1、BA,L?L?ABdsy)(x,y)ds,ff(x,即对弧长的曲线积分与积=【说明】若,则21LL21 。,但与积分弧段的方向无关分弧段有关 (代入法)2. 第一型曲线积分的计算?)?t(x?f(x,y)t(?LL, 设上有定义且连续, 的参数方程为,在曲线弧?t(y?22dt(t(t?)f?(t),)(t)ds)x,yf()(? =?ds),yf(x1?y)f(x,L 表示曲线弧的弧长。时特别,当, b,a)xa?x?b)g(y?g(x)(L 的方程为, 当曲线弧上有连续的导数,则在d?2dx)(?1?gxfxx,g()ds)(x,yf ; =aL :计算第一型曲线积分例112?xy?L:)
2、155?(dl)y(x?;从(,)到(,)一段。(),其中 12L222332?a?:Lxyadl?y)(x 圆周。(),其中L 二、第二型曲线积分 第二型曲线积分的模型(代入法)1.)y(x,yP(x,),Qyy)?P(x,)i?Q(x,)j,F(xy一质,为连续函数设有一平面力场,其中WBAL 点在此力场的力作用下,由点,求力场的力所作的功沿光滑曲线。运动到点?dyy)Q?(x,W?P(x,y)dx , LL?LL 为与【评注】设方向相反的有向曲线弧,则为有向曲线弧,?dyy,)xQdxyxP(?),(?),(PxydxQxydy?,)?( LL? 即第二型曲线积分方向无关 3 第二型曲线
3、积分的计算2. )t(x?txoyL, ,当参数变到的参数方程为单调地由时设 平面上的有向曲线?)t(y?)(t)(dt)P?Q(t),),(t)t(t(tdy)P(x,y)dx?Q(x,y= ?BLLA并不这里的是曲线是曲线所对应的参数值,的起点的终点所对应的参数值,? 。要求ax?),xf(y?bx?LLL 对应于应于的起点, 若曲线的终点,则的方程为?b?)(f(x)P(x,fx)x?Qfxdx,dy,y)?,y)dxQ(xP(x= ; aLcy?d?yx?g(y),LLL 的起点,应于若曲线对应于的方程为的终点,则?yQ),g(y),y(gy(y)dyP?gdyQy)(x,P(x,y)
4、dx?= 。 cLd?bca? ,。同样,以上并不要求C 公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形,?)t(t),x?z(t),y?L ,则的参数方程为若空间曲线?dzz)x(,y,y,z)dy?RzP(x,y,)dx?Q(x C?dt(),(t(t)?R)t(t),(t),(t)t)(t?Q),)(t),(t),(t)tP =?CC 这里下限为曲线为曲线的终点所对应的参数值。的起点所对应的参数值,上限?ydy?xydx 2:计算 ,其中例L2x?y)11,?1)B(A(1,L 的一段弧。(1)上从点为抛物线到点BAL. (2)到点为从的直线段2x?yxy,)但可运用公式(3不是的单值函数
5、,因此不能运用公式由【解法1】 (1)(2)知,2yx?y1?1 ,于是变到这里,从4?11422dydy?(y)?yy4y?yydyxydx?=50?1LxyAOOBAOL在两部分时,在每一部分上的单值函数。 【解法2】当把曲线都是分成与xy?xyxxOB0011 ,由变到;在上, 上,由变到。于是 4 ydyxydx?xydx =+OBLOA?10xd(xx)(?x)dx)xx?x(?xx)?(? =+013311410?dxx?)dx?)(?22 =22501y0dx?11?AB1 从,于是的方程为,到,(2) 直线1?ydyydyxydx?0 =1?L. 曲线积分不一定相等对坐标的曲线
6、积分沿不同的路径,从这个例子可以看出, 格林公式及其应用3. ),y)yQ(xP(x,L在及围成,函数格林公式: 设平面单连通区域D由分段光滑的曲线D 上具有一阶连续偏导数,则PQ?QdyPdx()dxdy? yx?LD?LD 的正向边界曲线。是其中?ydx?2xdydxdyx,Q?y ,可得在公式(1)中取,?LDDAD:的两倍,因此计算有界闭区域的上式左端为闭区域面积的公式为的面积1?xdy?A 。 2?L33tasin?cost,yx?a. 3: 计算星形线所围图形的面积例 (2)得【解】 由公式1?A 2?L1?22233?dt)sintacost(?3tt?3asincost?asi
7、nt?acos =202a33?2222?tdttcossina. =280xsin?ay线从到中,求一条曲线,使沿该曲 的曲线族和4:例 在过点(0,0)(,0)3?dy)y(?2x?dx?(1y) 的线积分的值最小。C “补面法”用格林公是求解。 【解】本题可用代入法直接求解,这里采用 5 0?0,x:C: AO直线段。令,即033?dyy)2x?(2x?y)dy?(1?y1 cCC?03?dyy)2xy?(1? -C04?x0asin3232?a4?(23y?)(2?3ydy)dxdy?(1?3?00D8?a 用一元函数极值的方法得。时达到最小值3 4. 平面曲线积分与路径无关的条件xo
8、y)yx,y)Q(P(xDD在平面上的一个开区域,是以及曲线积分与路径无关问题:设BABDDA的任意两条,以及内具有一阶阶连续偏导数.如果对到点内任意两点内从点与?LLQdyPdx?QdyPdxPdx?Qdy?D内与路=曲线在、,恒有则称曲线积分21LLL21 径无关。 定理:以下条件等价D 内曲线积分与路径无关;()在区域D 内沿任一闭曲线的积分为零;(),yxy)Q(Px,DD内具有一阶连续偏以及是一个单连通域,函数()设开区域在QP?D导数且内恒成立;在 x?yQdy?Pdx 为全微分()2yy222?dy(x?e(1?xey)dx?)0(0,OL 是从点: 计算经圆周,其中例5L224
9、y?2)?(x)04,A( 上半部到点的弧段。. 先判断是否与积分路径无关直接计算曲线积分比较难,【解】 22y2y2y?(x,y)xyP(x,)?xeeQ, 这里,Q?y2xe?2)y(x,(x,y)QP. 且与在全平面上有一阶连续偏导数,有=y?OA .作为积分路径为便于计算,取直线段于是因此这个曲线积分与路径无关.2y2y222y2y22?dy?()dx?xye)xe1dy(xe1(?dx)?xe?y)(? =OAL4?12?dxx1(?) =0 6 5.奇点的处理方法QP?L,设在坐标平面上除了点外都有,则对任意分段光滑闭曲线定理:dy)x,yy)dx?QI?(P(x, 是一个定值。L
10、ydx?IL:,其中为例6: 计算22yx?L; 该闭曲线包围的区域不含有原点1)任一简单闭曲线,(; 该闭曲线包围的区域含原点2)任一简单闭曲线,(xy?),yQ()P(x,y?x, 这里,【解】 2222y?xx22Px?Qy?)yx,y)Q(P(x,?在不含原点的任意一个区域内具有一阶且与,222x?x)yx?(. 连续偏导数 ,所以1) 这个曲线积分与路径无关(ydxxdy?I. 22yx?LQP?L,(2)设在坐标平面上除了原点点外都有,则对任意分段光滑闭曲线xy?222?dyy)dx?Q(xI?,P(x,yr?L,它的参数方程为是一个定值,把换成圆周L?cosx?r?2(0?, ,
11、?siny?(cos)?sinxdyr?2?dI?. 则 222rxy?0L?)(y上,曲线积分具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L例:设函数?xydy?2y)dx(?. 的值恒为同一常数42y?2xL?xydy2dx?)(y? ,有;内的任意分段光滑简单闭曲线)(I证明:对右半平面x0C42yx?2C?)(y. )求函数的表达式(II与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联)的关键是如何将封闭曲线C 证明(I【分析】?)y(的表达式,显然应用系,这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论;而(II)中求 积分与路径无关即可. 7 Y I)【解】 ( l 3ll?C?l如图,将C分解
12、为:,另作一条曲线围绕原点且与321?y)dxy)dx?2xydy(y)dx?2xydy(? 42422x2x?yyll?Cll?3321?xy)2(y?,QP?QP,x?(II) 设,在单连通区域4242y?yxx?22?xydy2)dx?(y?由()知,曲线积分在该区域内与路径无关,故当42yx?2LP?. y?x5224yy?4(2xx?y2)?4x2?Q2y,?l 1 l 2C X o C相接,则xydy?20?. 42y?0内具有一阶连续偏导数,0?x时,总有 224242)?x(2xx?y)y(2?342243?y(y(y?4)(y)yx2y)?P)(2(yx?y4).? 2424
13、22)y(2x?y(2x?y) 比较、两式的右端,得? ,y?2(y)? ?543?24y(y)y(y)y? 5532?,?ycy2y?4cy(y)y( ,将 由得代入得2?.y(y)?0c? ,从而所以. 【评注】 本题难度较大,关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形 . 二元函数的全微分求法)x,yu?x,y)dxQ(x,y)dy(?x)(ux,ydu(,y)P(是表达式,则称函数若函数定义:使dy)xQ(,yxP(,y)dx? 的一个原函数。)x,y,(xy)Q(PDD内具有一阶连续函数是一个单连通域,以及在 判别法:设开区域Q?dy)yxQdxyxP(,)?(,DD在,偏导
14、数则在存在原函数的充分必要条件是等式内xy? 8 内恒成立。dyy)Q(xP(x,y)dx?u(x,y)?, 求法:0yx00yx?dyy)Q(x(x,y)dx?)u(x,y?,P 0xy00),0)?(0(x,y. 一般取00xoydyy)2x?2y)dx?(x ,并求出一个原函数。是存在原函数例:验证在整个在平面内y?2xQ(x,y)P(x,y)?2y, ,【解】 这里Q?xoyxoy内面在此在整个平在平面且内恒成立,因在整个y?dyy)(2x?dx(x?2y)?存在原函数),y(x?dy)x?yy)u(x,y?(2?(x2 )0(0,1xy22?dy)?2y)dx(2?0(xy?)(x?y2. =2000dy?)(2x?y)x(?2ydx? ,对于常微分方程由上面可知这个微分方程的通解122 C2?yx(?)C). 为(为任意常数 2 9
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