步步高高考数学大一轮复习 13基本逻辑联结词全称量词与存在量词教师用书 理 苏教版Word格式文档下载.docx
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1；
命题q：
∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是________．
①p∧q;
②綈p∧q；
③p∨綈q;
④綈p∧綈q.
答案 ②
解析 ∵p是假命题，q是真命题，
∴綈p∧q是真命题．
2．（2013·
重庆改编）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．
答案 存在x0∈R，使得x
<
解析 因为“∀x∈M，p（x）”的否定是“∃x0∈M，綈p（x0）”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x
0”．
3.（2014·
重庆改编）已知命题
p：
对任意x∈R，总有2x>
0；
q：
“x>
1”是“x>
2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是________．
②綈p∧綈q；
③綈p∧q;
④p∧綈q.
答案 ④
解析 因为指数函数的值域为（0，＋∞），所以对任意x∈R，y＝2x>
0恒成立，故p为真命题；
因为当x>
1时，x>
2不一定成立，反之当x>
2时，一定有x>
1成立，故“x>
2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④正确．
4．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<
0”是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案 [－4,0]
解析 “∃x∈R，x2－mx－m<
0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，
∴－4≤m≤0.
题型一 含有逻辑联结词命题的真假判断
例1
（1）命题p：
将函数y＝sin2x的图象向右平移
个单位得到函数y＝sin
的图象；
函数y＝sin
cos
的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是________．
若a>
1，则ax>
logax恒成立；
在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件（m，n，p，q∈N*）．则下面选项中真命题是________．
①（綈p）∧（綈q）②（綈p）∨（綈q）
③p∨（綈q）④p∧q
答案
（1）2
（2）②
解析
（1）函数y＝sin2x的图象向右平移
个单位后，
所得函数为y＝sin
＝sin
，
∴命题p是假命题．
又y＝sin
＝sin2
＝
－
∴其最小正周期为T＝
＝π，
∴命题q真．
由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真．
所以真命题的个数是2.
（2）当a＝1.1，x＝2时，
ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>
log1.11.21＝2，
此时，ax<
logax，故p为假命题．
命题q，由等差数列的性质，
当m＋n＝p＋q时，an＋am＝ap＋aq成立，
当公差d＝0时，由am＋an＝ap＋aq不能推出m＋n＝p＋q成立，故q是真命题．
故綈p是真命题，綈q是假命题，
所以p∧q为假命题，p∨（綈q）为假命题，（綈p）∧（綈q）为假命题，（綈p）∨（綈q）为真命题．
思维升华 “p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤：
（1）确定命题的构成形式；
（2）判断其中命题p、q的真假；
（3）确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假．
（1）（2014·
湖南改编）已知命题p：
若x>
y，则－x<
－y；
y，则x2>
y2.在命题①p∧q；
②p∨q；
③p∧（綈q）；
④（綈p）∨q中，真命题是________．
（2）“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．
答案
（1）②③
（2）必要不充分
解析
（1）当x>
y时，－x<
－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．
当x>
y时，x2>
y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．
由真值表知，①p∧q为假命题；
②p∨q为真命题；
③p∧（綈q）为真命题；
④（綈p）∨q为假命题．
（2）若命题“p或q”为真命题，则p、q中至少有一个为真命题．
若命题“p且q”为真命题，则p、q都为真命题，
因此“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．
题型二 含有一个量词的命题的真假判断与否定
例2
（1）下列命题中的假命题是________．
①∃x∈R，lnx＝0;
②∃x∈R，tanx＝
；
③∀x∈R，x2>
0;
④∀x∈R,3x>
0.
（2）写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：
∀x∈R，x2－x＋
≥0；
②q：
所有的正方形都是矩形；
③r：
∃x0∈R，x
＋2x0＋2≤0；
④s：
至少有一个实数x0，使x
＋1＝0.
思维点拨 含一个量词的命题的否定要改变量词，并对结论进行否定．
答案
（1）③
解析
（1）∵ln1＝0，∴①正确；
∵tanx∈R，∴∃x∈R，tanx＝
正确，∴②正确；
当x＝0时x2>
0不成立，∴③错；
∵x∈R,3x>
0正确，∴④正确．
（2）解 ①綈p：
－x0＋
0，假命题．
②綈q：
至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
③綈r：
∀x∈R，x2＋2x＋2>
0，真命题．
④綈s：
∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．
思维升华
（1）判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p（x）成立；
要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x＝x0，使p（x0）成立．
（2）对全（存在性）称命题进行否定的方法：
①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．
②对原命题的结论进行否定．
（1）下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④实数的平方是非负数．
其中真命题的序号是________．
（2）命题“存在实数x，使x>
1”的否定是________．
答案
（1）①④
（2）对任意实数x，都有x≤1
解析
（1）四条边相等的四边形可能是菱形，故②错，③显然错误，①④正确．
（2）利用存在性命题的否定是全称命题求解．
“存在实数x，使x>
1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
题型三 逻辑联结词与命题真假的应用
例3
（1）设p：
关于x的不等式ax>
1的解集是{x|x<
0}；
函数y＝
的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则实数a的取值范围是________________．
“∀x∈[0,1]，a≥ex”；
“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
答案
（1）
∪[1，＋∞）
（2）[e,4]
解析
（1）根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0<
a<
1}，
对于命题q：
函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．
当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；
当a≠0时，不等式恒成立的条件是
解得a≥
.
所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥
}．
由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，
当p真q假时，a的取值范围是P∩（∁RQ）＝{a|0<
1}∩{a|a<
}＝{a|0<
}；
当p假q真时，a的取值范围是（∁RP）∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥
}＝{a|a≥1}．
综上，a的取值范围是
∪[1，＋∞）．
（2）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex,得a≥e；
由∃x∈R，使x2＋4x＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤4.
思维升华 以命题真假为依据求参数的取值范围时，首先要对两个简单命题进行化简，然后依据“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假，列出含有参数的不等式（组）求解即可．
（1）已知命题p：
“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
“∃x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
（2）命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<
0”为假命题，则实数a的取值范围为________．
答案
（1）{a|a≤－2或a＝1}
（2）[－2
，2
]
解析
（1）由题意知，p：
a≤1，q：
a≤－2或a≥1，
∵“p且q”为真命题，
∴p、q均为真命题，
∴a≤－2或a＝1.
（2）因题中的命题为假命题，则它的否定“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，因此只需Δ＝9a2－4×
2×
9≤0，即－2
≤a≤2
常用逻辑用语与一元二次不等式
一、命题的真假判断
典例：
已知命题p：
∃x∈R，x2＋1<
2x；
若mx2－mx－1<
0恒成立，则－4<
m<
0，那么________．
①“綈p”是假命题
②q是真命题
③“p或q”为假命题
④“p且q”为真命题
解析 由于x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，
即x2＋1≥2x，所以p为假命题；
对于命题q，当m＝0时，有－1<
0，恒成立，
所以命题q为假命题．
综上可知：
綈p为真命题，
p且q为假命题，p或q为假命题．
答案 ③
温馨提醒 判断和一元二次不等式有关的命题的真假，首先要分清是要求解一元二次不等式，还是要求一元二次不等式恒成立（有解、无解），然后再利用逻辑用语进行判断．
二、确定参数的取值范围
（1）若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<
0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为________．
（2）已知p：
∃x∈R，mx2＋1≤0，q：
∀x∈R，x2＋mx＋1>
0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为________．
解析
（1）方法一 由题意，命题“对任意实数x，使x2＋ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝a2－4×
1×
1≤0，
解得－2≤a≤2.
方法二 若命题“存在实数x，使x2＋ax＋1<
0”是真命题，则Δ＝a2－4×
1>
0，解得a>
2或a<
－2.故原命题实数a的取值范围是取其补集，即[－2,2]．
（2）依题意知，p，q均为假命题．当p是假命题时，∀x∈R，mx2＋1>
0恒成立，则有m≥0；
当q是假命题时，则有Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2.因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
答案
（1）[－2,2]
（2）[2，＋∞）
温馨提醒 在与全称命题、存在性命题有关的问题中，如果从原来的命题出发解决问题不方便，则可以先否定原来的命题，再依据补集思想解决原问题.
方法与技巧
1．把握含逻辑联结词的命题的形式，特别是字面上未出现“或”、“且”时，要结合语句的含义理解．
2．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，再对照否定结构去写，并注意与否命题区别；
否定的规律是“改量词，否结论”．
失误与防范
1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可；
p∧q为真命题，必须p、q同时为真．
2．p或q的否定：
非p且非q；
p且q的否定：
非p或非q.
3．命题的否定与否命题
“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；
“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论.
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟）
1．设命题p：
函数y＝sin2x的最小正周期为
函数y＝cosx的图象关于直线x＝
对称．则下列判断正确的是________．
①p为真；
②綈q为假；
③p∧q为假；
④p∨q为真．
解析 p是假命题，q是假命题，因此只有③正确．
2.已知命题p：
所有有理数都是实数；
正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是________．
①綈p∨q;
②p∧q；
③綈p∧綈q;
④綈p∨綈q.
解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而上述叙述中只有綈p∨綈q为真命题．
3．命题“存在x∈R，使得x2＋x＋2≤0”是________命题（用“真”或“假”填空）．
答案 假
解析 ∵Δ＝1－8<
0，
∴x2＋x＋2>
0恒成立，
∴不存在x∈R，使x2＋x＋2≤0.
4．已知命题p：
所有指数函数都是单调函数，则綈p为________．
答案 存在一个指数函数，它不是单调函数
解析 命题p：
所有指数函数都是单调函数，则綈p为：
存在一个指数函数，它不是单调函数．
5．已知命题p：
“任意x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：
“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题p为真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是________．
答案 （4，＋∞）
解析 当x∈[0,1]时，ex∈[1，e]，∴a≥e；
又q为假命题，∴Δ＝16－4a<
0，即a>
4.综上，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围是（4，＋∞）．
6．下列结论正确的个数是________．
①已知复数z＝i（1－i），z在复平面内对应的点位于第四象限；
②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”；
③命题p：
“∃x0∈R，x
－x0－1>
0”的否定綈p：
“∀x∈R，x2－x－1≤0”；
答案 1
解析 ①已知复数z＝i（1－i），z在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为z＝1＋i，对应点在第一象限；
②若x，y是实数，则“x2≠y2”的充要条件是“x≠y或x≠－y”是错误的，因为“x2≠y2”的充要条件是“x≠y且x≠－y”；
“∀x∈R，x2－x－1≤0”是正确的，存在性命题的否定是全称命题．
7．若命题p：
对于任意x∈[－1,1]，有f（x）≥0，则对命题p的否定是________．
答案 存在x0∈[－1,1]，使f（x0）<
8．已知命题p：
x2＋2x－3>
>
1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是____________________．
答案 （－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）
解析 因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，
<
0，得2<
x<
3，所以q假时有x≥3或x≤2；
p为真命题时，由x2＋2x－3>
0，解得x>
1或x<
－3，
由
解得x<
－3或1<
x≤2或x≥3，
所以x的取值范围是x<
x≤2或x≥3.
9．下列结论：
①若命题p：
∃x∈R，tanx＝1；
∀x∈R，x2－x＋1>
0.则命题“p∧（綈q）”是假命题；
②已知直线l1：
ax＋3y－1＝0，l2：
x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是
＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题：
“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 ①中命题p为真命题，命题q为真命题，
所以p∧（綈q）为假命题，故①正确；
②当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；
③正确．所以正确结论的序号为①③.
10．已知c>
0，且c≠1，设p：
函数y＝cx在R上单调递减；
函数f（x）＝x2－2cx＋1在
上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．
解 ∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0<
c<
1.
即p：
0<
1，∵c>
0且c≠1，∴綈p：
c>
又∵f（x）＝x2－2cx＋1在
上为增函数，
∴c≤
即q：
c≤
，∵c>
0且c≠1，
∴綈q：
且c≠1.
又∵“p或q”为真，“p且q”为假，
∴p真q假或p假q真．
①当p真，q假时，
{c|0<
1}∩
②当p假，q真时，{c|c>
＝∅.
综上所述，实数c的取值范围是
B组 专项能力提升
25分钟）
1．已知命题p：
∃x∈R，x－2>
lgx，命题q：
∀x∈R，x2>
0，则________．
①p∨q是假命题；
②p∧q是真命题；
③p∧（綈q）是真命题；
④p∨（綈q）是假命题．
解析 ∵x＝10时，x－2＝8，lg10＝1，x－2>
lgx成立，∴命题p为真命题，又x2≥0，命题q为假命题，
所以p∧（綈q）是真命题．
2．下列结论正确的是________．
①若p：
∃x∈R，x2＋x＋1<
0，则綈p：
∀x∈R，x2＋x＋1<
②若p∨q为真命题，则p∧q也为真命题；
③“函数f（x）为奇函数”是“f（0）＝0”的充分不必要条件；
④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的否命题为真命题．
解析 ∵x2＋x＋1<
0的否定是x2＋x＋1≥0，∴①错；
若p∨q为真命题，则p、q中至少有一个为真，∴②错；
f（x）为奇函数，但f（0）不一定有意义，∴③错；
命题“若x2－3x＋2＝0则x＝1”的否命题为“若x2－3x－2≠0，则x≠1”是真命题，④对．
3．下列结论正确的个数是________．
①命题“∃x0∈R，x
＋1>
3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”；
②函数f（x）＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π是“a＝1”的必要不充分条件；
③x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔（x2＋2x）min≥（ax）max在x∈[1,2]上恒成立；
④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充分必要条件是“a·
b<
答案 2
解析 ①中命题“∃x0∈R，x
3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋1≤3x”为真命题；
②中如果函数f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax的最小正周期为π，那么由
＝π得a＝±
由a＝1得f（x）＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax＝cos2x，其最小正周期为π，所以
（2）是真命题；
③是假命题，由x∈[1,2]，可将x2＋2x≥ax化为a≤x＋2，所以原命题等价于a≤（x＋2）min；
④是假命题，因为a·
0，有可能a与b的夹角是π.
4．给定两个命题，命题p：
对任意实数x都有ax2>
－ax－1恒成立，命题q：
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真命题，则a＝0或
即0≤a<
4；
若q为真命题，则（－1）2－4a≥0，即a≤
因为“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，
所以p，q中有且仅有一个为真命题．
若p真q假，则
若p假q真，则a<
综上，实数a的取值范围为（－∞，0）∪（
，4）．
5．设命题p：
实数x满足x2－4ax＋3a2<
0，其中a>
0，命题q：
实数x满足
（1）若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解
（1）由x2－4ax＋3a2<
0，得（x－3a）（x－a）<
又a>
0，所以a<
3a.
当a＝1时，1<
3，即p为真命题时，
实数x的取值范围是1<
3.
解得
即2<
x≤3.
所以q为真时实数x的取值范围是2<
若p∧q为真，则
⇔2<
3，
所以实数x的取值范围是（2,3）．
（2）綈p是綈q的充分不必要条件，
即綈p⇒綈q且綈qD
綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>
3}，
则AB.∴0<
a≤2且3a>
∴1<
a≤2，
∴实数a的取值范围是（1,2]．
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