高中数学第一章三角函数111任意角学案新人教A版必修4Word格式文档下载.docx
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时钟经过1小时,时针转动的角的大小是________.
【解析】 时钟是顺时针转,故形成的角是负角,又经过12个小时时针转动一个周角,故经过1个小时时针转动周角的
,所以转动的角的大小是-
×
360°
=-30°
.
【答案】 -30°
教材整理2 象限角与轴线角
阅读教材P3“图1.13至探究”以上内容,完成下列问题.
1.象限角:
以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.
2.如果角的终边在坐标轴上,称这个角为轴线角.
下列说法:
①第一象限角一定不是负角;
②第二象限角大于第一象限角;
③第二象限角是钝角;
④小于180°
的角是钝角、直角或锐角.
其中错误的序号为________(把错误的序号都写上).
【解析】 由象限角定义可知①②③④都不正确.
【答案】 ①②③④
教材整理3 终边相同的角
阅读教材P3“探究”以下至P4“例1”以上内容,完成下列问题.
1.前提:
α表示任意角.
2.表示:
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·
,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.( )
(2)终边相同的角有无数个,它们相差360°
的整数倍.( )
(3)终边相同的角的表示不唯一.( )
【解析】 由终边相同角的定义可知
(1)
(2)(3)正确.
【答案】
(1)√
(2)√ (3)√
[小组合作型]
任意角的概念与终边相同的角
(1)已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°
的角},则下面关系正确的是( )
A.A=B=CB.A⊆C
C.A∩C=BD.B∪C⊆C
(2)下面与-850°
12′终边相同的角是( )
【导学号:
00680000】
A.230°
12′B.229°
48′
C.129°
48′D.130°
12′
【精彩点拨】 正确理解第一象限角、锐角、小于90°
的角的概念.
【自主解答】
(1)第一象限角可表示为k·
<
α<
k·
+90°
,k∈Z;
锐角可表示为0°
β<
90°
,小于90°
的角可表示为γ<
.由三者之间的关系可知,选D.
(2)与-850°
12′终边相同的角可表示为α=-850°
12′+k·
(k∈Z),当k=3时,α=-850°
12′+1080°
=229°
48′.
【答案】
(1)D
(2)B
1.判断角的概念问题的关键与技巧:
(1)关键:
正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念.
(2)技巧:
判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可.
2.在0°
到360°
范围内找与给定角终边相同的角的方法:
(1)一般地,可以将所给的角α化成k·
+β的形式(其中0°
≤β<
,k∈Z),其中的β就是所求的角.
(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:
当所给角是负角时,采用连续加360°
的方式;
当所给角是正角时,采用连续减360°
的方式,直到所得结果达到要求为止.
[再练一题]
1.有下列说法:
①相差360°
整数倍的两个角,其终边不一定相同;
②终边相同的角一定相等;
③终边关于x轴对称的两个角α,β之和为k·
(k∈Z).
其中正确说法的序号是________.
【解析】 ①不正确.终边相同的两个角一定相差360°
的整数倍,反之也成立;
②不正确.由①可知终边相同的两个角一定相差k·
③正确.因为终边关于x轴对称的两个角,当α∈(-180°
,180°
),且β∈(-180°
)时α+β=0°
,当α,β为任意角时,α+β=k·
【答案】 ③
象限角与区间角的表示
(1)-1154°
是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
(2)已知角β的终边在如图112所示的阴影部分内,试指出角β的取值范围.
图112
【精彩点拨】
【自主解答】
(1)∵-1154°
=-4×
+286°
,∴在0°
~360°
之间,与-1154°
终边相同的角α=286°
,286°
是第四象限角.故-1154°
角为第四象限角.
【答案】 D
(2)阴影在x轴上方部分的角的集合为:
A={β|k·
+60°
+105°
,k<
Z}.
阴影在x轴下方部分的角的集合为:
B={β|k·
+240°
+285°
,k∈Z}.
所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B,即{β|k·
,k∈Z}∪{β|k·
360+285°
,k∈Z},其中B可以化为:
{β|k·
+180°
即{β|(2m+1)×
180°
(2m+1)×
,m∈Z}.
集合A可以化为
{β|2m×
2m+180°
故A∪B可化为{β|n·
n·
,n∈Z}.
1.象限角的判定方法:
(1)在坐标系中画出相应的角,观察终边的位置,确定象限.
(2)第一步,将α写成α=k·
+β(k∈Z,0°
)的形式;
第二步,判断β的终边所在的象限;
第三步,根据β的终边所在的象限,即可确定α的终边所在的象限.
2.表示区间角的三个步骤:
第一步:
先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界;
第二步:
按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°
范围内的角α和β,写出最简区间{x|α<
x<
β},其中β-α<
;
第三步:
起始、终止边界对应角α,β再加上360°
的整数倍,即得区间角集合.
2.写出图113中阴影部分(不含边界)表示的角的集合.【导学号:
705120xx】
图113
【解】 在-180°
~180°
内落在阴影部分的角的集合为大于-45°
小于45°
,所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|-45°
+k·
45°
[探究共研型]
所在象限的判定方法及角的终边对称问题
探究1 若α是第二象限角,则
是第几象限角?
【提示】
(1)代数推导法:
由题意知90°
(k∈Z),
30°
120°
60°
故
是第一或第二或第四象限角.
(2)画图法:
如图①将各个象限2等分,从x轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4,循环下去,直到填满为止,
就在标注2的区域,即第一或第三象限的后半区(如图①阴影区域).
同理,可得
在第一、二、四象限(如图②阴影区域).
探究2 若角α与β的终边关于x轴、y轴、原点、直线y=x对称,则角α与β分别具有怎样的关系?
【提示】
(1)关于x轴对称:
若角α与β的终边关于x轴对称,则角α与β的关系是β=-α+k·
,k∈Z.
(2)关于y轴对称:
若角α与β的终边关于y轴对称,则角α与β的关系是β=180°
-α+k·
(3)关于原点对称:
若角α与β的终边关于原点对称,则角α与β的关系是β=180°
+α+k·
(4)关于直线y=x对称:
若角α与β的终边关于直线y=x对称,则角α与β的关系是β=-α+90°
已知α为第二象限角,则2α,
分别是第几象限角?
【导学号:
【精彩点拨】 可由α范围写出2α,
的范围后,直接求得2α的范围,然后分k为奇数或偶数两种情况确定
的位置.
【自主解答】 ∵α是第二象限角,
∴90°
,
∴180°
+2k·
2α<
,k∈Z,
∴2α是第三或第四象限角,或是终边落在y轴的非正半轴上的角.
同理45°
+
·
当k为偶数时,不妨令k=2n,n∈Z,
则45°
+n·
此时,
为第一象限角;
当k为奇数时,令k=2n+1,n∈Z,
则225°
270°
为第三象限角.∴
为第一或第三象限角.
1.解决此类问题,要先确定α的范围,进一步确定出nα或
的范围,再根据k与n的关系进行讨论.
2.一般地,要确定
所在的象限,可以作出各个象限的从原点出发的n等分射线,它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域,从x轴的非负半轴起,按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1,2,3,4,则标号为n的区域就是根据α所在第几象限时
的终边所落在的区域.
3.若α是第四象限角,则180°
-α是( )
A.第一象限角B.第二象限角
【解析】 ∵α是第四象限角,则角α应满足:
-90°
∴-k·
-α<
-k·
则-k·
当k=0时,180°
故180°
-α为第三象限角.
【答案】 C
1.若α是第一象限角,则-
A.第一象限角 B.第一、四象限角
C.第二象限角D.第二、四象限角
【解析】 因为α是第一象限角,所以
为第一、三象限角,所以-
是第二、四象限角.
2.与-457°
角终边相同的角的集合是( )
A.{α|α=k·
+457°
,k∈Z}
B.{α|α=k·
+97°
C.{α|α=k·
+263°
D.{α|α=k·
-263°
【解析】 当选项C的集合中k=-2时,α=-457°
3.下列各角中,与角330°
的终边相同的角是( )
A.510°
B.150°
C.-150°
D.-390°
【解析】 与330°
终边相同的角的集合为S={β|β=330°
,k∈Z},
当k=-2时,β=330°
-720°
=-390°
,故选D.
4.若角α与角β终边相同,则α-β=________.
【解析】 根据终边相同角的定义可知:
α-β=k·
【答案】 k·
(k∈Z)
5.在0°
范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角:
(1)-120°
(2)640°
【解】
(1)与-120°
终边相同的角的集合为M={β|β=-120°
当k=1时,β=-120°
+1×
=240°
∴在0°
范围内,与-120°
终边相同的角是240°
,它是第三象限的角.
(2)与640°
终边相同的角的集合为M={β|β=640°
当k=-1时,β=640°
-360°
=280°
范围内,与640°
终边相同的角为280°
,它是第四象限的角.