集合与简易逻辑复习与小结Word格式.docx
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0.
4对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式,利用零点分段讨论法”去绝
对值.如解不等式:
|x+3|—|2x—1|<
3x+2.
(2)一元二次不等式的解法
任何一个一元二次不等式,经过不等式的同解变形,都能化为ax2+bx+c>
0(a>
0),
或ax2+bx+cv0(a>
0)的形式,再根据大于取两边,小于夹中间”得解集(若判别式
△W0则利用配方法求解较方便).
详细解集见下表:
判别式
△=b2—4ac
△>
△=0
△<
二次函数
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
y=ax2+bx+c
「分类讨论去幷班
*
(3)分式不等式的解法L转整式不等式
1分类讨论去分母法:
s(^)1/(^)>
久町苫仗)1/Wv祕材昭(力
gWV(^)£
如翻L/W>
2转整式不等式法:
运用时,必须使不等式一边为0,转化为.wo形式,则:
>
0口畑烛心>
Q兀讥用卩㈤馆吐0gWUw工0
J澤扶转化为不等式齟弟解
(4)高次不等式的解法iFL
3、简易逻辑知识
逻辑联结词或”且”非”是判断简单合题与复合命题的依据;
真值表是由简单命题和真假判断复合命题真假的依据,理解好四种命题的关系,对判断命题的真假有很大帮助;
掌握好反证法证明问题的步骤.
J简車命题
(1)命题曳合齡题
1简单命题:
不含逻辑联结词的命题
2复合命题:
由简单命题与逻辑联结词构成的命题
(2)复合命题的真值表
非p形式复合命题的真假可以用下表表示
p
非p
真
假
p且q形式复合命题的真假可以用下表表示
q
p且q
p或q形式复合命题的真假可以用下表表示
p或q
真I
真J
真n
|—假
(3)四种命题及其相互之间的关系
一个命题与它的逆否命题是等价的.
(4)充分、必要条件的判定
1若p三q且q芦p,则p是q的充分不必要条件;
2若p古q且p,则p是q的必要不充分条件;
3若p=q且q=p,则p是q的充要条件;
4若p右q且q吕p,则p是q的既不充分也不必要条件•
(5)反证法
反证法是命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现,用反证法证明命题的一般步骤是:
1假设命题的结论不成立•
2经过推理论证,得出矛盾•
3由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确
4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题
(1)正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件:
研究对象是具体的,其属性是确定的.
(2)在判断给定对象能否构成集合时,特别要注意它的确定性”在表示一个集合时,要特别注意它的互异性”无序性”
(3)在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.
(4)对由条件给出的集合要明白它所表示的意义,即元素指什么,是什么范围.用集合表示不等式(组)的解集时,要注意分辨是交集还是并集,结合数轴或文氏图的直
观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集,但因为不好用文氏图形表示,容易被忽视,如在关系式'
_••中,易漏掉三二的情况.
(5)若集合中的元素是用坐标形式表示的,要注意满足条件的点构成的图形是什么,用数形结合法解之.
(6)若集合中含有参数,须对参数进行分类讨论,讨论时既不重复又不遗漏.
(7)解不等式的基本思想是化归、转化,解含有参数的不等式常需要分类讨论,同解变形是解不等式的理论依据.
(8)学习四种命题,关键是理解命题结构及逻辑联结词或”且”、非”的含义,掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础.
(9)基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具,是我们进行学习、
掌握和使用语言的基础,数学又是逻辑性很强的学科,因此,学习一些逻辑知识是非常必要的,通过学习和训练可以规范和提高推理的技能,发展思维能力•重点是正确使用逻辑联结词或”且”非”是否使用得当的依据是真值表,利用真值表再结合四种命题的充要条件可判定复合命题的真假性•注意区别一些易错的逻辑关系,如都是”
都不是”、不都是”
5、在学习和运用集合知识的过程中,须注意的几个问题
目前在中学数学教学中,集合知识主要有两方面的应用.
(1)把集合作为一种数学语言,以表达一定范围或具有某些特性的元素•例如,方程(或方程组)的解集,不等式(或不等式组)的解集,具有某种性质或满足某些条件的数集、点集、向量集(以后会学)等,因集合元素的任意性,使得集合语言有着广泛的应用性.
(2)使用集合间的运算法则或运算思想,解决某些逻辑关系较复杂的问题•例如,运用集合法判断真假复合命题和充要条件,运用集合的交集思想、并集思想、补集思想解题等.
三、学法指导
(1)要注意理解、正确运用集合概念
例1、若P={y|y=X2,x€R},Q={y|y=x2+1,x€R},则PQQ等于()
A.PB.QC.;
:
D.不知道
分析:
类似上题知P集合是y=x2(x€R)的值域集合,同样Q集合是y=x2+1(x€R)的值域集合,这样PQQ意义就明确了.
解:
事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,
由P={y|y>
0},Q={y|y>
1},知庶p,即pnq=q
•••应选B.
例2、若P={y|y=x2,x€R},Q={(x,y)|y=x2,x€R},则必有()
A.pnQ=OB.PQ
C.P=QD.P'
Q
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x€R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合
是y=x2,x€R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
正确解法应为:
P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此PnQ&
.
•••应选A.
(2)要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
丄
例3、若A={2,4,a-2a2—a+7},B={1,a+1,aF-2a+2,——(a2-3a—8),a3+a2+3a+7},且AnB={2,5},试求实数a的值.
tAnB={2,5},
•-a—2a—a+7=5,
由此求得a=2或a=±
1.
至此不少学生认为大功告成,事实上,这只是保证A={2,4,5},集合B中的元素是
什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当a=1时,a2-2a+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去a=1.
当a=-1时,B={1,0,5,2,4},与AQB={2,5}相矛盾,故又舍去a=-1.
当a=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时AQB={2,5},满足题设.
故a=2为所求.
例4、已知集合A={x|x2—3x+2=0},B={x|x2—ax+a—仁0},且AUB=A,贝Va的值为
由AUB=^E匸山而推出B有四种可能,进而求出a的值.
tAUB=A
BeA
tA={1,2},二B==或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=「,则令△<
0得a€二,;
若B={1},则令△=0得a=2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得a=2,此时2不是方程的根,
•••a€Q;
若B={1,2}则令△>
0得a€R且a工2,把x=1代入方程得a€R,把x=2代入方程
综上a的值为2或3.
点评:
本题不能直接写出B={1,a—1},因为a—1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
(3)要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.
反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的•因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.
例5、设集合A={a|a=n2+1,n€N*},集合B={b|b=k2—4k+5,k€N*},试证:
A’B.
证明:
任设a€A,
则a=n2+1=(n+2)2—4(n+2)+5(n€N*),
•/n€N,「.n+2€N
•••a€B故-"
①
显然,八—「1汀,而由
B={b|b=k2—4k+5,k€N}={b|b=(k—2)2+1,k€N}
知1€B,于是A工B②
由①、②得A-B.
(1)判定集合间的关系,其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.
(2)判定两集合相等,主要是根据集合相等的定义.
(3)两个集合A、B相等,之所以不以“A、B所含元素完全相同”来定义,而是用子集来定义,显然比较科学,它具有可操作性,用起来很方便.
(4)要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集
合•当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例6、已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x€R},若AAR+=己,则实数m的取值范围是
从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由AQR+=0可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围.
由AQR+=©
又方程x2+(m+2)x+仁0无零根,
所以该方程只有两个负根或无实数根,
1
即
A=[和十2『一4A0,「如‘丿”°
或厶=(m+2)2—4<
解得m>
0或一4<
m<
0,艮卩m>
—4.
此题容易发生的错误是由AQR+=°
只片面地推出方程只有两个负根(因为两根
之积为1,因为方程无零根),而把A=°
漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言.
例7、已知集合A={x|x2—3x—10<
0},集合B={x|p+Kx<
2—1}.若B—A,求实数p的取值范围.
由x2—3x—10<
0得一2<
5.
欲使B匚A,只须
一毎刀十1吕-址3
匕严105
•••p的取值范围是一3<
p<
3.
上述解答忽略了“空集是任何集合的子集”这一结论,即时,符合题设.
应有:
①当B工°
时,即p+K2p—1
p>
2.
由B匚A得:
一2<
p+1且2p—K5.
•••2wpw3
②当B=0时,即p+1>
2p—1=pv2.
由①、②得:
pw3.
从以上解答应看到:
解决有关AnB勿、AUB=0
A
B等集合问题易忽视空集
的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
(5)要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性
事实上,各种数学语言形态间的互译,可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的解决途径,因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情.
对于用集合语言叙述的问题,求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言.
集合B表示方程
即方程x2—x—a—2=0②
有等根时a的取值集合.
方程②有等根的条件是厶=(—1)2—4(—a—2)=0,
以上解法对吗?
不难看出,将A译为方程②有等根时a的取值集合是不准确的.
转译时忽视了X2—2工0,即卜卜忑这一隐含条件.
可见,与方程①等价的应是混合组:
4
(I)
-r-df-2=0@
^-2^0③
因此,在讨论方程②有唯一实根时,须照顾到③:
I工卜V.
由于方程①为分式方程,可能有增根,
当条件②的二实根中有一个是方程①的增根』-忑或
时,方程①也只有一
个实根,正确解法是:
2
,适合③;
方程①等价于混合组(I)
9
(1)当②有等根时,同上解得a=—■-,此时
(2)当②有两个不等的实根时,由△>
0可得a>
—-.
当—忑为①的增根时,由②得
说-迈-
当“忑为①的增根时,由②得
住=忑.
眉=-~r-V2
由
(1)、
(2)得L°
(1)集合语言转译成其它语言,转译的准确与否直接关系到解题的成功与失败.
(2)集合语言与其它语言转译过程中,根据问题的需要也可能转译成图形语言,利用数形结合解题.根据解题需要,有时也可能将其它语言转译为集合语言.
(6)要注意数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例9、设A={x|—2<
—1,或x>
1},B={x|x2+ax+b<
0},已知AUB={x|x>
—2},AnB={x|1<
x<
3}试求a、b的值.
可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
如图所示,设想集合B所表示的范围在数轴上移动,
申.一麻莎谿筋瀝
显然当且仅当B覆盖住集合{x|—1vx<
3},
才能使AUB={x|x>
—2},且AnB={x|1<
3}.
根据二次不等式与二次方程的关系,
可知一1与3是方程x2+ax+b=0的两根,
a=—(—1+3)=—2,b=(—1)>
3=—3.
类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果.
例10、若关于x的不等式|x+2|—11—x|<
a有解,求实数a的取值范围.
可利用补集思想解题,先求不等式|x+2|+|1-x|<
a无解的a的取值范围
即对任意实数x,总有|x+1|+|x—2|>
a.
aw|x+2|+|1-x|
的最小值.
|x+2|+|l-x|=
由
[-3虑-2
2x41-21
知:
一3<
|x+2|+|1-x|<
|x+2|—11—x|<
a无解时,aw—3.
故|x+2|-11-x|<
a有解时,a>
—3.
(7)要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用
对于一些比较复杂、比较抽象,条件和结论之间关系不明朗,难于从正面入手的数学问题,在解题时,可调整思路,从问题的反面入手,探求已知与未知的关系,这样能起到反难为易,化隐为显,从而将问题得以解决,这就是正难则反”的解题策略,是补
集思想的具体应用.
有的问题,根据问题具体情况,也可采用交集思想、并集思想去处理.
例11、已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,x€R},若APR-^,求实数m的取值范围.
集合A是方程x2-4mx+2m+6=0①的实数解组成的非空集合,
APR-工二意味着方程①的根有:
(1)两负根,
(2)—负根一零根,
(3)
—负根一正根三种情况,分别求解较麻烦,上述三种情况虽可概括为方程①
的较小根
但在目前的知识范围内求解存在困难,
如果考虑题设APRzJ的反面:
APR-=J,
则可先求方程①的两根xi、X2均非负时m的取值范围•用补集思想求解尤为简便.
设全集U={m|△=(-4m)2-4(2m+6)>
0}
若方程x2—4m灶2m^6=0的二根为Xi、X2均非负,
则
tn€E/,
3
珂十工2=4胡茫口二>
呕±
—,
珂七-2^+6>
0.
因此,{m|m\三}关于U补集{m|m<
—1}即为所求.
采用“正难则反”的解题策略.具体地说,就是将所研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,即便为所求.
例12、命题甲:
方程x2+mx+仁0有两个相异负根;
命题乙:
方程4x2+4(m—2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围.
使命题甲成立的m的集合为A,使命题乙成立的m的集合为B,有且只有一个命题成立是求A^B与[尺貝QB的并集.
使命题甲成立的条件是:
•••集合A={m|m>
2}.
使命题乙成立的条件是:
△2=16(m—2)2—16<
0,二1vm<
3.
集合B={m|1<
3}.
若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
(1)m€AQ5"
(2)m€5虫QB.
[B
若为
(1),则有:
AQr={m|m>
2}Q{m|m<
1或m>
3}={m|m>
3};
若为
(2),则有:
BQ={m|1<
3}Q{m|m<
2}={m|1<
m<
2},
综合
(1)、
(2)可知所求m的取值范围是{m|1<
2,或m>
(1)本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;
(2)用集合语言来表示m的范围既准确又简明;
(3)今后注意结合问题具体情况,运用交集思想、并集思想、补集思想.
高考解析
1、(上海)设ai、3、ci、a2、b2、C2、均为非零实数,不等式aix2+bix+ci>
0和a2x2
+b2x+C2>
0的解集分别为集合M和N,那么“”是M=N”的什么条件?
利用二次函数与一元二次不等式的关系•
玉亠5
•••如果--:
--,贝ym=n”,
如果'
*则M邛J”,
“一*--”一"
M=N”;
反之若M=N=二,即说明二次不等式的解集为空集,与它们的系数比无任何关系,
只要求判别式小于零.因此,M=N”芦玄绻^”,因此既非充分也非必要条件.
答案:
即非充分又非必要条件
2、(高考试题)设a,b是两个实数,集合A={(x,y)|x=n,y=na+b,n€Z},B={(x,y)|x=m,y=3m2+15,m€Z},C={(x,y)|x2+y2<
144是xoy平面内的点集,讨论是否存在a与b,使是
AQB^'
'
和(a,b)€C同时成立?
解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化,将隐晦的数学含义显露出来.
解法:
假设存在实数a与b,同时满足题设中的两个条件,即有:
从中消去b得a2+(3n2+15-na)2w144,
即:
(1+n2)a2-2n(3n2+15)a+(3n2+15)2—144<
此时判别式△=4n2(3n2+15)2—4(1+n2)[(3n2+15)2—144]
=36(—n4+6n2—9)
=—36(n2—3)2
•••n€乙•••△<
0,又二次项系数1+n2>
0,
•••上述关于a的二次不等式无解,因此同时满足题意中两个条件的实数a与b是
不存在的•