高中数学第一章三角函数111任意角学案新人教A版必修4Word格式文档下载.docx
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时钟经过1小时，时针转动的角的大小是________.
【解析】 时钟是顺时针转，故形成的角是负角，又经过12个小时时针转动一个周角，故经过1个小时时针转动周角的
，所以转动的角的大小是－
×
360°
＝－30°
.
【答案】 －30°
教材整理2 象限角与轴线角
阅读教材P3“图1.1 3至探究”以上内容，完成下列问题.
1.象限角：
以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.
2.如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.
下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°
的角是钝角、直角或锐角.
其中错误的序号为________（把错误的序号都写上）.
【解析】 由象限角定义可知①②③④都不正确.
【答案】 ①②③④
教材整理3 终边相同的角
阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容，完成下列问题.
1.前提：
α表示任意角.
2.表示：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·
，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
判断（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同.（ ）
（2）终边相同的角有无数个，它们相差360°
的整数倍.（ ）
（3）终边相同的角的表示不唯一.（ ）
【解析】 由终边相同角的定义可知
（1）
（2）（3）正确.
【答案】
（1）√
（2）√ （3）√
[小组合作型]
任意角的概念与终边相同的角
（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°
的角}，则下面关系正确的是（ ）
A.A＝B＝CB.A⊆C
C.A∩C＝BD.B∪C⊆C
（2）下面与－850°
12′终边相同的角是（ ）
【导学号：
00680000】
A.230°
12′B.229°
48′
C.129°
48′D.130°
12′
【精彩点拨】 正确理解第一象限角、锐角、小于90°
的角的概念.
【自主解答】
（1）第一象限角可表示为k·
<
α<
k·
＋90°
，k∈Z；
锐角可表示为0°
β<
90°
，小于90°
的角可表示为γ<
.由三者之间的关系可知，选D.
（2）与－850°
12′终边相同的角可表示为α＝－850°
12′＋k·
（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°
12′＋1080°
＝229°
48′.
【答案】
（1）D
（2）B
1.判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
（2）技巧：
判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可.
2.在0°
到360°
范围内找与给定角终边相同的角的方法：
（1）一般地，可以将所给的角α化成k·
＋β的形式（其中0°
≤β<
，k∈Z），其中的β就是所求的角.
（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：
当所给角是负角时，采用连续加360°
的方式；
当所给角是正角时，采用连续减360°
的方式，直到所得结果达到要求为止.
[再练一题]
1.有下列说法：
①相差360°
整数倍的两个角，其终边不一定相同；
②终边相同的角一定相等；
③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·
（k∈Z）.
其中正确说法的序号是________.
【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°
的整数倍，反之也成立；
②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·
③正确.因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈（－180°
，180°
），且β∈（－180°
）时α＋β＝0°
，当α，β为任意角时，α＋β＝k·
【答案】 ③
象限角与区间角的表示
（1）－1154°
是（ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
（2）已知角β的终边在如图1 1 2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围.
图1 1 2
【精彩点拨】
【自主解答】
（1）∵－1154°
＝－4×
＋286°
，∴在0°
～360°
之间，与－1154°
终边相同的角α＝286°
，286°
是第四象限角.故－1154°
角为第四象限角.
【答案】 D
（2）阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·
＋60°
＋105°
，k<
Z}.
阴影在x轴下方部分的角的集合为：
B＝{β|k·
＋240°
＋285°
，k∈Z}.
所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·
，k∈Z}∪{β|k·
360＋285°
，k∈Z}，其中B可以化为：
{β|k·
＋180°
即{β|（2m＋1）×
180°
（2m＋1）×
，m∈Z}.
集合A可以化为
{β|2m×
2m＋180°
故A∪B可化为{β|n·
n·
，n∈Z}.
1.象限角的判定方法：
（1）在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限.
（2）第一步，将α写成α＝k·
＋β（k∈Z,0°
）的形式；
第二步，判断β的终边所在的象限；
第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限.
2.表示区间角的三个步骤：
第一步：
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°
范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<
x<
β}，其中β－α<
；
第三步：
起始、终止边界对应角α，β再加上360°
的整数倍，即得区间角集合.
2.写出图1 1 3中阴影部分（不含边界）表示的角的集合.【导学号：
705120xx】
图1 1 3
【解】 在－180°
～180°
内落在阴影部分的角的集合为大于－45°
小于45°
，所以终边落在阴影部分（不含边界）的角的集合为{α|－45°
＋k·
45°
[探究共研型]
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1 若α是第二象限角，则
是第几象限角？
【提示】
（1）代数推导法：
由题意知90°
（k∈Z），
30°
120°
60°
故
是第一或第二或第四象限角.
（2）画图法：
如图①将各个象限2等分，从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，
就在标注2的区域，即第一或第三象限的后半区（如图①阴影区域）.
同理，可得
在第一、二、四象限（如图②阴影区域）.
探究2 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y＝x对称，则角α与β分别具有怎样的关系？
【提示】
（1）关于x轴对称：
若角α与β的终边关于x轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k·
，k∈Z.
（2）关于y轴对称：
若角α与β的终边关于y轴对称，则角α与β的关系是β＝180°
－α＋k·
（3）关于原点对称：
若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°
＋α＋k·
（4）关于直线y＝x对称：
若角α与β的终边关于直线y＝x对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°
已知α为第二象限角，则2α，
分别是第几象限角？
【导学号：
【精彩点拨】 可由α范围写出2α，
的范围后，直接求得2α的范围，然后分k为奇数或偶数两种情况确定
的位置.
【自主解答】 ∵α是第二象限角，
∴90°
，
∴180°
＋2k·
2α<
，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°
＋
·
当k为偶数时，不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°
＋n·
此时，
为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°
270°
为第三象限角.∴
为第一或第三象限角.
1.解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或
的范围，再根据k与n的关系进行讨论.
2.一般地，要确定
所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4，则标号为n的区域就是根据α所在第几象限时
的终边所落在的区域.
3.若α是第四象限角，则180°
－α是（ ）
A.第一象限角B.第二象限角
【解析】 ∵α是第四象限角，则角α应满足：
－90°
∴－k·
－α<
－k·
则－k·
当k＝0时，180°
故180°
－α为第三象限角.
【答案】 C
1.若α是第一象限角，则－
A.第一象限角 B.第一、四象限角
C.第二象限角D.第二、四象限角
【解析】 因为α是第一象限角，所以
为第一、三象限角，所以－
是第二、四象限角.
2.与－457°
角终边相同的角的集合是（ ）
A.{α|α＝k·
＋457°
，k∈Z}
B.{α|α＝k·
＋97°
C.{α|α＝k·
＋263°
D.{α|α＝k·
－263°
【解析】 当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°
3.下列各角中，与角330°
的终边相同的角是（ ）
A.510°
B.150°
C.－150°
D.－390°
【解析】 与330°
终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°
，k∈Z}，
当k＝－2时，β＝330°
－720°
＝－390°
，故选D.
4.若角α与角β终边相同，则α－β＝________.
【解析】 根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·
【答案】 k·
（k∈Z）
5.在0°
范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
（1）－120°
（2）640°
【解】
（1）与－120°
终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°
当k＝1时，β＝－120°
＋1×
＝240°
∴在0°
范围内，与－120°
终边相同的角是240°
，它是第三象限的角.
（2）与640°
终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°
当k＝－1时，β＝640°
－360°
＝280°
范围内，与640°
终边相同的角为280°
，它是第四象限的角.
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