河北省肥乡一中高一数学《单调性》课件Word文档下载推荐.docx

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-3

-2

-1

1

2

3

4

f（x）=x2

16

9

在区间（0,+00）上任取两个州,兀2，得至厅（X1）=x1\

/（x2）=xl，当X]＜兀2时，有f（*i）＜/（兀2），这时我们就说函数f（x）二W在区间（0,+00）上是增函数

增函数定义

设f（x）的定义域为I：

如果对于定义域呐某个区间D上的任意两个自变量的值X”x2,

当X1VX2时，都有f（xjvf（x2）,那么就说f（x）在区间D上是增函数.

减函数定义

设f（x）的定义域为I

如果对于定义域I内某个区间D上的

任意两个自变量的值X],x2,

当X]VX2时，都<

f（xj>

f（x2）,那么就说f（x）在区间D上是减函数.

设f（x）的定义域为I:

如果函数y=f（x）在区间D上是增函数（或减函数），那么就说函数y=f（x）右这一区侖具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（x）的单调递增（或减）区间.

例1、下图是定义在区间卜5,5]上的函数y=f（x）,根据图象说岀函数的单调区间，以及在每个区间

解：

函数y=f（x）的单调区间有

[-5<

2）,[-2,1）,[13）,[3,5]

其中y=f（x）在区间[-5,-2）,[1,3）是减函数,

在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数。

函数单调性是函数在某个区间上的性质

⑴这个区间可以是整个定义域

如夕=琏定义域上是增函数,y=-x是减函数

⑵这个区间也可以是定义域的真子集

如尸好在定义域上没有单调性，但在g，0]

是减函数，在[0,+x）是增函数.

⑶有的函数没有单调性区间

看下列函数图象，下列各函数有没有单调区间,若有写出其单调区间.

25•

20•

15•

10•

5•

OI234n

图1

没有单调区间

减区间（f,0）

图3

［例2］证明函靭（x）=2x+l在区间

（-00,+8）上是增函数。

证明：

设Xi*2是区间（-8，+8）内任意

两个实数，且％V兀2・（条件）

f（x1）-f（x2）=（2xx+1）-（2x2+1）=2（xx-x2）0xx<

x2,・\xx-x2<

0

f（x1）-f（x2）＜0

KR/＞（X1）＜/（X2）（论证结果）

则函数f（兀）=2兀+1在区间（一8，+8）

是增函数・（结论）

证明函数单调性的步骤

⑦取值：

对于X],X2€D,且X]VX2

2作差：

f（Xj）-f（x2）

3变形：

通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.

4定号：

（判断符号）

5判靳.

探究？

1

函数y=土在定义域上的单调性是怎样

的？

证明你的结论.

证明函数y=—在（o,+8）上是减函数。

作差

变形

证明:

设X],X2是（0,+8）上任意两个实数,

且X]VX2，取值

则f（X1）-f（x2）=立二丑

兀1兀2•・•X],x2e（0，+闪）得X]X2>

0Xi<

x2,#x2-Xi>

0.

・・・f（xj-f（x2）>

0.即f（xj>

f（x2）定号

・•・y=—在（o,+8）上是减函数。

判断

例.⑴画出函数f（X）=・x2+2x+3的图象；

⑵证明函数张）=眾2+2对3在区间（。

，1］上是增函数；

（3）当函数张）在区间（込,m］上是增函数时,求实数m必取值范围.

函^f（x）=x2+2（a-l）x+2在区间（-oo,4］上是减函数，求实数a的取值范围.

yi

・b（k<

0）

V

在（・8，+8）

是减函数

y1y=kxi

//0

M>

o）

—>

r

在（■oo^+oo）是增函数

y=

J

在（・8刀）和（0,+00）是减函数

y

在（-00,0）和（0,+oo）是增函数

xr

rx，

y=ax

（呻/。

2+bx+cp

（b）

■00,■仕（la）增函数在卜2严）减函数

q>

f

在（2/T增严数在

减函数