量子力学试题.docx

1、量子力学试题量子力学试题一及答案 一. 20分质量为的粒子，在一维无限深势阱中中运动，假设时，粒子处于状态上，其中，为粒子能量的第个本征态。（1）求时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求时的波函数及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为（1）首先，将归一化。由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故时的波函数为（3）由于哈密顿量是守恒量，所以时的取值几率与时一样。 二. 20分质量为的粒子在一维势阱中运动，假设该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解：对于的情况，三个区

2、域中的波函数分别为其中，在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。当时，由于故 ，最后，得到势阱的宽度 三.20分设厄米特算符的本征矢为，构成正交归一完备系，定义一个算符（1）计算对易子；（2）证明；（3）计算迹；（4）假设算符的矩阵元为，证明 解： 1对于任意一个态矢，有故 2 3算符的迹为 4算符而四.20分自旋为、固有磁矩为其中为实常数的粒子，处于均匀外磁场中，设时，粒子处于的状态，（1）求出时的波函数；（2）求出时与的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为在时，粒子处于的状态，即而满足的本征方程为解之得由于，哈密顿

3、算符不显含时间，故时刻的波函数为 2因为，所以是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算时的取值几率就知道了时的取值几率。由于；故有而的取值几率为五. 20分 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为为核电荷当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比拟。 解：类氢离子的能量本征解为式中，为玻尔半径。能量的一级修正为由维里定理知总能量所以，得到微扰论近似到一级的能量为而严格解为量子力学试题二及答案一、20分在时刻，氢原子处于状态式中，为氢原子的第个能量本征态。计算时能量的取值几率与平均值，写出时的波函数。解：氢原子的本征解为其中，量子数的取

4、值围是；，由波函数归一化条件可知归一化常数为不为零的能量取值几率为；能量平均值为当时，波函数为二、 20分设粒子处于一维势阱之中式中，。导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的值。 解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为其中，利用波函数再处的连接条件知，在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到于是有此即能量满足的超越方程。 由于，余切值是负数，所以，角度在第2、4象限。超越方程也可以改写成式中，因为，所以，假设要上式有解，必须要求当时，于是，有整理之，得到三、20分在动量表象中，写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元。 解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为在动量表象

5、中，该哈密顿算符为由于动量的本征函数为，故哈密顿算符的矩阵元为四、20分设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量， 其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率和粒子2的自旋处于轴负方向的几率。 解： 体系的哈密顿算符为选择耦合表象，由于，故四个基底为；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即可以直接写出它的解为， ， ， ， 时，体系处于因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为粒子1处于轴负方向的几率为而粒子2处于轴负方向的几率为五、20分作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能量本征值与本征矢

6、分别为与，如果哈密顿算符变成为实参数时， 1利用费曼海尔曼定理求出严格的能量本征值。 2假设，利用微扰论计算能量本征值到二级近似。解：首先，利用费因曼赫尔曼定理求出严格的能量本征值。视为参变量，那么有利用费因曼-赫尔曼定理可知又知在任何束缚态下，均有所以，进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用时，定出积分常数最后，得到的本征值为其次，用微扰论计算能量的近似解。满足的本征方程为由可知第个能级的一级修正为能量的二级修正为为了求出上式右端的求和项，在表象下计算可以证明，对于任意实束缚态波函数，有于是，得到得到近似到二级的解为量子力学试题三及答案一、20分氢原子在时处于状态其中，为该氢

7、原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。 解 氢原子的本征值为， 1将时的波函数写成矩阵形式 2利用归一化条件 3于是，归一化后的波函数为 4能量的可能取值为，相应的取值几率为 5能量平均值为 6自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为 7自旋分量的平均值为 8时的波函数 9二. 20分 质量为的粒子在如下一维势阱中运动假设该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解 对于的情况，三个区域中的波函数分别为 1其中， 2利用波函数再处的连接条件知，。在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 3得到 4于是有 5此即能量满足的超越方程。当时，由于 6故7最

8、后得到势阱的宽度8三、20分 证明如下关系式1任意角动量算符满足 。证明 对分量有同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。证明 在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为而投影算符的共軛算符的矩阵元为显然，两者的矩阵元是一样的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。证明四、20分 在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。解 在与表象下，当轨道角动量量子数时，显然，算符、与皆为三维矩阵。由于在自身表象中，故是对角矩阵，

9、且其对角元为相应的本征值，于是有 1相应的本征解为 2对于算符、而言，需要用到升降算符，即 3而 4当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且， 5只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即 6于是得到算符、的矩阵形式如下 7满足的本征方程为 8相应的久期方程为9将其化为 10得到三个本征值分别为 11将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为12满足的本征方程为 13相应的久期方程为14将其化为 15得到三个本征值分别为 16将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为17五、20分 由两个质量皆为、角频率皆为的线谐振子构成的体系，加上微扰项分别为两个线谐振子的坐标后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示： 线谐振子基底之下坐标算符的矩阵元为式中， 。解 体系的哈密顿算符为 1其中 2的解为 3其中 4将前三个能量与波函数具体写出来 5 对于基态而言，体系无简并。利用公式 6可知 7显然，求和号中不为零的矩阵元只有 8于是得到基态能量的二级修正为 9第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为 10其中 11将上式代入10式得到 12整理之，满足 13于是得到第二激发态能量的一级修正为 14