集合与简易逻辑复习与小结Word格式.docx

1、0.4对于含有两个或两个以上的绝对值符号的绝对值不等式， 利用零点分段讨论法”去绝对值.如解不等式：|x+ 3| |2x 1|0（a0）,或ax2+ bx + cv 0 （a0）的形式，再根据 大于取两边，小于夹中间”得解集（若判别式 W0则利用配方法求解较方便）.详细解集见下表:判别式 =b2 4ac =0 久町苫仗）1/W v祕材昭（力gW V（） 如翻 L/W2转整式不等式法：运用时，必须使不等式一边为 0，转化为. wo形式，则: 0 口畑烛心 Q 兀讥用卩馆吐0 gW Uw 工 0J澤扶转化为不等式齟弟解（4）高次不等式的解法 iFL3、简易逻辑知识逻辑联结词 或” 且” 非”是判断

2、简单合题与复合命题的依据； 真值表是由简单 命题和真假判断复合命题真假的依据， 理解好四种命题的关系，对判断命题的真假有很 大帮助；掌握好反证法证明问题的步骤.J简車命题（1）命题曳合齡题1简单命题：不含逻辑联结词的命题2复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题（2）复合命题的真值表非p形式复合命题的真假可以用下表表示p非p真假p且q形式复合命题的真假可以用下表表示qp且qp或q形式复合命题的真假可以用下表表示p或q真I真 J真n| 假（3）四种命题及其相互之间的关系一个命题与它的逆否命题是等价的.（4）充分、必要条件的判定1若p三q且q芦p,则p是q的充分不必要条件；2若p古q且p，则p是

3、q的必要不充分条件；3若p= q且q= p，则p是q的充要条件；4若p右q且q吕p，则p是q的既不充分也不必要条件（5）反证法反证法是命题与其逆否命题等价”这一理论的具体体现，用反证法证明命题的一般 步骤是：1假设命题的结论不成立2经过推理论证，得出矛盾3由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确4、运用知识、运用方法过程中应注意的主要问题（1）正确理解集合的概念必须掌握构成集合的两个必要条件：研究对象是具体的， 其属性是确定的.（2） 在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的 确定性”在表示一个集 合时，要特别注意它的 互异性” 无序性”（3）在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的

4、性质.（4） 对由条件给出的集合要明白它所表示的意义， 即元素指什么，是什么范围.用 集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断.空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视, 如在关系式_ 中，易漏掉三二的情况.（5）若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什 么，用数形结合法解之.（6）若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.（7）解不等式的基本思想是化归、转化，解含有参数的不等式常需要分类讨论， 同解变形是解不等式的理论依据.（8） 学习四种命题，关键是理解命题结构及逻辑联结词

5、 或” 且”、非”的含义, 掌握四种命题间的关系是学习充要条件的基础.（9）基本的逻辑知识是认识问题和研究问题不可缺少的工具，是我们进行学习、掌握和使用语言的基础，数学又是逻辑性很强的学科，因此，学习一些逻辑知识是非常 必要的，通过学习和训练可以规范和提高推理的技能，发展思维能力重点是正确使用 逻辑联结词 或” 且” 非”是否使用得当的依据是真值表，利用真值表再结合四种 命题的充要条件可判定复合命题的真假性注意区别一些易错的逻辑关系，如 都是”都不是”、不都是”5、在学习和运用集合知识的过程中，须注意的几个问题目前在中学数学教学中，集合知识主要有两方面的应用.（1）把集合作为一种数学语言，以表

6、达一定范围或具有某些特性的元素例如， 方程（或方程组）的解集，不等式（或不等式组）的解集，具有某种性质或满足某些条 件的数集、点集、向量集（以后会学）等，因集合元素的任意性，使得集合语言有着广 泛的应用性.（2）使用集合间的运算法则或运算思想，解决某些逻辑关系较复杂的问题例如， 运用集合法判断真假复合命题和充要条件，运用集合的交集思想、并集思想、补集思想 解题等.三、学法指导（1）要注意理解、正确运用集合概念例 1、若 P=y|y=X 2,x R , Q=y|y=x 2+ 1,x R，则 PQQ 等于（）A. P B. Q C. ；： D.不知道分析：类似上题知P集合是y=x2 （x R）的值

7、域集合，同样 Q集合是y= x 2+ 1 （x R） 的值域集合，这样PQ Q意义就明确了.解：事实上，P、Q中的代表元素都是y，它们分别表示函数y=x2,y=x2 +1的值域,由 P=y|y 0,Q=y|y 1，知 庶 p,即 pn q=q应选B.例 2、若 P=y|y=x2,x R , Q=（x , y）|y=x2,x R，则必有（）A. pn Q=O B. P QC. P=Q D. P Q有的同学一接触此题马上得到结论 P=Q这是由于他们仅仅看到两集合中的 y=x2,x R相同，而没有注意到构成两个集合的元素是不同的， P集合是函数值域集合，Q集合是y=x2,x R上的点的集合，代表元素

8、根本不是同一类事物.正确解法应为：P表示函数y=x2的值域，Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集，因此 Pn Q& .应选A.（2）要充分注意集合元素的互异性集合元素的互异性，是集合的重要属性，教学实践告诉我们，集合中元素的互异性 常常被学生在解题中忽略，从而导致解题的失败，下面再结合例题进一步讲解以期强化 对集合元素互异性的认识.丄例 3、若 A=2 , 4,a-2a2 a+ 7,B=1,a + 1,aF-2a+ 2,（a2- 3a 8）,a3+ a2+ 3a+ 7, 且An B=2 , 5，试求实数a的值.t An B=2, 5,- a 2a a+ 7=5,由此求得a=2或a= 1.至此不

9、少学生认为大功告成，事实上，这只是保证 A=2,4,5，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查.当a=1时，a2 - 2a + 2=1,与元素的互异性相违背，故应舍去 a=1.当 a=- 1 时，B=1,0,5,2,4，与 AQ B=2 , 5相矛盾，故又舍去 a=- 1.当 a=2 时，A=2, 4, 5,B=1,3,2,5,25 ，此时 AQ B=2, 5，满足题设.故a=2为所求.例 4、已知集合 A=x|x 2 3x + 2=0,B=x|x 2 ax+ a仁0，且 A U B=A，贝V a 的值为由AU B=E匸山而推出B有四种可能，进而求出a的值.t A U

10、B=ABe At A=1 , 2，二 B=或 B=1或 B=2或 B=1 , 2.若B=，则令 0得a R且a工2,把x=1代入方程得a R,把x=2代入方程综上a的值为2或3.点评：本题不能直接写出 B=1 , a 1，因为a 1可能等于1,与集合元素的互异性矛 盾，另外还要考虑到集合 B有可能是空集，还有可能是单元素集的情况.（3）要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决 的问题，因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的因此，在 证明（判断）两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去

11、.例 5、设集合 A=a|a=n2 + 1,n N*，集合 B=b|b=k24k + 5,k N*，试证:A B.证明：任设a A,则 a=n2+ 1=（n + 2）2 4（n + 2） + 5（n N*）,/ n N,. n + 2 Na B 故- 显然，八 1汀，而由B=b|b=k 2 4k+ 5,k N=b|b=（k 2）2+ 1, k N知1 B,于是A工B 由、得A- B.（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系.（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义.（3）两个集合A、B相等，之所以不以“ A、B所含元素完全相同”来定义，而是用 子集来定义，显然比较

12、科学，它具有可操作性，用起来很方便.（4）要注意空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集 合的真子集.显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被忽视的，从而引发解题 失误.例6、已知集合A=x|x2 + （m+ 2）x + 1=0,x R，若AAR+=己，则实数m的取值范围是从方程观点看，集合 A是关于x的实系数一元二次方程 x2 + （m + 2）x + 1=0的解 集，而x=0不是方程的解，所以由 AQR+ =0可知该方程只有两个负根或无实数根，从 而分别由判别式

13、转化为关于 m的不等式，并解出 m的范围.由AQR+=又方程x2+ （m+ 2）x +仁0无零根，所以该方程只有两个负根或无实数根，1即A =和十2一 4 A 0, 如丿 ” 或厶=（m + 2）2 40或一4m 4.此题容易发生的错误是由 AQR+ =只片面地推出方程只有两个负根（因为两根之积为1,因为方程无零根），而把 A=漏掉，因此要全面准确理解和识别集合语言.例 7、已知集合 A=x|x 2 3x 10 0,集合 B=x|p + K x 2 1.若 B A，求实数 p 的取值范围.由 x2 3x 100 得一25.欲使B匚A,只须一毎刀十1吕-址3匕严10 5 p的取值范围是一3 p

14、2.由 B匚 A得：一22p 1 = pv 2.由、得：pw 3.从以上解答应看到：解决有关 An B勿、AU B=0,AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.（5）要注意集合语言与其它数学语言互译的准确性事实上，各种数学语言形态间的互译，可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题的 解决途径，因而这种互译是我们在解题过程中常常必须做的事情.对于用集合语言叙述的问题，求解时往往需要转译成一般的代数语言或几何语言.集合B表示方程即方程x2 x a 2=0 有等根时a的取值集合.方程有等根的条件是厶 =（1）2 4（ a 2）=0,以上解法对吗？不难看出，将

15、 A译为方程有等根时a的取值集合是不准确的.转译时忽视了 X2 2工0,即卜卜忑这一隐含条件.可见，与方程等价的应是混合组:4（I）- r-df -2=0 -20 因此，在讨论方程有唯一实根时，须照顾到： I工卜V .由于方程为分式方程，可能有增根,当条件的二实根中有一个是方程的增根 -忑 或时，方程也只有一个实根，正确解法是:2，适合；方程等价于混合组（I）9（1）当有等根时，同上解得 a=-，此时（2）当有两个不等的实根时，由 0可得a-.当忑为的增根时，由得说-迈-当“忑为的增根时，由得住=忑.眉=-r -V2由（1 ）、（ 2 ）得 L （1）集合语言转译成其它语言，转译的准确与否直接

16、关系到解题的成功与失败.（2）集合语言与其它语言转译过程中，根据问题的需要也可能转译成图形语言, 利用数形结合解题.根据解题需要，有时也可能将其它语言转译为集合语言.（6）要注意数形结合解集合问题集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将 抽象问题直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获 解.例 9、设 A=x| 21 , B=x|x 2 + ax+ b 2, An B=x|1x 3试求 a、b 的值.可在数轴上画出图形，利用图形分析解答.如图所示，设想集合 B所表示的范围在数轴上移动，申.一麻莎谿筋瀝显然当且仅当B覆盖住集合x| 1v

17、x 2，且 An B=x|13= 3.类似本题多个集合问题，借助于数轴上的区间图形表示进行处理，采用数形结合 的方法，会得到直观、明了的解题效果.例10、若关于x的不等式|x + 2| 11 x|a有解，求实数a的取值范围.可利用补集思想解题，先求不等式 |x + 2| + |1-x| a.a w |x + 2| + |1-x|的最小值.|x+ 2|+|l-x|=由-3 虑-22x41 -2 1知：一3 |x + 2| + |1-x| |x + 2| 11 x|a 无解时，aw 3.故 |x + 2| -11 -x| 3.（7）要注意交集思想、并集思想、补集思想的运用对于一些比较复杂、比较抽象

18、，条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数 学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知与未知的关系，这样能 起到反难为易，化隐为显，从而将问题得以解决，这就是 正难则反”的解题策略，是补集思想的具体应用.有的问题，根据问题具体情况，也可采用交集思想、并集思想去处理.例11、已知集合A=x|x 2-4mx + 2m + 6=0,x R，若APR - ，求实数m的取值范围.集合A是方程x2-4mx+ 2m+ 6=0的实数解组成的非空集合,AP R-工二意味着方程的根有:（1）两负根,（2） 负根一零根,（3）负根一正根三种情况，分别求解较麻烦，上述三种情况虽可概括为方程的较小根但

19、在目前的知识范围内求解存在困难,如果考虑题设AP Rz J的反面:AP R- = J ,则可先求方程的两根 xi、X2均非负时m的取值范围用补集思想求解尤为简便.设全集 U=m| =（ - 4m）2- 4（2m + 6） 0若方程x2 4m灶2m 6=0的二根为Xi、X2均非负,则tn E/,3珂十工2 = 4胡茫口二呕 ,珂七-2 + 6 0.因此，m|m三关于U补集m|m2.使命题乙成立的条件是: 2=16（m 2）2 160,二 1v m3.集合 B=m|12 Q m|m3=m|m 3;若为（2）,则有：BQ=m|13Q m|m2=m|1m 2,综合（1）、（ 2）可知所求m的取值范围是

20、m|1（1）本题体现了集合语言、集合思想的重要作用;（2）用集合语言来表示 m的范围既准确又简明;（3）今后注意结合问题具体情况，运用交集思想、并集思想、补集思想.高考解析1、（上海）设ai、3、ci、a2、b2、C2、均为非零实数，不等式 aix2 + bix+ ci0和a2x2+ b2x+ C20的解集分别为集合 M和N,那么“ ”是M = N”的什么条件？利用二次函数与一元二次不等式的关系 玉亠5如果- -：- ，贝y m=n”,如果 * 则M邛J”,“一 * - ”一 M=N”；反之若M = N=二,即说明二次不等式的解集为空集， 与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零.因此，

21、M = N”芦玄绻 ”，因此既非充分也非必要条件.答案：即非充分又非必要条件2、（高考试题）设 a,b 是两个实数，集合 A=（x,y）|x=n,y=na + b,n Z,B=（x,y）|x=m,y=3m 2 + 15,m Z,C=（x,y）|x 2+ y2 144是xoy平面内的点集，讨论是否存在 a与b，使是AQ B和（a,b） C同时成立？解决此题的关键是集合语言向非集合数学语言转化， 将隐晦的数学含义显露出来.解法：假设存在实数a与b,同时满足题设中的两个条件，即有：从中消去 b 得 a2+ （3n2+ 15- na）2w 144,即: （1 + n2）a2- 2n（3n2+ 15）a+ （3n2 + 15）2 144此时判别式 =4 n2（3 n2 + 15）2 4（1 + n2）（3n2 + 15）2 144=36（ n4+ 6n2 9）=36（n2 3）2 n 乙 0,上述关于a的二次不等式无解，因此同时满足题意中两个条件的实数 a与b是不存在的