13第十三讲曲线积分与路径无关问题Word文档下载推荐.docx
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BA,L?
L?
ABdsy）（x,y）ds,ff（x，即对弧长的曲线积分与积=【说明】若，则21LL21。
但与积分弧段的方向无关分弧段有关（代入法）2.第一型曲线积分的计算?
）?
t（x?
f（x,y）t（?
LL,
设上有定义且连续,的参数方程为，在曲线弧?
t（y?
22'
'
dt（t（t?
）f?
（t）,）（t）ds）x,yf（）（?
=?
ds）,yf（x1?
y）f（x,L表示曲线弧的弧长。
时特别,当,
b,a）xa?
x?
b）g（y?
g（x）（L的方程为，当曲线弧上有连续的导数，则在d?
2'
dx）（?
1?
gxfxx,g（）ds）（x,yf；
=aL：
计算第一型曲线积分例112?
xy?
L:
）155?
（dl）y（x?
；
从（１，１）到（０，０）一段。
（１），其中12L222332?
a?
:
Lxyadl?
y）（x圆周。
（２），其中L二、第二型曲线积分第二型曲线积分的模型（代入法）1.）y（x,yP（x,）,Qyy）?
P（x,）i?
Q（x,）j,F（xy一质,为连续函数设有一平面力场，其中WBAL点在此力场的力作用下，由点，求力场的力所作的功沿光滑曲线。
运动到点?
dyy）Q?
（x,W?
P（x,y）dx，LL?
LL为与【评注】设方向相反的有向曲线弧，则为有向曲线弧，?
dyy,）xQdxyxP（?
）,（?
）,（PxydxQxydy?
）?
（LL?
即第二型曲线积分方向无关
3
第二型曲线积分的计算2.
）t（x?
txoyL,
，当参数变到的参数方程为单调地由时设平面上的有向曲线?
）t（y?
）（t）（dt）P?
Q（t）,）,（t）t（t（tdy）P（x,y）dx?
Q（x,y=?
BLLA并不这里的是曲线是曲线所对应的参数值，的起点的终点所对应的参数值，?
。
要求ax?
）,xf（y?
bx?
LLL对应于应于的起点，若曲线的终点，则的方程为?
b?
）（f（x）P（x,fx）x?
Qfxdx,dy,y）?
y）dxQ（xP（x=；
aLcy?
d?
yx?
g（y）,LLL的起点，应于若曲线对应于的方程为的终点，则?
yQ）,g（y）,y（gy（y）dyP?
gdyQy）（x,P（x,y）dx?
=。
cLd?
bca?
，。
同样，以上并不要求C公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，?
）t（（t）,x?
z（t）,y?
L，则的参数方程为若空间曲线?
dzz）x（,y,,y,z）dy?
RzP（x,y,）dx?
Q（xC?
dt（）,（t（t）?
R）t（t）,（（t）,（t）t）（t?
Q）,）（t）,（t）,（（t）tP=?
CC这里下限为曲线为曲线的终点所对应的参数值。
的起点所对应的参数值，上限?
ydy?
xydx2：
计算，其中例L2x?
y）11,?
1）B（A（1,L的一段弧。
（1）上从点为抛物线到点BAL.
（2）到点为从的直线段2x?
yxy，）但可运用公式（3不是的单值函数，因此不能运用公式由【解法1】
（1）
（2）知，2yx?
y1?
1，于是变到这里，从4?
11422'
dydy?
（y）?
yy4y?
yydyxydx?
===50?
1LxyAOOBAOL在两部分时，在每一部分上的单值函数。
【解法2】当把曲线都是分成与xy?
xyxxOB0011，由变到；
在上，上，由变到。
于是
4
ydyxydx?
xydx=+OBLOA?
10'
xd（xx）（?
x）dx）xx?
x（?
xx）?
（?
=+013311410?
dxx?
）dx?
）（（?
22==22501y0dx?
11?
AB1从,于是的方程为,到,
（2）直线1?
ydyydyxydx?
0==1?
L.曲线积分不一定相等对坐标的曲线积分沿不同的路径,从这个例子可以看出,
格林公式及其应用3.
）,y）yQ（xP（x,L在及围成，函数格林公式:
设平面单连通区域D由分段光滑的曲线D上具有一阶连续偏导数，则PQ?
QdyPdx（）dxdy?
yx?
LD?
LD的正向边界曲线。
是其中?
ydx?
2xdydxdyx,Q?
y，可得在公式
（1）中取，?
LDDAD:
的两倍，因此计算有界闭区域的上式左端为闭区域面积的公式为的面积1?
xdy?
A。
2?
L33tasin?
cost,yx?
a.3：
计算星形线所围图形的面积例
（2）得【解】由公式1?
A2?
L1?
22233?
dt）]sintacost（?
3tt?
3asincost?
asint?
[acos=202a33?
2222?
tdttcossina.
==280xsin?
ay线从Ｏ到中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲的曲线族和Ａ4:
例在过点Ｏ（0,0）（π,0）3?
dy）y（?
2x?
dx?
（1y）Ａ的线积分的值最小。
C“补面法”用格林公是求解。
【解】本题可用代入法直接求解，这里采用
5
0?
0,x:
C:
AO直线段。
令，即033?
dyy）2x?
（2x?
y）dy?
（（（1?
y1cCC?
03?
dyy）2xy?
（（1?
-C04?
x0asin3232?
a4?
（23y?
）（2?
3ydy）dxdy?
（1?
3?
00D8?
a用一元函数极值的方法得。
时达到最小值34.平面曲线积分与路径无关的条件xoy）yx,,y）Q（P（xDD在平面上的一个开区域，是以及曲线积分与路径无关问题：
设BABDDA的任意两条，以及内具有一阶阶连续偏导数.如果对到点内任意两点内从点与?
LLQdyPdx?
QdyPdxPdx?
Qdy?
D内与路=曲线在、，，恒有则称曲线积分21LLL21径无关。
定理：
以下条件等价D内曲线积分与路径无关；
（１）在区域D内沿任一闭曲线的积分为零；
（２））,yxy）Q（（Px,DD内具有一阶连续偏以及是一个单连通域，函数（３）设开区域在QP?
D导数且内恒成立；
在x?
yQdy?
Pdx为全微分．（４）2yy222?
dy（x?
e（1?
xey））dx?
）0（0,OL是从点：
计算经圆周,其中例5L224y?
2）?
（x）04,A（上半部到点的弧段。
.先判断是否与积分路径无关直接计算曲线积分比较难,【解】
22y2y2y?
（x,y）xyP（x,）?
xeeQ,
这里,Q?
y2xe?
2）y（x,（x,y）QP.
且与在全平面上有一阶连续偏导数,有=y?
OA.作为积分路径为便于计算,取直线段于是因此这个曲线积分与路径无关.2y2y222y2y22?
dy?
（）dx?
xye）xe1dy（xe1（?
dx）?
xe?
y）（?
=OAL4?
12?
dxx1（?
）=0
6
5.奇点的处理方法QP?
L，设在坐标平面上除了点Ｐ外都有，则对任意分段光滑闭曲线定理：
dy）x,yy）dx?
QI?
（P（x,是一个定值。
Lydx?
IL:
其中为例6:
计算22yx?
L;
该闭曲线包围的区域不含有原点1）任一简单闭曲线,（;
该闭曲线包围的区域含原点2）任一简单闭曲线,（xy?
）,yQ（）P（x,y?
x,
这里,【解】2222y?
xx22Px?
Qy?
）yx,y）Q（P（x,?
在不含原点的任意一个区域内具有一阶且与,222x?
x）yx?
（.
连续偏导数,所以1）这个曲线积分与路径无关（ydxxdy?
I.
22yx?
LQP?
L，
（2）设在坐标平面上除了原点点外都有，则对任意分段光滑闭曲线xy?
222?
dyy））dx?
Q（xI?
P（x,yr?
L，它的参数方程为是一个定值，把换成圆周L?
cosx?
r?
2（0?
,?
siny?
（cos）?
sinxdyr?
2?
dI?
.则222rxy?
0L?
）（y上，曲线积分具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L例７：
设函数?
xydy?
2y）dx（?
.
的值恒为同一常数42y?
2xL?
xydy2dx?
）（y?
，有；
内的任意分段光滑简单闭曲线）（I证明：
对右半平面x>
0C42yx?
2C?
）（y.
）求函数的表达式（II与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联）的关键是如何将封闭曲线C证明（I【分析】?
）y（的表达式，显然应用系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；
而（II）中求积分与路径无关即可.
7
Y
I）
【解】（
l3ll?
C?
l如图，将C分解为：
，另作一条曲线围绕原点且与321?
y）dxy）dx?
2xydy（y）dx?
2xydy（（?
42422x2x?
yyll?
Cll?
3321?
xy）2（y?
QP?
QP,x?
（II）设，在单连通区域4242y?
yxx?
22?
xydy2）dx?
（y?
由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当42yx?
2LP?
.y?
x5224yy?
4（2xx?
y2）?
4x2?
Q2y,?
l1l2C
XoC相接，则xydy?
20?
.42y?
0内具有一阶连续偏导数，0?
x时，总有
①224242）?
x（2xx?
y）y（2?
342243?
y（y（y?
4）（y）yx2y）?
P））（2（yx?
y4）.?
②242422）y（2x?
y（2x?
y）比较①、②两式的右端，得?
③,y?
2（y）?
?
543?
24y（y ）y（y）y?
④5532?
?
ycy2y?
4cy（y））y（，将由③得代入④得2?
.y（y）?
0c?
，从而所以.【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形６.二元函数的全微分求法）x,yu?
x,y）dxQ（x,y）dy（?
x）（ux,ydu（,y）P（是表达式,则称函数若函数定义：
使dy）xQ（,yxP（,y）dx?
的一个原函数。
）x,y,（xy）Q（PDD内具有一阶连续函数是一个单连通域，以及在判别法：
设开区域Q?
dy）yxQdxyxP（,）?
（,DD在,偏导数则在存在原函数的充分必要条件是等式内xy?
8
内恒成立。
dyy）Q（xP（x,y）dx?
u（x,y）?
求法：
0yx00yx?
dyy）Q（x（x,y）dx?
）u（x,y?
P0xy00）,0）?
（0（x,y.
一般取00xoydyy）2x?
2y）dx?
（（x,并求出一个原函数。
是存在原函数例８：
验证在整个在平面内y?
2xQ（x,y）P（x,y）?
2y,
【解】这里Q?
xoyxoy内面在此在整个平在平面且内恒成立,因在整个y?
dyy）（2x?
dx（x?
2y）?
存在原函数）,y（x?
dy）x?
yy））u（x,y?
（2?
（x2）0（0,1xy22?
dy）?
2y）dx（2?
0（xy?
）（x?
y2.==2000dy?
）（2x?
y）x（?
2ydx?
对于常微分方程由上面可知这个微分方程的通解122C2?
yx（?
）C）.为（为任意常数2
9
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