13第十三讲曲线积分与路径无关问题Word文档下载推荐.docx

1、BA,L?L?ABdsy）（x,y）ds,ff（x，即对弧长的曲线积分与积=【说明】若，则21LL21 。,但与积分弧段的方向无关分弧段有关 （代入法）2. 第一型曲线积分的计算?）?t（x?f（x,y）t（?LL, 设上有定义且连续, 的参数方程为，在曲线弧?t（y?22dt（t（t?）f?（t）,）（t）ds）x,yf（）（? =?ds）,yf（x1?y）f（x,L 表示曲线弧的弧长。时特别,当, b,a）xa?x?b）g（y?g（x）（L 的方程为， 当曲线弧上有连续的导数，则在d?2dx）（?1?gxfxx,g（）ds）（x,yf ； =aL ：计算第一型曲线积分例112?xy?L:）

2、155?（dl）y（x?；从（，）到（，）一段。（），其中 12L222332?a?:Lxyadl?y）（x 圆周。（），其中L 二、第二型曲线积分 第二型曲线积分的模型（代入法）1.）y（x,yP（x,）,Qyy）?P（x,）i?Q（x,）j,F（xy一质,为连续函数设有一平面力场，其中WBAL 点在此力场的力作用下，由点，求力场的力所作的功沿光滑曲线。运动到点?dyy）Q?（x,W?P（x,y）dx ， LL?LL 为与【评注】设方向相反的有向曲线弧，则为有向曲线弧，?dyy,）xQdxyxP（?）,（?）,（PxydxQxydy?,）?（ LL? 即第二型曲线积分方向无关 3 第二型曲线

3、积分的计算2. ）t（x?txoyL, ，当参数变到的参数方程为单调地由时设 平面上的有向曲线?）t（y?）（t）（dt）P?Q（t）,）,（t）t（t（tdy）P（x,y）dx?Q（x,y= ?BLLA并不这里的是曲线是曲线所对应的参数值，的起点的终点所对应的参数值，? 。要求ax?）,xf（y?bx?LLL 对应于应于的起点， 若曲线的终点，则的方程为?b?）（f（x）P（x,fx）x?Qfxdx,dy,y）?,y）dxQ（xP（x= ； aLcy?d?yx?g（y）,LLL 的起点，应于若曲线对应于的方程为的终点，则?yQ）,g（y）,y（gy（y）dyP?gdyQy）（x,P（x,y）

4、dx?= 。 cLd?bca? ，。同样，以上并不要求C 公式可推广到空间曲线上对坐标的曲线积分的情形，?）t（t）,x?z（t）,y?L ，则的参数方程为若空间曲线?dzz）x（,y,y,z）dy?RzP（x,y,）dx?Q（x C?dt（）,（t（t）?R）t（t）,（t）,（t）t）（t?Q）,）（t）,（t）,（t）tP =?CC 这里下限为曲线为曲线的终点所对应的参数值。的起点所对应的参数值，上限?ydy?xydx 2：计算 ，其中例L2x?y）11,?1）B（A（1,L 的一段弧。（1）上从点为抛物线到点BAL. （2）到点为从的直线段2x?yxy，）但可运用公式（3不是的单值函数

5、，因此不能运用公式由【解法1】 （1）（2）知，2yx?y1?1 ，于是变到这里，从4?11422dydy?（y）?yy4y?yydyxydx?=50?1LxyAOOBAOL在两部分时，在每一部分上的单值函数。 【解法2】当把曲线都是分成与xy?xyxxOB0011 ，由变到；在上， 上，由变到。于是 4 ydyxydx?xydx =+OBLOA?10xd（xx）（?x）dx）xx?x（?xx）?（? =+013311410?dxx?）dx?）（?22 =22501y0dx?11?AB1 从,于是的方程为,到,（2） 直线1?ydyydyxydx?0 =1?L. 曲线积分不一定相等对坐标的曲线

6、积分沿不同的路径,从这个例子可以看出, 格林公式及其应用3. ）,y）yQ（xP（x,L在及围成，函数格林公式: 设平面单连通区域D由分段光滑的曲线D 上具有一阶连续偏导数，则PQ?QdyPdx（）dxdy? yx?LD?LD 的正向边界曲线。是其中?ydx?2xdydxdyx,Q?y ，可得在公式（1）中取，?LDDAD:的两倍，因此计算有界闭区域的上式左端为闭区域面积的公式为的面积1?xdy?A 。 2?L33tasin?cost,yx?a. 3： 计算星形线所围图形的面积例 （2）得【解】 由公式1?A 2?L1?22233?dt）sintacost（?3tt?3asincost?asi

7、nt?acos =202a33?2222?tdttcossina. =280xsin?ay线从到中，求一条曲线，使沿该曲 的曲线族和4:例 在过点（0,0）（,0）3?dy）y（?2x?dx?（1y） 的线积分的值最小。C “补面法”用格林公是求解。 【解】本题可用代入法直接求解，这里采用 5 0?0,x:C: AO直线段。令，即033?dyy）2x?（2x?y）dy?（1?y1 cCC?03?dyy）2xy?（1? -C04?x0asin3232?a4?（23y?）（2?3ydy）dxdy?（1?3?00D8?a 用一元函数极值的方法得。时达到最小值3 4. 平面曲线积分与路径无关的条件xo

8、y）yx,y）Q（P（xDD在平面上的一个开区域，是以及曲线积分与路径无关问题：设BABDDA的任意两条，以及内具有一阶阶连续偏导数.如果对到点内任意两点内从点与?LLQdyPdx?QdyPdxPdx?Qdy?D内与路=曲线在、，恒有则称曲线积分21LLL21 径无关。 定理：以下条件等价D 内曲线积分与路径无关；（）在区域D 内沿任一闭曲线的积分为零；（）,yxy）Q（Px,DD内具有一阶连续偏以及是一个单连通域，函数（）设开区域在QP?D导数且内恒成立；在 x?yQdy?Pdx 为全微分（）2yy222?dy（x?e（1?xey）dx?）0（0,OL 是从点： 计算经圆周,其中例5L224

9、y?2）?（x）04,A（ 上半部到点的弧段。. 先判断是否与积分路径无关直接计算曲线积分比较难,【解】 22y2y2y?（x,y）xyP（x,）?xeeQ, 这里,Q?y2xe?2）y（x,（x,y）QP. 且与在全平面上有一阶连续偏导数,有=y?OA .作为积分路径为便于计算,取直线段于是因此这个曲线积分与路径无关.2y2y222y2y22?dy?（）dx?xye）xe1dy（xe1（?dx）?xe?y）（? =OAL4?12?dxx1（?） =0 6 5.奇点的处理方法QP?L，设在坐标平面上除了点外都有，则对任意分段光滑闭曲线定理：dy）x,yy）dx?QI?（P（x, 是一个定值。L

10、ydx?IL:,其中为例6: 计算22yx?L; 该闭曲线包围的区域不含有原点1）任一简单闭曲线,（; 该闭曲线包围的区域含原点2）任一简单闭曲线,（xy?）,yQ（）P（x,y?x, 这里,【解】 2222y?xx22Px?Qy?）yx,y）Q（P（x,?在不含原点的任意一个区域内具有一阶且与,222x?x）yx?（. 连续偏导数 ,所以1） 这个曲线积分与路径无关（ydxxdy?I. 22yx?LQP?L，（2）设在坐标平面上除了原点点外都有，则对任意分段光滑闭曲线xy?222?dyy）dx?Q（xI?,P（x,yr?L，它的参数方程为是一个定值，把换成圆周L?cosx?r?2（0?, ,

11、?siny?（cos）?sinxdyr?2?dI?. 则 222rxy?0L?）（y上，曲线积分具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L例：设函数?xydy?2y）dx（?. 的值恒为同一常数42y?2xL?xydy2dx?）（y? ，有；内的任意分段光滑简单闭曲线）（I证明：对右半平面x0C42yx?2C?）（y. ）求函数的表达式（II与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联）的关键是如何将封闭曲线C 证明（I【分析】?）y（的表达式，显然应用系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求 积分与路径无关即可. 7 Y I）【解】 （ l 3ll?C?l如图，将C分解

12、为：，另作一条曲线围绕原点且与321?y）dxy）dx?2xydy（y）dx?2xydy（? 42422x2x?yyll?Cll?3321?xy）2（y?,QP?QP,x?（II） 设，在单连通区域4242y?yxx?22?xydy2）dx?（y?由（）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当42yx?2LP?. y?x5224yy?4（2xx?y2）?4x2?Q2y,?l 1 l 2C X o C相接，则xydy?20?. 42y?0内具有一阶连续偏导数，0?x时，总有 224242）?x（2xx?y）y（2?342243?y（y（y?4）（y）yx2y）?P）（2（yx?y4）.? 2424

13、22）y（2x?y（2x?y） 比较、两式的右端，得? ,y?2（y）? ?543?24y（y）y（y）y? 5532?,?ycy2y?4cy（y）y（ ，将 由得代入得2?.y（y）?0c? ，从而所以. 【评注】 本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形 . 二元函数的全微分求法）x,yu?x,y）dxQ（x,y）dy（?x）（ux,ydu（,y）P（是表达式,则称函数若函数定义：使dy）xQ（,yxP（,y）dx? 的一个原函数。）x,y,（xy）Q（PDD内具有一阶连续函数是一个单连通域，以及在 判别法：设开区域Q?dy）yxQdxyxP（,）?（,DD在,偏导

14、数则在存在原函数的充分必要条件是等式内xy? 8 内恒成立。dyy）Q（xP（x,y）dx?u（x,y）?, 求法：0yx00yx?dyy）Q（x（x,y）dx?）u（x,y?,P 0xy00）,0）?（0（x,y. 一般取00xoydyy）2x?2y）dx?（x ,并求出一个原函数。是存在原函数例：验证在整个在平面内y?2xQ（x,y）P（x,y）?2y, ,【解】 这里Q?xoyxoy内面在此在整个平在平面且内恒成立,因在整个y?dyy）（2x?dx（x?2y）?存在原函数）,y（x?dy）x?yy）u（x,y?（2?（x2 ）0（0,1xy22?dy）?2y）dx（2?0（xy?）（x?y2. =2000dy?）（2x?y）x（?2ydx? ,对于常微分方程由上面可知这个微分方程的通解122 C2?yx（?）C）. 为（为任意常数 2 9