高三数学二轮复习理专题4 第2讲 点线面的位置关系学生版Word格式.docx

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（3）面面垂直的判定定理　∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.

（4）面面垂直的性质定理　∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.

4．异面直线所成的角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈（0，

]．

（3）求法：

先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角．

5．直线与平面所成的角

θ∈[0，

先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．

6．二面角

θ∈[0，π]．

（3）找二面角平面角的方法

①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．

垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：

①弄清该二面角及它的棱．

②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线（往往先找垂面再找垂线）．

③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角（或其补角）就是该二面角的平面角．

④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．

1．（2013·

安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

2．（2013·

广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是

（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

3．（2013·

山东）已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的

正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

A.

B.

C.

D.

4．（2012·

安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且

b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

5．（2013·

浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α、β是两个

不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（　　）

A．平面α与平面β垂直

B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C．平面α与平面β平行

D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

题型一　空间点、线、面的位置关系

例1

　对于四面体ABCD，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；

②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；

③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；

④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；

⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

变式训练1　

（1）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：

①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；

②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；

④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.

其中假命题的序号是__________．

答案　④

（2）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．

①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；

②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；

③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；

④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．

题型二　平行关系与垂直关系

例2

　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

（1）求证：

平面EFG∥平面PMA；

（2）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（3）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

变式训练2　（2013·

北京）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

题型三　空间线面关系的综合问题

例3

　如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

变式训练3　（2013·

浙江）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝

，PA＝

，∠ABC＝120°

.G为线段PC上的点．

（1）证明：

BD⊥平面APC；

（2）若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；

（3）若G满足PC⊥平面BGD，求

的值．

典例

　（12分）如图，在△ABC中，∠B＝

，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.

（1）当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长．

（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：

A′B⊥DE.

1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b；

②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；

③若a∥b，b∥M，则a∥M；

④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若m∥α，n∥α，则m∥n；

④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确的命题是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

3．（2012·

四川）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°

，∠BAD＝90°

，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（　　）

A．平行　　B．相交

C．异面垂直　　D．异面不垂直

6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；

②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；

③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.

其中正确的有________．

专题限时规范训练

一、选择题

1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线

2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

3．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于（　　）

A．60°

B．90°

C．30°

D．随点E的位置而变化

答案　B

5．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F－HC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱D．Ω是棱台

6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有（　　）

A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面

C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面

7．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

8．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列命题：

①若m⊂α，n∥α，则m∥n；

②若m∥α，m∥β，则α∥β；

③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；

④若m⊥α，m⊥β，则α∥β.

其中真命题的个数是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

9．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于______．

10．如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成正四面体PDEF（点A、B、C重合后记为P），则四面体中异面直线PG与DH所成角的余弦值为________．

11．如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线PA垂直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题：

①PA∥平面MOB；

②MO∥平面PAC；

③OC⊥平面PAC；

④平面PAC⊥平面PBC.

其中正确的命题是________（填上所有正确命题的序号）．

12．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为

的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

三、解答题

13．（2013·

江苏）如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．

求证：

（1）平面EFG∥平面ABC；

（2）BC⊥SA.

4．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC.

平面AB1C1⊥平面AC1；

（2）若AB1⊥A1C，求线段AC⊥AA1长度之比；

（3）若D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？

若存在，试确定点E的位置；

若不存在，请说明理由．