.......（6）
再解方程组：
（5）+（6）得兀=3,耳各x=3代入（5）得y=l
fx=3
（y=l
严[是原方程组的解.
技巧4：
局部换元法
【例10】-—+—=0
x~-xx~-x+1jt-x+4
【分析】通过观察发现各分式中分母都和x2-x+l这一式子有联系，故可用局部换元法
【解析】令x2-x+l=y,原方程变成
1o1
——=0,解之并检验可得尸3。
），一1yy+3
Ax2—x+l=3,解之可得xi=2,X2=—1
涉及一元二次方程简单解法，教师可适当铺垫。
故原方程的根是山=2,疋=一1.
【例11】6|x2+4-|+5（x+丄）=38.
Ix~）x
【解析】设f=x+-则疋+亠=尸_2原方程变为：
6（尸一2）+5238
当%+-=-—时解得也=一丄,兀=一3
x33
经检验都为原方程的根。
所以原方程的根为x1=2,x2=1,x3=-|,x4=-3【变10]-一i+一i；
一-——=0.
x--lOx-29x"
-10x-45x~-10x-69
【解析】设x2-10x-45=r,则原方程可化为：
119
h0,解之得，/=—6
r+16tr-24
故x2一10x-45=-6=>
x2-10x-39=0
（x+3）（x-13）=0=>
x=-3或x=13
【解析】设x:
-8=y,则原方程化为:
llx+y2x4-yy-13x
整理可得，b=49/,故y=±
lx
若y=7x,R'
lx2-7x-8=0,（x+l）（x-8）=0,故x=—l或x=8;
若y=-7x,则x2+7x-8=0,（x-l）（x+8）=0,故x=l或x=-8.
经检验，上述四个值均是原方程的解.
【例12】
技巧5:
裂项法
x（x+1）（x+l）（x+2）（x+2）（x+3）（x+3）（x+4）（x+4）（x+5）x+5
【解析】原方程可化为丄-—
xx+1x+lx+2x+4x-5x+5
即丄-一=—,解之得%=-,经检验x=-是原方程的根
xx+5x+522
【变12】方程——J——+——-——+——!
——+=—!
—-丄的解
（x-l）（x+2）（x+2）（x+5）（x+5）（x+8）（x+8）（x+ll）3x—324
为.
【解析】・・・」_=丄—丄
（x-3）xx-3x
・°
・方程两边乘3,拆项、化简得：
一-—=—,x=—3
x+ll8
【变13】解方程—+—+—=A.
x~+xx-+3x+2x~+5x+6x'
4-7x+1221
111111
1…
xx+1x+Ix+2x+3x+4
丄_丄丄，即亠丄
xx+421x（x+4）21
故x（x+4）=21=>
/+4兀一21=0,即（x-3）（x+7）=0
故“3或者x=-7,经检验，均是原方程的解.
技巧6：
倒数法
X1
【例13】=-^-
+XJT一1
【解析】・・・xH0,方程化为匚贮=/—1,・・・x+l=F—1
X
：
.Xl=Zx2=-l经检验x=-1是增根，舍去，・•・原方程的解是x=2
技巧7:
利用因式分解裂项法
=1
x+2
经检验X=1是原方程的根
技巧8：
逐步通分法
【例15】—!
—+—!
—+2,+48=]6
1-x1+x1+x-1+X1+X
【解析】厶+Z+二+二=16
1-X-1+X-1+X41+A-8
448_
1-x41+x4+l+xs-
+亠=16解得兀=0,经检验x=0是原方程的根
l-.vs1+x8
16山
题型四分式方程的应用
列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：
验根和验题意.
【例16】列方程解应用题：
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场•现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：
甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：
乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.
【解析】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.
依题意得空=竺+10解得x=40
x1.5x
经检验，x=40是原方程的解，并且符合题意A1.5x=60.
答：
甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品.
【变14】甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：
球拍托着乒乓球从起跑线/起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；
途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜.结果：
甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完.事后，甲同学说：
“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：
“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”.根据图文信息，请问哪位同学获胜？
【解析】解一：
设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒
根据题意得：
_^_+6+—=501.2xx
解得x=2.5
x=2.5是方程的解，且符合题意，
・••甲同学所用的时间为：
—+6=26（秒）
1.2x
乙同学所用的时间为：
—=24秒
x
V26>
24,・•・乙同学获胜
解二：
设甲同学所用时间为;
I秒，乙同学所用时间为y秒
x=26,），=24是方程的解，且符合题意，x>
y,・•・乙同学获胜
题型五七大误区梳理
误区1:
忽视检验
【例17】解方程—+—=
x+lx-lX'
-1
【错解】去分母，得"
兀一1丿+3（兀+1丿=6
解这个整式方程，得x=l
所以，原方程的解为x=l
【总结】错误原因就是没有验根，这是与解整式方程最大的区
【正解】在添加检验这一环节就可以拉。
经检验，得x=l能使原方程分母得0,所以x=l是增根，舍去，原方程没有实数
误区2：
检验方法不正确
【例18】解方程—+—=
x+lx-1x~-1
兀一1丿+3（兀+1丿=6解这个整式方程，得x=l
把兀=1代入2（x-l）+3（x+l）=6中，
左边=2x（1—1丿+3（1+2丿=6=右边所以，x=l是原方程的解。
【正解】去分母，得"
兀一1丿+3（兀+1丿=6,解这个整式方程，得x=l
把兀=1代入原方程，原方程无意义，故兀=1是增根，原方程无解
误区3：
忽视分子为零
【例19】解方程一-—-4=_i—
x-2x-1x-4x-3
5—x5—x
【错解】方程两边分别通分并整理，得一=—
x2-3x+2x2-7x+12
由于等式左右两边都是分式，而且这两个分式的分子相等，所以分母也应该相等，故有
%2—3x+2=x2-7x+12,解之，Wx=—
把x=-代入原方程，原方程左、右两边的值相等，所以，x=-是原方程的根.
225—x5—x
【正解】方程两边分别通分并整理，得=—.
当5-x=0时，得x=5；
当5-x^O时，贝iJ<
x2-3x+2=x2-7x+12.
解之，得x=-.经检验知x=5,x=-都是原方程的根。
22
误区4：
考虑问题不全面
【例20】若关于x的分式方程口=2的解为正数，则加的取值范围是（）
x-1
A.m>
—iB・C.加>
1且加H-lD.m>
—\且加Hl
【错解】把方程的两边同时乘以x-1,得：
加—1=2（兀一1）
解这个方程，得x=也
因为方程的解为正数，所以曲>
0,则m>
-l
故当加>
一1时，原方程的解为正数.
【正解】把方程的两边同时乘以x-1,得：
解这个方程，得兀=竺乜.
・・・原方程的增根只能是x=l,当竺乜=1时，得m=l
所以，当m=l时，x=——才是原方程的根.又因为原方程的解为正数，
十」/7?
+1rtl
所以，>
0,则m>
综上所述，当加>
一1且加工1时，原方程的解为正，故选择D。
误区5：
没有真正理解分式方程有“增根”的含义
【例21】若关于x的方程沁一1=0有增根，则。
的值为
-2
【错解】原方程可化为（a-1）x十2=0,所以，——
a-\
因为，方程有增根，所以详1
即朮1,所以，阳一1
a-1
【正解】原方程可化为（a-1）x+2=0f
而原方程的增根为使x—1=0的x的值
即x=l,把X=1代入得d=—1
误区6:
去分母时漏乘不含分母的项
【例22】解方程丄=2+丄
x—3x-3
【错解】去分母，得尸2十3即尸5
当x=5时,x-3/O.所以尸5是原方程的根
【正解】去分母，得x=2（x・3）十3,尸"
・6十3,解这个方程得尸3,把尸3代入x-3=0
・・・x=3是原方程的增根。
所以原方程无解
误区7:
解分式方程错符号
【例23】解方程丄=
2-xx-23x2-12
【错解】方程两边同乘以最简公分母3（x+2）（x—2）,得：
3（x+2）=3（卄2）-6-x,以下略
【正解】去分母，得：
一3（x+2）=3（x+2）—6七r整理得；
7H*6=0
解得：
x=--,经检验，x=--是原方程的解
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