高中物理第五章曲线运动习题课1运动的合成与分解教学案新人教版必修2Word文件下载.docx

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图2

A.0.1m/s,1.73m

B.0.173m/s,1.0m

C.0.173m/s,1.73m

D.0.1m/s,1.0m

答案　C

解析　设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为v1，位移为x1，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为v2，位移为x2，如图所示，v2＝＝m/s≈0.173m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升的时间t＝＝s＝10s.由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间为10s.

水平运动的距离x2＝v2t＝0.173×

10m＝1.73m，故选项C正确.

一、合运动与分运动的关系

[导学探究]　蜡块能沿玻璃管匀速上升（如图3甲所示），如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动（如图乙所示），则：

图3

（1）蜡块在竖直方向做什么运动？

在水平方向做什么运动？

（2）蜡块实际运动的性质是什么？

（3）求t时间内蜡块的位移和速度.

答案　

（1）蜡块参与了两个运动：

水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动.

（2）蜡块实际上做匀速直线运动.

（3）经过时间t，蜡块水平方向的位移x＝vxt，竖直方向的位移y＝vyt，蜡块的合位移为l＝＝t，设位移与水平方向的夹角为α，则tanα＝＝，蜡块的合速度v＝，合速度方向与vx方向的夹角θ的正切值为tanθ＝.

[知识深化]

1.运动的合成与分解

（1）合运动与分运动的关系：

①等效性：

各分运动的共同效果与合运动的效果相同；

②等时性：

各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同；

③独立性：

各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响.

（2）运动的合成与分解法则：

①运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形（或三角形）定则.

②对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.

2.合运动性质的判断

分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v和加速度a，然后进行判断.

（1）是否为匀变速判断：

加速度或合外力

（2）曲、直判断：

加速度或合外力与速度方向

例1　雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是（　　）

①风速越大，雨滴下落时间越长　②风速越大，雨滴着地时速度越大　③雨滴下落时间与风速无关　④雨滴着地速度与风速无关

A.①②B.②③C.③④D.①④

答案　B

解析　将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确.风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误.故选B.

1.两分运动独立进行，互不影响.

2.合运动与分运动具有等时性.

例2　（多选）质量为2kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图4所示，下列说法正确的是（　　）

图4

A.质点的初速度为5m/s

B.质点所受的合外力为3N，做匀变速曲线运动

C.2s末质点速度大小为6m/s

D.2s内质点的位移大小约为12m

答案　ABD

解析　由x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5m/s2，受力Fx＝3N，由y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度为vy＝4m/s，受力Fy＝0.因此质点的初速度为5m/s，A选项正确；

受到的合外力为3N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，B正确；

2s末质点速度应该为v＝m/s＝2m/s，C选项错误；

2s内，x＝vx0t＋at2＝9m，y＝8m，合位移l＝＝m≈12m，D正确.故选A、B、D.

在解决运动的合成问题时，先确定各分运动的性质，再求解各分运动的相关物理量，最后进行各量的合成运算.

针对训练1　塔式起重机模型如图5，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，在这过程中，能大致反映物体Q运动轨迹的是（　　）

图5

解析　物体Q参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；

水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体Q合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，选项A、C、D错误，B正确.

二、小船过河模型分析

[导学探究]　如图6所示：

河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度为v船，船M从A点开始渡河到对岸.

图6

（1）小船渡河时同时参与了几个分运动？

（2）怎样渡河时间最短？

（3）当v水<

v船时，怎样渡河位移最短？

答案　

（1）参与了两个分运动，一个是船相对水的运动（即船在静水中的运动），一个是船随水漂流的运动.（即一个分运动是水的运动）.

（2）如图所示，设v船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v船sinθ，时间t＝，当θ＝90°

时，t＝最小，即当船头垂直河岸时，时间最短.与其它因素无关.

（3）当v船与v水的合速度与河岸垂直时，位移最短.此时v船cosθ＝v水，v合＝v船sinθ，t＝.

1.不论水流速度多大，船头垂直于河岸渡河，时间最短，tmin＝，且这个时间与水流速度大小无关.

2.当v水＜v船时，合运动的速度方向可垂直于河岸，最短航程为河宽.

3.当v水＞v船时，船不能垂直到达河对岸，但仍存在最短航程，当v船与v合垂直时，航程最短，最短航程为xmin＝d.

注意：

小船渡河用时最短与位移最短是两种不同的运动情景，时间最短时，位移不是最短.

例3　一小船渡河，河宽d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.船在静水中的速度为v2＝5m/s，则：

（1）欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？

用多长时间？

位移是多少？

（2）欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？

答案　

（1）船头垂直于河岸　36s　90m

（2）船头偏向上游与河岸夹角为60°

　24s　180m

解析　将船实际的速度（合速度）分解为垂直河岸方向和平行河岸方向上的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响平行河岸方向上的位移.

（1）欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向.

当船头垂直河岸时，如图所示.

时间t＝＝s＝36s，

v合＝＝m/s

位移为x＝v合t＝90m.

（2）欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一夹角β.

垂直河岸渡河要求v平行＝0，所以船头应向上游偏转一定角度，如图所示，有v2sinα＝v1，得α＝30°

，所以当船头偏向上游与河岸夹角β＝60°

时航程最短.最短航程x′＝d＝180m，

所用时间t′＝＝＝s＝24s.

针对训练2　（多选）下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线.则其中可能正确的是（　　）

答案　AB

解析　小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动.虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.

三、“绳联物体”的速度分解问题

“绳联物体”指物体拉绳（杆）或绳（杆）拉物体的问题（下面为了方便，统一说“绳”）：

（1）物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.

（2）由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.

例4　如图7所示，用船A拖着车B前时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：

图7

（1）车B运动的速度vB为多大？

（2）车B是否做匀速运动？

答案　

（1）vAcosθ　

（2）不做匀速运动

解析　

（1）把vA分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcosθ.

（2）当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动.

针对训练3　如图8所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑定滑轮拉动物体B在水平方向上运动.当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度vB的大小.

图8

答案　vsinθ

解析　物块A沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点（即物块A）的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示.其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.

则有sinθ＝，因此vB＝vsinθ.

1.（合运动性质的判断）（多选）关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是（　　）

A.物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动

B.若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动

C.合运动与分运动具有等时性

D.速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则

答案　BCD

解析　物体的两个分运动是直线运动，它们的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动.若合速度方向与合加速度方向共线，则为直线运动，否则为曲线运动.

2.（合运动的轨迹判断）如图9所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R（木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮）.将玻璃管的开口端用胶塞塞紧（图甲）.现将玻璃管倒置（图乙），在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动.观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是（　　）

图9

解析　木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成.如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故θ不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确.

3.（两分运动的合成）（多选）一质量为2kg的质点在如图10甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度时间（v－t）图象和y方向的位移时间（y－t）图象分别如图乙、丙所示，由此可知（　　）

图10

A.t＝0时，质点的速度大小为12m/s

B.质点做加速度恒定的曲线运动

C.前2s，质点所受的合力大小为10N

D.t＝1s时，质点的速度大小为7m/s

答案　BC

解析　由v－t图象可知，质点在x方向上做匀减速运动，初速度为12m/s，而在y方向上，质点做速度为－5m/s的匀速运动，故在前2s内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：

v0＝m/s＝13m/s，故A错误，B正确；

由v－t图象可知，前2s，质点的加速度为：

a＝＝m/s2＝－5m/s2，根据牛顿第二定律，前2s质点所受合外力大小为F＝ma＝2×

5N＝10N，故C正确；

t＝1s时，x方向的速度为7m/s，而y方向速度为－5m/s，因此质点的速度大小为m/s＝m/s，故D项错误.

4.（绳联物体的速度分解问题）如图11所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则小船的运动性质及此时刻小船水平速度vx的大小为（　　）

图11

A.小船做变加速运动，vx＝

B.小船做变加速运动，vx＝v0cosα

C.小船做匀速直线运动，vx＝

D.小船做匀速直线运动，vx＝v0cosα

答案　A

解析　如图所示，小船的实际运动是水平向左的运动，它的速度vx可以产生两个效果：

一是使绳子OP段缩短；

二是使OP段绳与竖直方向的夹角减小.所以小船的速度vx应有沿OP绳指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由运动的分解可求得vx＝，α角逐渐变大，可得vx是逐渐变大的，所以小船做的是变加速运动.

5.（小船过河问题模型）小船在200m宽的河中横渡，水流速度是2m/s，小船在静水中的航速是4m/s.求：

（1）要使小船渡河耗时最少，应如何航行？

最短时间为多少？

（2）要使小船航程最短，应如何航行？

最短航程为多少？

答案　

（1）船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s.

（2）船头偏向上游，与河岸成60°

角，最短航程为200m.

解析　

（1）如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝s＝50s.

（2）如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cosα＝＝，解得α＝60°

.

课时作业

一、选择题（1～7为单项选择题，8～10为多项选择题）

1.关于合运动、分运动的说法，正确的是（　　）

A.合运动的位移为分运动位移的矢量和

B.合运动的位移一定比其中的一个分位移大

C.合运动的速度一定比其中的一个分速度大

D.合运动的时间一定比分运动的时间长

解析　位移是矢量，其运算满足平行四边形定则，A正确；

合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；

同理可知C错误；

合运动和分运动具有等时性，D错误.

2.小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是（　　）

A.水速小时，位移小，时间也小

B.水速大时，位移大，时间也大

C.水速大时，位移大，但时间不变

D.位移、时间大小与水速大小无关

解析　小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定.水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小.

3.如图1所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮.红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则红蜡块的轨迹可能是（　　）

A.直线PB.曲线Q

C.曲线RD.无法确定

解析　红蜡块在竖直方向上做匀速直线运动，在水平方向上做匀加速直线运动，所受合力水平向右，合力与合速度不共线，红蜡块的轨迹应为曲线，A错误；

由于做曲线运动的物体所受合力应指向凹的一侧，故B正确，C、D错误.

4.如图2所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直且悬线总长度不变，则橡皮运动的速度（　　）

A.大小和方向均不变

B.大小不变，方向改变

C.大小改变，方向不变

D.大小和方向均改变

解析　设铅笔的速度为v，如图所示，橡皮的速度分解成水平方向的v1和竖直方向的v2.因该过程中悬线始终竖直，故橡皮水平方向的速度与铅笔移动速度相同，即v1＝v.因铅笔靠着线的左侧水平向右移动，故悬线竖直方向长度减小的速度大小与铅笔移动速度的大小相等，则橡皮竖直方向速度的大小也与铅笔移动速度的大小相等，又因v1和v2的大小、方向都不变，故合速度（即橡皮运动的速度）大小、方向都不变，选项A正确.

5.人用绳子通过定滑轮拉物体A，A穿在光滑的竖直杆上，当以速度v0匀速地拉绳使物体A到达如图3所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A实际运动的速度是（　　）

A.v0sinθB.

C.v0cosθD.

答案　D

解析　由运动的合成与分解可知，物体A参与两个分运动：

一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动.而物体A的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A的合运动，它们之间的关系如图所示.由几何关系可得v＝，所以D正确.

6.一只小船渡河，运动轨迹如图4所示.水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；

小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变.由此可以确定（　　）

A.船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动

B.船沿三条不同路径渡河的时间相同

C.船沿AB轨迹渡河所用的时间最短

D.船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大

解析　因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；

加速度的方向指向轨迹的凹向，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；

沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸的速度最大，D正确，故选D.

7.如图5所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为Hm，沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索（重力可忽略不计）救护困在湖水中的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起.设经ts时间后，A、B之间的距离为lm，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图（　　）

解析　根据l＝H－t2，可知B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速率运动，所以F、G都在竖直方向上；

向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.

8.如图6所示，某同学在研究运动的合成时做了如下活动：

用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖.若该同学左手的运动为匀速运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速运动，则关于笔尖的实际运动，下列说法中正确的是（　　）

A.笔尖做匀速直线运动

B.笔尖做匀变速直线运动

C.笔尖做匀变速曲线运动

D.笔尖的速度方向与水平方向夹角逐渐变小

答案　CD

解析　由题意知，笔尖的初速度竖直向上，水平向右的加速度恒定，故做匀变速曲线运动，选项A、B错误，C正确；

由于竖直方向速度大小恒定，水平方向速度大小逐渐增大，故笔尖的速度方向与水平方向的夹角逐渐变小，D正确.故本题选C、D.

9.一快艇从离岸边100m远的河流中央向岸边行驶.已知快艇在静水中的速度图象如图7甲所示；

河中各处水流速度相同，且速度图象如图乙所示.则（　　）

A.快艇的运动轨迹一定为直线

B.快艇的运动轨迹一定为曲线

C.快艇最快到达岸边，所用的时间为20s

D.快艇最快到达岸边，经过的位移为100m

解析　两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A错误，B正确.当快艇垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a＝0.5m/s2，由d＝at2，得t＝20s，而位移大于100m，选项C正确，D错误.故选B、C.

10.在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图8所示.关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是（　　）

A.相对地面的运动轨迹为直线

B.相对地面做匀变速曲线运动

C.t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at

D.t时间内猴子相对地面的位移大小为

答案　BD

解析　猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子的实际运动轨迹为曲线；

因为猴子受到的合外力恒定（加速度恒定），所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；

t时刻猴子对地的速度大小为vt＝；

t时间内猴子对地的位移大小为l＝.

二、非选择题

11.一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x方向和y方向上的两个分运动的速度－时间图象如图9所示.

（1）计算物体的初速度大小；

（2）计算物体在前3s内的位移大小.

答案　

（1）50m/s　

（2）30m

解析　

（1）由图可看出，物体沿x方向的分运动为匀速直线运动，沿y方向的分运动为匀变速直线运动.x方向的初速度vx0＝30m/s，y方向的初速度vy0＝－40m/s；

则物体的初速度大小为

v0＝＝50m/s.

（2）在前3s内，x方向的分位移大小

x3＝vx·

t＝30×

3m＝90m

y方向的分位移大小y3＝·

t＝×

3m＝60m，

故x＝＝m＝30m.

12.一辆车通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H.车由静止开始向左做匀加速运动，经过时间t绳子与水平方向的夹角为θ，如图10所示.试求：

（1）车向左运动的加速度的大小；

（2）重物m在t时刻速度的大小.

答案　

（1）　

（2）

解析　

（1）车在时间t内向左运动的位移：

x＝，

由车做匀加速运动，得：

x＝at2，

解得：

a＝＝.

（2）车的速度：

v车＝at＝，

由运动的分解知识可知，车的速度v车沿绳的分速度大小与重物m的速度大小相等，即：

v物＝v车cosθ，

v物＝.