全高中数学知识总结2Word文件下载.docx

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利用并集定义，选B；

2小题：

利用三角函数线定义，作出图形，选B；

223小题：

利用复数模的定义得<

，选A；

5a2|PF|4左4小题：

利用椭圆的第二定义得到＝e＝，选A；

552TTT5小题：

利用周期函数、奇函数的定义得到f（－）＝f（）＝－f（－），选B；

2226小题：

利用线面角、面面角的定义，答案2。

Ⅱ、示范性题组：

2例1.已知z＝1＋ｉ，①设w＝z＋3－4，求w的三角形式；

②如果z2zazb＝1－ｉ，求实数a、b的值。

（94年全国理）2zz1

【分析】代入z进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。

22【解】由z＝1＋ｉ，有w＝z＋3－4＝（1＋ｉ）＋3－4＝2ｉ＋3（1－ｉ）－4＝（1i）z55－1－ｉ，w的三角形式是（cos＋ｉsin）；

24422（1i）a（1i）bzazb（ab）（a2）i由z＝1＋ｉ，有＝＝＝（a＋2）－22（1i）（1i）1izz1（a＋b）ｉ。

由题设条件知：

（a＋2）－（a＋b）ｉ＝1＋ｉ；

a21根据复数相等的定义，得：

，（ab）1a1解得。

b2【注】求复数的三角形式，一般直接利用复数的三角形式定义求解。

利用复数相等的定义，由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。

n例2.已知f（x）＝－x＋cx，f

（2）＝－14，f（4）＝－252，求y＝logf（x）的定义域，2232判定在（,1）上的单调性。

2【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定n与c的值求出函数的解析式，再利用函数的单调性定义判断。

nf

（2）22c14n4【解】解得：

nc1f（4）44c2524∴f（x）＝－x＋x解f（x）>

0得：

0<

x<

13244设<

1，则f（x）－f（x）＝－x+x-（-x+x）12121122222=（x-x）[1-（x+x）（x+x）],1212123344222233∵x+x>

，x+x>

∴（x+x）（x+x）〉³

＝122121212122232∴f（x）－f（x）>

0即f（x）在（,1）上是减函数122322∵<

1∴y＝logf（x）在（,1）上是增函数。

2222

【注】关于函数的性质：

奇偶性、单调性、周期性A’A的判断，一般都是直接应用定义解题。

本题还在求n、Dc的过程中，运用了待定系数法和换元法。

C’C例3.如图，已知A’B’C’—ABC是正三棱柱，D是OHAC中点。

B’B①证明：

AB’∥平面DBC’；

②假设AB’⊥BC’，求二面角D—BC’—C的度数。

（94年全国理）【分析】由线面平行的定义来证①问，即通过证AB’平行平面DBC’内的一条直线而得；

由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。

【解】①连接B’C交BC’于O,连接OD∵A’B’C’—ABC是正三棱柱∴四边形B’BCC’是矩形∴O是B’C中点△AB’C中，D是AC中点∴AB’∥OD∴AB’∥平面DBC’②作DH⊥BC于H，连接OH∴DH⊥平面BC’C∵AB’∥OD,AB’⊥BC’∴BC’⊥OD∴BC’⊥OH即∠DOH为所求二面角的平面角。

3311设AC＝1，作OE⊥BC于E，则DH＝sin60°

＝，BH＝，EH＝；

244432Rt△BOH中，OH＝BH³

EH＝，163∴OH＝＝DH∴∠DOH＝45°

，即二面角D—BC’—C的度数为45°

。

4【注】对于二面角D—BC’—C的平面角，容易误认为∠DOC即所求。

利用二面角的平面角定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线DH，再证得垂直于棱的垂线DO，最后连接两个垂足OH，则∠DOH即为所求，其依据是三垂线定理。

本题还要求解三角形十分熟练，在Rt△BOH中运用射影定理求OH的长是计算的关键。

此题文科考生的第二问为：

假设AB’⊥BC’，BC＝2，求AB’在侧面BB’C’C的射影长。

解答中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。

其解EF11OE法如下：

作AE⊥BC于E，连接B’E即所求，易得到OE∥B’B，所以＝＝，EF＝B’E。

BF23B'

B122在Rt△B’BE中，易得到BF⊥BE,由射影定理得：

B’E³

EF＝BE即B’E＝1，所以B’E＝。

331y例4.求过定点M（1,2），以x轴为准线，离心率为的椭圆的2MF下顶点的轨迹方程。

Ax【分析】运动的椭圆过定点M，准线固定为x轴，所以M到准|AF|1线距离为2。

抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到＝建立一个方程，再由离心率22的定义建立一个方程。

【解】设A（x,y）、F（x,m），由M（1,2），则椭圆上定点M到准线距离为2，下顶点A到准线距离为y。

根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：

1422（x1）（m2）³

22（y）232，消m得：

（x－1）＋＝1，my122（）y2342（y）32所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1）＋＝1。

22（）3【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。

本题还引入了一个参数m,列出的是所满足的方程组，消去参数m就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。

在建立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。

一般地，圆锥曲线的点、焦点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；

求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。

Ⅲ、巩固性题组：

x1．函数y＝f（x）＝a＋k的图像过点（1,7），它的反函数的图像过点（4,0），则f（x）的表达式是___。

2.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为A、B,则∠AFB等于_____。

1111A.45°

B.60°

C.90°

D.120°

3.已知A＝{0,1}，B＝{x|xA}，则下列关系正确的是_____。

A.ABB.ABC.A∈BD.AB224.双曲线3x－y＝3的渐近线方程是_____。

13A.y＝±

3xB.y＝±

xC.y＝±

xD.y＝±

x3335.已知定义在R上的非零函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），则f（x）是_____。

A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇既偶函数38n3n6.C＋C＝________。

3n21n17.Z＝4（sin140°

－ｉcos140°

），则复数的辐角主值是__________。

2z228.不等式ax＋bx＋c>

0的解集是（1,2），则不等式bx＋cx＋a<

0解集是__________。

19.已知数列{a}是等差数列，求证数列{b}也是等差数列，其中b＝（a＋a＋…12nnnn＋a）。

n

22yx210.已知F、F是椭圆＋＝1（a>

b>

0）的两个焦点，其中F与抛物线y＝12x的12222ab7焦点重合，M是两曲线的一个焦点，且有cos∠MFF²

cos∠MFF＝，求椭圆方程。

231221五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1（或n）时0成立，这是递推的基础；

第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。

这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。

由这两步可以看出，数学归纳0法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法，可以证明下列问题：

与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

n1.用数学归纳法证明（n＋1）（n＋2）„（n＋n）＝2²

1²

2„（2n－1）（n∈N），从“k到k＋1”，左端需乘的代数式为_____。

2k32k1A.2k＋1B.2（2k＋1）C.D.k1k11112.用数学归纳法证明1＋＋＋„＋<

n（n>

1）时，由n＝k（k>

1）不等式成n2321立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是_____。

k1kkkA.2B.2－1C.2D.2＋1

3.某个命题与自然数n有关，若n＝k（k∈N）时该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立。

现已知当n＝5时该命题不成立，那么可推得______。

（94年上海高考）A.当n＝6时该命题不成立B.当n＝6时该命题成立C.当n＝4时该命题不成立D.当n＝4时该命题成立n4.数列{a}中，已知a＝1，当n≥2时a＝a＋2n－1，依次计算a、a、a后，1nn1234猜想a的表达式是_____。

n2n1A.3n－2B.nC.3D.4n－34n22n15.用数学归纳法证明3＋5（n∈N）能被14整除，当n＝k＋1时对于式子2（k1）14（k1）23＋5应变形为_______________________。

6.设k棱柱有f（k）个对角面，则k＋1棱柱对角面的个数为f（k+1）＝f（k）＋_________。

n＝k时，左端的代数式是（k＋1）（k＋2）„（k＋k）,n＝k＋1时，左端的（2k1）（2k2）代数式是（k＋2）（k＋3）„（2k＋1）（2k＋2），所以应乘的代数式为，选B；

k1k1kk2小题：

（2－1）－（2－1）＝2，选C；

3小题：

原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立，选C。

4小题：

计算出a＝1、a＝4、a＝9、a＝16再猜想a，选B；

1234n4k22k1k2k1245小题：

答案（3＋5）3＋5（5－3）；

6小题：

答案k－1。

8²

n8²

1例1.已知数列，得，„，，„。

S为其前n项和，求S、22221n1²

3（2n1）²

（2n1）S、S、S，推测S公式，并用数学归纳法证明。

（93年全国理）234n8082448【解】计算得S＝，S＝，S＝，S＝，123481925492（2n1）1猜测S＝（n∈N）。

2n（2n1）当n＝1时，等式显然成立；

2（2k1）1假设当n＝k时等式成立，即：

S＝，2k（2k1）8²

（k1）当n＝k＋1时，S＝S＋22k1k（2k1）²

（2k3）

28²

（k1）（2k1）1＝＋222（2k1）（2k1）²

（2k3）222（2k1）（2k3）（2k3）8²

（k1）＝22（2k1）²

（2k3）2222（2k3）1（2k1）（2k3）（2k1）＝＝,222（2k3）（2k1）²

（2k3）由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。

综上所述，等式对任何n∈N都成立。

2（2k3）12【注】把要证的等式S＝作为目标，先通分使分母含有（2k＋3），再2k1（2k3）2考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）－1。

这样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。

本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法，在数列问题中经常见到。

假如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。

必须要进行三步：

试值→猜想→证明。

【另解】用裂项相消法求和：

118²

n由a＝＝－得，2222n（2n1）（2n1）（2n1）²

（2n1）111111S＝（1－）＋（－）＋„„＋－＝1－222222n（2n1）（2n1）（2n1）3352（2n1）1＝。

2（2n1）8²

n此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现＝22（2n1）²

（2n1）11－的裂项公式。

可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。

22（2n1）（2n1）11例2.设a＝＋＋„＋（n∈N）,证明：

n（n＋1）<

n（n1）1³

22³

3nn222（n＋1）。

【分析】与自然数n有关，考虑用数学归纳法证明。

n＝1时容易证得，n＝k＋1时，因为a＝a＋,所以在假设n＝k成立得到的不等式中同时加上（k1）（k2）k1k，再与目标比较而进行适当的放缩求解。

（k1）（k2）

1112【解】当n＝1时，a＝，n（n+1）＝，（n+1）＝2，2n222∴n＝1时不等式成立。

112假设当n＝k时不等式成立，即：

k（k＋1）<

（k＋1），k22112当n＝k＋1时，k（k＋1）＋<

（k＋1）＋,（k1）（k2）（k1）（k2）k1221111k（k＋1）＋>

k（k＋1）＋（k＋1）＝（k＋1）（k＋3）>

（k＋1）（k＋2），（k1）（k2）2222111312222（k＋1）＋＝（k＋1）＋<

（k＋1）＋（k＋）＝（k（k1）（k2）k3k2222222＋2），112所以（k＋1）（k＋2）<

（k＋2），即n＝k＋1时不等式也成立。

k22112综上所述，对所有的n∈N，不等式n（n＋1）<

（n＋1）恒成立。

n22【注】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。

本题中3分别将缩小成（k＋1）、将放大成（k＋）的两步放缩是证n（k1）（k2）（k1）（k2）2＝k＋1时不等式成立的关键。

为什么这样放缩，而不放大成（k＋2），这是与目标比较后的要求，也是遵循放缩要适当的原则。

本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。

主要是抓住对的分析，注n（n1）意与目标比较后，进行适当的放大和缩小。

解法如下：

由>

n可得，a>

1＋2＋3n（n1）n1111＋„＋n＝n（n＋1）；

由<

n＋可得，a<

1＋2＋3＋„＋n＋³

n＝n（n＋1）n（n1）n222211111222＋n＝（n＋2n）<

（n＋1）。

所以n（n＋1）<

n22222n（aa）1n例3.设数列{a}的前n项和为S，若对于所有的自然数n，都有S＝，nnn2证明{a}是等差数列。

（94年全国文）n【分析】要证明{a}是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，n即证：

a＝a＋（n－1）d。

命题与n有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。

1n【解】设a－a＝d，猜测a＝a＋（n－1）d211n当n＝1时，a＝a，∴当n＝1时猜测正确。

1n当n＝2时，a＋（2－1）d＝a＋d＝a，∴当n＝2时猜测正确。

112

假设当n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：

a＝a＋（k－1）d，k1（k1）（aa）k（aa）1k11k当n＝k＋1时，a＝S－S＝－，k1k1k22将a＝a＋（k－1）d代入上式，得到2a＝（k＋1）（a＋a）－2ka－k（k－1）d，k1k11k11整理得（k－1）a＝（k－1）a＋k（k－1）d，k11因为k≥2,所以a＝a＋kd，即n＝k＋1时猜测正确。

k11综上所述，对所有的自然数n，都有a＝a＋（n－1）d，从而{a}是等差数列。

n1n【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题。

在证n（aa）1n明过程中a的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式S＝、数列中通项k1n2与前n项和的关系a＝S－S建立含a的方程，代入假设成立的式子a＝a＋（kk1k1kk1k1－1）d解出来a。

另外本题注意的一点是不能忽视验证n＝1、n＝2的正确性，用数学归k1纳法证明时递推的基础是n＝2时等式成立，因为由（k－1）a＝（k－1）a＋k（k－1）d得到k11a＝a＋kd的条件是k≥2。

k11【另解】可证a－a＝a－a对于任意n≥2都成立：

当n≥2时，a＝S－n1n1nnnnn（aa）（n1）（aa）（n1）（aa）1n1n11n1S＝－；

同理有a＝S－S＝－n1n1n1n222n（aa）（n1）（aa）（n1）（aa）1n1n11n1－n（a＋a）＋；

从而a－a＝，整n11nn222理得a－a＝a－a，从而{a}是等差数列。

n1n1nnn一般地，在数列问题中含有a与S时，我们可以考虑运用a＝S－S的关系，并n1nnnn注意只对n≥2时关系成立，象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多。

nnⅢ、巩固性题组：

2n11.用数学归纳法证明：

6＋1（n∈N）能被7整除。

22.用数学归纳法证明：

1³

4＋2³

7＋3³

10＋„＋n（3n＋1）＝n（n＋1）（n∈N）。

n23.n∈N，试比较2与（n＋1）的大小，并用证明你的结论。

xxxx4.用数学归纳法证明等式：

cos²

„²

cos＝（81年sinx2n32222xn2²

sinn2全国高考）5.用数学归纳法证明：

|sinnx|≤n|sinx|（n∈N）。

（85年广东高考）16.数列{a}的通项公式a＝（n∈N），设f（n）＝（1－a）（1－a）„（1－a），nn12n2（n1）试求f

（1）、f

（2）、f（3）的值，推测出f（n）的值，并用数学归纳法加以证明。

7.已知数列{a}满足a＝1，a＝acosx＋cos[（n－1）x]，（x≠kπ，n≥2且n1n1nn∈N）。

①．求a和a；

②.猜测a，并用数学归纳法证明你的猜测。

23n2a（x1）8.设f（logx）＝,①.求f（x）的定义域；

②.在y＝f（x）的图像上是否存在a2x（a1）两个不同点，使经过这两点的直线与x轴平行？

证明你的结论。

③.求证：

f（n）>

1且n∈N）六、参数法参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的，联系的方式是丰富多采的，科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态，揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间的内在联系，利用参数提供的信息，顺利地解答问题。

xyz1.设2＝3＝5>

1，则2x、3y、5z从小到大排列是________________。

x22t22.（理）直线上与点A（-2,3）的距离等于的点的坐标是________。

y32t

22（文）若k<

－1，则圆锥曲线x－ky＝1的离心率是_________。

23.点Z的虚轴上移动，则复数C＝z＋1＋2ｉ在复平面上对应的轨迹图像为____________________。

4.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是6、4、3，则其体积为______。

5.设函数f（x）对任意的x、y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>

0时，f（x）<

0，则f（x）的R上是______函数。

（填“增”或“减”）22yx6.椭圆＋＝1上的点到直线x＋2y－＝0的最大距离是_____。

2164A.3B.C.D.221110xyz【简解】1小题：

设2＝3＝5＝t，分别取2、3、5为底的对数，解出x、y、z，再用“比较法”比较2x、3y、5z，得出3y<

2x<

5z；

2小题：

（理）A（-2,3）为t＝0时，所求点为t＝±

时，即（-4,5）或（0,1）；

（文）2112已知曲线为椭圆，a＝1，c＝，所以e＝－；

kk1kk23小题：

设z＝bｉ，则C＝1－b＋2ｉ，所以图像为：

从（1,2）出发平行于x轴向右的射线；

1114小题：

设三条侧棱x、y、z，则xy＝6、yz＝4、xz＝3,所以xyz＝24,体积为4。

2225小题：

f（0）＝0，f（0）＝f（x）＋f（-x），所以f（x）是奇函数，答案：

减；

|4sin4cos2|6小题：

设x＝4sinα、y＝2cosα，再求d＝的最大值，选C。

5Ⅱ、示范性题组：

222例1.实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最小值。

1【分析】由a＋b＋c＝1想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设a＝＋t，1311222b＝＋t，c＝＋t，代入a＋b＋c可求。

2333111【解】由a＋b＋c＝1，设a＝＋t，b＝＋t，c＝＋t，其中t＋t＋t＝0，12312333311112222222∴a＋b＋c＝（＋t）＋（＋t）＋（＋t）＝＋（t＋t＋t）1231233333311222222＋t＋t＋t＝＋t＋t＋t≥12312333

1222所以a＋b＋c的最小值是。

3【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解法