量子力学试题.docx

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量子力学试题

量子力学试题〔一〕及答案

一.〔20分〕质量为的粒子，在一维无限深势阱中

中运动，假设时，粒子处于

状态上，其中，为粒子能量的第个本征态。

（1）求时能量的可测值与相应的取值几率；

（2）求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率

解：

非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

（1）首先，将归一化。

由

可知，归一化常数为

于是，归一化后的波函数为

能量的取值几率为

能量取其它值的几率皆为零。

（2）因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为

（3）由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时一样。

二.〔20分〕质量为的粒子在一维势阱

中运动，假设该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。

解：

对于的情况，三个区域中的波函数分别为

其中，

在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

得到

于是有

此即能量满足的超越方程。

当时，由于

故

，

最后，得到势阱的宽度

三.〔20分〕设厄米特算符的本征矢为，构成正交归一完备系，定义一个算符

（1）计算对易子；

（2）证明；

（3）计算迹；

（4）假设算符的矩阵元为，证明

解：

〔1〕对于任意一个态矢，有

故

〔2〕

〔3〕算符的迹为

〔4〕算符

而

四.〔20分〕自旋为、固有磁矩为〔其中为实常数〕的粒子，处

于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，

（1）求出时的波函数；

（2）求出时与的可测值及相应的取值几率。

解：

体系的哈密顿算符为

在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为

在时，粒子处于的状态，即

而满足的本征方程为

解之得

由于，哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为

〔2〕因为，所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算时的取值几率就知道了时的取值几率。

由于

；

故有

而的取值几率为

五.〔20分〕类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为

〔为核电荷〕

当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比拟。

解：

类氢离子的能量本征解为

式中，为玻尔半径。

能量的一级修正为

由维里定理知

总能量

所以，得到

微扰论近似到一级的能量为

而严格解为

量子力学试题〔二〕及答案

一、〔20分〕在时刻，氢原子处于状态

式中，为氢原子的第个能量本征态。

计算时能量的取值几率与平均值，写出时的波函数。

解：

氢原子的本征解为

其中，量子数的取值围是

；，

由波函数归一化条件可知归一化常数为

不为零的能量取值几率为

；

能量平均值为

当时，波函数为

二、〔20分〕设粒子处于一维势阱之中

式中，。

导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的值。

解：

对于的情况，三个区域中的波函数分别为

其中，

利用波函数再处的连接条件知，

，

在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

得到

于是有

此即能量满足的超越方程。

由于，余切值是负数，所以，角度在第2、4象限。

超越方程也可以改写成

式中，

因为，，所以，假设要上式有解，必须要求

当时，，于是，有

整理之，得到

三、〔20分〕在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。

解：

在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为

在动量表象中，该哈密顿算符为

由于动量的本征函数为，故哈密顿算符的矩阵元为

四、〔20分〕设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量，其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。

时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自

旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率和粒子2的自旋处于轴负方向的几率。

解：

体系的哈密顿算符为

选择耦合表象，由于，故四个基底为

；；；

在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即

可以直接写出它的解为

，

，

，

，

时，体系处于

因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为

粒子1处于轴负方向的几率为

而粒子2处于轴负方向的几率为

五、〔20分〕作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能量本征值与本征矢分别为与，如果哈密顿算符变成〔为实参数〕时，

〔1〕利用费曼－海尔曼定理求出严格的能量本征值。

〔2〕假设，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。

解：

首先，利用费因曼－赫尔曼定理求出严格的能量本征值。

视为参变量，那么有

利用费因曼-赫尔曼定理可知

又知

在任何束缚态下，均有

所以，

进而得到能量本征值满足的微分方程

对上式作积分，得到

利用时，，定出积分常数

最后，得到的本征值为

其次，用微扰论计算能量的近似解。

满足的本征方程为

由

可知

第个能级的一级修正为

能量的二级修正为

为了求出上式右端的求和项，在表象下计算

可以证明，对于任意实束缚态波函数，有

于是，得到

得到

近似到二级的解为

量子力学试题〔三〕及答案

一、〔20分〕氢原子在时处于状态

其中，为该氢原子的第个能量本征态。

求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。

解氢原子的本征值为

，〔1〕

将时的波函数写成矩阵形式

〔2〕

利用归一化条件

〔3〕

于是，归一化后的波函数为

〔4〕

能量的可能取值为，相应的取值几率为

〔5〕

能量平均值为

〔6〕

自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为

〔7〕

自旋分量的平均值为

〔8〕

时的波函数

〔9〕

二.〔20分〕质量为的粒子在如下一维势阱中运动

假设该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。

解对于的情况，三个区域中的波函数分别为

〔1〕

其中，

〔2〕

利用波函数再处的连接条件知，，。

在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

〔3〕

得到

〔4〕

于是有

〔5〕

此即能量满足的超越方程。

当时，由于

〔6〕

故

〔7〕

最后得到势阱的宽度

〔8〕

三、〔20分〕证明如下关系式

〔1〕任意角动量算符满足。

证明对分量有

同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。

投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。

证明在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为

而投影算符的共軛算符的矩阵元为

显然，两者的矩阵元是一样的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。

利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。

证明

四、〔20分〕在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。

解在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。

由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有

〔1〕

相应的本征解为

〔2〕

对于算符、而言，需要用到升降算符，即

〔3〕

而

〔4〕

当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，

〔5〕

只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即

〔6〕

于是得到算符、的矩阵形式如下

〔7〕

满足的本征方程为

〔8〕

相应的久期方程为

〔9〕

将其化为

〔10〕

得到三个本征值分别为

〔11〕

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

〔12〕

满足的本征方程为

〔13〕

相应的久期方程为

〔14〕

将其化为

〔15〕

得到三个本征值分别为

〔16〕

将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为

〔17〕

五、〔20分〕由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项〔分别为两个线谐振子的坐标〕后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

提示：

线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为

式中，。

解体系的哈密顿算符为

〔1〕

其中

〔2〕

的解为

〔3〕

其中

〔4〕

将前三个能量与波函数具体写出来

〔5〕

对于基态而言，，，体系无简并。

利用公式

〔6〕

可知

〔7〕

显然，求和号中不为零的矩阵元只有

〔8〕

于是得到基态能量的二级修正为

〔9〕

第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

〔10〕

其中

〔11〕

将上式代入〔10〕式得到

〔12〕

整理之，满足

〔13〕

于是得到第二激发态能量的一级修正为

〔14〕