分式方程题型重难点最新总结Word文档下载推荐.docx

1、检验：把尸一2 代入（x+2）（x 2）,得（2 + 2）（-2-2） = 0所以x=-2是原方程的增根，原分式方程无解.2x-5原方程可变形知金亍金矿占土 方程两边都乘以（x_2）（x+3）（x_4）, 得5x（x-4） + （2x5）（x2） = （7x10）（x+3）,整理，得*0x = 70, Ax = l, 检验，当x = l时，（x-2）（x+3）（x-4）H0原方程的解是x = l.【变2】设实数k满足0 k x=0、a + 2 = 0时，原方程均无解.（3）原方程化为（a + 2）x = -3fT原方程无解，.。+ 2 = 0或兀1 = 0, x+2 = 0,得x = l, x

2、 = 2分别代入，得67 = 5 , a = -,综上知a = 2, -5或一丄.【例4】（1）若关于x的方程兰巴+ 1 = 0的根为正数，则加取值范围为 x-2（2）若关于x的分式方程 = 2的解是非负数，则。取值范围是 .% 1 2x2（3）若关于x的方程竺乜_1 = 0的解为正数，则a取值范围为 x-l（1）去分母，得：2x +加+ （x-2） = 0 ,化简可得：尤=2 3 ,由题意得：x0且XH2,即： 且工2,解得：加且aH.（3） avl且dH1.【例5】（1）若关于x的分式方程 =1有增根，则增根是 X-1 X-1 （2） 如果分式方程口 _ =8出现了增根，那么的值为 .x-

3、1 7-x（3） 若分式方程互-4- = 产生增根，则加的值为 X +1 X +X X（4） 如果解方程 =-!时出现增根，则加的取值为 .x-2 x + 2 %- -4（1）x=l:去分母，得：6-m（x +1） = x2 -1,移项，得：7-m（x +1） = ,当x = -l时，原方程无解，（分母为0的两种情况讨论），当x=l时为原方程的增根.（2） 1: （3） 2或 1; （4） ni = .【变3】若分式方程：2 +匕竺=丄有增根，则k的值为 x2 2 x若关于X的分式方程岂出_1 = ?无解，则加的值为 x-3 x若分式方程兰削=-1的解是正数，求。的取值范围.解关于x的方程总=

4、（c + d工0）【解析】解分式方程得：*二，由于有增根，则“2,二 =2,R = 1 2-k 2-k解分式方程得：x =- ,由于方程无解，则x=0或32ni +13当x = 0时，加无解，当x = 3时，m =0 _ ZT解分式方程得：x = 0-fl-x2, a =0x+l x-l x -i x -1故x = -,经检验，是原方程的解.4变6】解方程车竺2 + 1 =算竺1x +x-2 x +2x+lr hji +r*、X 4- x 2 1 2x + 4x +2 1X + x-2 x +2x + l-1 -11 + + 1 = 2+ x +x-2 +2a + 1-= ,X2 + x-2

5、= x2+2x+1 , x = -3x_ 4- x2 x + 2x +1经检验x = -3不是原方程的增根，原方程的解是x = -3经检验= ；为原方程组的解.y = 2 上 2 Qr2【例9】解方程（丄）2-巳 4 = 0X 1 X 1【解析】设上二则原方程可化为：才一3y 4 = 0 解得y = 4或y = -l. （1）当 y = 4时，=4,去分母，得二 4（兀一1）= 匕 一4兀 +4 二 0 = x = 2 ； x-l把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0.所以，*2, 都是原方程的解.故=。或者如I,即字+宁=。或者匕誉九 解之得，X=y,或X=O,或“5,经检验，均是原方程

6、的解.【解析】把方程组的每一个方程去分母，转化为整式方程组，将得到二元二次方程组，目前我们还不会解这类方程组.若认真观察这个方程组得特点，则原方程组可写成则利用换元法就可以转化为二元一次方程组求解设- = /，丄经检验;M是原方程组的解.【变9】x+ y 3解方程组 ?x+ y 2 + 2 x-y_6=3【解析】按常规想法将两个分式方程去分母后变形为整式方程组，会出现高次方程，目前我们还 不会解.因此观察特点，特别是反复出现的字母形式，再利用换元思想（或叫整体代换） 去解这个方程组.设= m，丄=”，则原方程组变形为-3n = -3 6+2h = 3化简整理方程组：将方程两边同乘以6,得：加-

7、=-1 将方程两边同乘以2得：加+ 4“ = 6原方程组化为严一：T丫）解方程组：（3H4）X2 n = -/n + 4n = 6 （4） 2把，冷代入籾+ 4专即x-y 2fx+y = 4.（5）x-y = 2.（6）再解方程组：（5）+（6）得兀=3,耳各x = 3代入（5）得y = lfx = 3（y = l严是原方程组的解.技巧4：局部换元法【例 10】- + =0x -x x -x+1 jt-x+4【分析】通过观察发现各分式中分母都和x2-x+l这一式子有联系，故可用局部换元法【解析】令x2-x+l=y,原方程变成1 o 1= 0,解之并检验可得尸3。），一1 y y + 3Ax2x

8、+l=3,解之可得 xi=2, X2=1涉及一元二次方程简单解法，教师可适当铺垫。故原方程的根是山=2,疋=一1.【例 11】 6|x2 +4-| +5（x+ 丄）= 38.I x） x【解析】设f = x+-则疋+亠=尸_2原方程变为：6（尸一2） + 5238当%+- = -时解得也=一丄,兀=一3x 3 3经检验都为原方程的根。所以原方程的根为x1=2,x2=1, x3=-|,x4=-3 【变 10 -一i + 一i ；一-=0.x- -lOx-29 x -10x-45 x -10x-69【解析】设x2-10x-45 = r,则原方程可化为：1 1 9 h 0 ,解之得，/ = 6r +

9、 16 t r-24故 x2 一 10x-45 = -6 = x2 - 10x-39 = 0 （x+3）（x-13）= 0=x = -3 或 x = 13【解析】设x:-8=y,则原方程化为:llx+ y 2x4- y y-13x整理可得，b =49/,故y = lx若 y = 7x, Rl x2 -7x-8 = 0 , （x + l）（x-8） = 0 ,故 x = l 或 x=8;若 y = -7x,则 x2 + 7x-8 = 0 , （x-l）（x +8）= 0 ,故 x=l 或 x = -8.经检验，上述四个值均是原方程的解.【例12】技巧5:裂项法x（x +1） （x + l）（x

10、+ 2） （x + 2）（x+3） （x + 3）（x + 4） （x + 4）（x+5）x+5【解析】原方程可化为丄-x x+1 x+l x+2 x+4 x-5 x+5即丄-一 =,解之得% = -,经检验x =-是原方程的根x x + 5 x + 5 2 2【变12】 方程J+-+!+ =! -丄的解（x-l）（x+2） （x+2）（x+5） （x + 5）（x+8） （x + 8）（x+ll） 3x 3 24为 .【解析】_ =丄丄（x-3）x x-3 x方程两边乘3,拆项、化简得：一-=,x = 3x + ll 8【变13】解方程+ + = A.x +x x- +3x+2 x +5x+

11、6 x 4-7x+12 211111 1 1 1 x x+1 x+I x+2 x+3 x+4丄_丄丄，即亠丄x x+4 21 x（x+4） 21故 x（x +4） = 21 =/+4兀一21 = 0 ,即（x-3）（x+7）=0故“3或者x = -7,经检验，均是原方程的解.技巧6：倒数法X 1【例13】 = - +X JT 一 1【解析】xH0,方程化为匚贮=/1,x + l = F1X：.Xl = Zx2=-l经检验x = -1是增根，舍去，原方程的解是x=2技巧7:利用因式分解裂项法 =1x+2经检验X = 1是原方程的根技巧8：逐步通分法【例 15】 ! + !+ 2,+ 4 8 =6

12、1-x 1 + x 1 + x- 1 + X 1 + X【解析】厶+ Z +二+二=161-X- 1 + X- 1 + X4 1 + A-84 4 8 _1-x4 1 + x4 +l + xs -+ 亠 =16 解得兀=0 ,经检验x = 0是原方程的根l-.vs 1 + x816 山题型四分式方程的应用列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：验根和验题意.【例16】 列方程解应用题：为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放 市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解 情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产

13、品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.【解析】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.依题意得空=竺+ 10解得x = 40x 1.5x经检验，x = 40是原方程的解，并且符合题意A1.5x=60.答：甲工厂每天能加工40件新产品，乙工厂每天能加工60件新产品.【变14】 甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：球拍托着乒乓球从起跑线/起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时 少者胜.结果：甲同学由

14、于心急，掉了球，浪费了 6秒钟，乙同学则顺利跑完.事后， 甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时， 甲的速度是我的1.2倍”.根据图文信息，请问哪位同学获胜？【解析】解一：设乙同学的速度为x米/秒，则甲同学的速度为1.2x米/秒根据题意得：_ + 6 + = 50 1.2x x解得x = 2.5x = 2.5是方程的解，且符合题意，甲同学所用的时间为： + 6 = 26 （秒）1.2x乙同学所用的时间为： = 24秒xV 2624,乙同学获胜解二：设甲同学所用时间为;I秒，乙同学所用时间为y秒x = 26,），= 24是方程的解，且符合题意，xy,乙同学获

15、胜题型五七大误区梳理误区1:忽视检验【例17】解方程+ =x + l x-l X -1【错解】去分母，得兀一1丿+3（兀+ 1丿=6解这个整式方程，得x = l所以，原方程的解为x=l【总结】错误原因就是没有验根，这是与解整式方程最大的区【正解】在添加检验这一环节就可以拉。经检验，得x = l能使原方程分母得0,所以x = l是增根，舍去，原方程没有实数误区2：检验方法不正确【例18】解方程+ =x + l x-1 x -1兀一1丿+3（兀+ 1丿=6解这个整式方程，得x = l把兀=1代入2（x-l）+3（x + l） = 6中，左边=2x（1 1丿+ 3（1 +2丿=6=右边所以，x=l是

16、原方程的解。【正解】去分母，得兀一1丿+3（兀+ 1丿=6,解这个整式方程，得x=l把兀=1代入原方程，原方程无意义，故兀=1是增根，原方程无解误区3：忽视分子为零【例19】 解方程 一- 4 = _i x-2 x-1 x-4 x-35 x 5 x【错解】方程两边分别通分并整理，得 一= x2-3x + 2 x2-7x + 12由于等式左右两边都是分式，而且这两个分式的分子相等，所以分母也应该相等，故有%2 3x+2 = x2 -7x+12 ,解之，Wx =把x =-代入原方程，原方程左、右两边的值相等，所以，x=-是原方程的根.2 2 5 x 5 x【正解】方程两边分别通分并整理，得 = .

17、当5-x= 0时，得x = 5；当5-xO时，贝iJi B C.加1 且加H-l D. m且加Hl【错解】把方程的两边同时乘以x-1,得：加1 = 2（兀一1）解这个方程，得x =也因为方程的解为正数，所以曲 0,则m-l故当加一1时，原方程的解为正数.【正解】把方程的两边同时乘以x-1,得：解这个方程，得兀=竺乜.原方程的增根只能是x=l,当竺乜=1时，得m=l所以，当m=l时，x = 才是原方程的根.又因为原方程的解为正数，十 /7? +1 rtl所以， 0,则m 综上所述，当加一1且加工1时，原方程的解为正，故选择D。误区5：没有真正理解分式方程有“增根”的含义【例21】若关于x的方程沁

18、一 1=0有增根，则。的值为-2【错解】原方程可化为（a-1）x十2=0,所以，a-因为，方程有增根，所以详1即 朮1,所以，阳一1a-1【正解】原方程可化为（a-1） x+2=0f而原方程的增根为使x1=0的x的值即x=l,把X=1代入得d=1误区6:去分母时漏乘不含分母的项【例22】解方程丄=2 +丄x 3 x-3【错解】去分母，得尸2十3即尸5当x=5时,x-3/O.所以尸5是原方程的根【正解】去分母，得x=2（x3）十3,尸6十3,解这个方程得尸3,把尸3代入x-3=0x=3是原方程的增根。所以原方程无解误区7:解分式方程错符号【例23】解方程丄= 2-x x-2 3x2-12【错解】方程两边同乘以最简公分母3 （x+2） （x2）,得：3 （x+2） =3 （卄2） -6-x,以下略【正解】去分母，得：一3 （x+2） =3 （x+2） 6七r整理得；7H*6=0解得：x = -,经检验，x = -是原方程的解7 7