第2章 整数问题Word文档格式.docx

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　　22甲数各位数字之和是9，乙数各位数字之和是10。

当甲数作为被减数，乙数作为减数，用竖式相减时，有两次借位。

那么甲、乙两数之差的各位数字之和是多少？

　　23从1～6中选5个数填入下式，求算式的结果的最大值：

　　□×

（□－□）×

（□－□）。

　　24在下式中添加若干对括号，使算式取得最大值：

　　80÷

10-4×

2＋2×

5＋1。

　　25将四个不同的自然数填入下式的四个□中，使得等式成立。

这四个自然数的和最小是多少？

　　（□＋□）×

（□-□）＝12。

　　26在一位自然数中，任取一个质数和一个合数相乘，所有可能的乘积的总和是多少？

速算与巧算

　　计算下列各题（第27～44题）：

　　273125×

257。

　　28765×

213÷

27＋765×

327÷

27。

　　299×

17＋91÷

17-5×

17＋45÷

17。

　　3051×

49＋3.51×

49＋51×

3.51。

　　3137×

18＋27×

42。

　　32（101＋103＋…＋199）-（90＋92＋…＋188）。

　　33（9999＋9997＋…＋9001）-（1＋3＋…＋999）。

　　341234＋3142＋4321＋2413。

　　35123＋234＋345＋456＋567＋678＋789。

　　369039030÷

43043。

　　37（873×

477-198）÷

（476×

874＋199）。

　　3819991999×

19991998-19992000×

19991997。

　　3919981999×

19991998-19981998×

19991999。

　　4066666×

10001＋66666×

6666。

　　4199999×

22222＋33333×

33334。

　　432000×

1999-1999×

1998＋1998×

1997-

　　　1997×

1996＋…＋2×

1。

　　　441＋2＋22＋23＋…＋299

　　4512345654321×

（1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋3＋2＋1）是哪个数的平方？

等差数列与高斯求和

　　46计算下列各题：

（1）11＋14＋17＋…＋101；

（2）2＋6＋10＋…＋90；

　　（3）297＋293＋289＋…＋209；

　　（4）193＋187＋181＋…＋103；

　　（5）1＋3＋4＋6＋7＋9＋10＋12＋13＋…＋66＋67＋69＋70；

　　（6）2＋4＋8＋10＋14＋16＋20＋22＋…＋92＋94＋98＋100；

　　（7）1000＋999－998＋997＋996－995＋…＋106＋105－104＋103＋102－101。

　　47在19和91之间插入5个数，使这7个数构成一个等差数列。

写出插入的5个数。

　　48在1000到2000之间，所有个位数字是7的自然数之和是多少？

　　49左下图是一个堆放铅笔的V形架，如果V形架上一共放有210支铅笔，那么最上层有多少支铅笔？

　　50有一堆粗细均匀的圆木，堆成右上图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层。

这堆圆木共有多少根？

　　51在上题中，如果最下面一层有98根，这堆圆木共有2706根，那么共堆了多少层？

　　52用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？

　　53某剧院有25排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位。

这个剧院一共有多少个座位？

　　54小明从1月1日开始写大字，第1天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月共写了589个大字。

小明每天比前一天多写几个大字？

　　55一个七层书架放了777本书，每一层比它的下一层少7本书。

最上面一层放了几本书？

　　56学校进行乒乓球选拨赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛。

有多少人参加了选拨赛？

　　57跳棋棋盘（如左下图）上一共有多少个棋孔？

　　58右上图中的正六边形棋盘上共有多少个棋孔？

　　59用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形按左下图所示铺满一个大的等边三角形，已知这个大的等边三角形的底边放有10根火柴，那么一共要用多少根火柴？

　　60有一个六边形点阵（右上图），它的中心是一个点，看做第1层，第2层每边2个点，第3层每边3个点……这个六边形点阵共100层。

这个点阵共有多少个点？

　　61求前100个既能被2整除又能被3整除的数之和。

　　62在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？

　　63在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的奇数的和是多少？

　　64在1～200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少？

　　65求所有加6以后能被11整除的三位数的和。

　　66在所有的两位数中，十位数字比个位数字小的两位数有多少个？

　　67一个数列有11个数，中间一个数最大。

从中间的数往前数，一个数比一个数小2；

从中间的数往后数，一个数比一个数小3。

这11个数的总和是200，那么中间的数是几？

　　68编号为1～9的九个盒子中共放有351粒米，已知每个盒子都比前一号盒子多同样粒米。

如果1号盒子内放了11粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米？

如果3号盒子内放了23粒米，那么后面的盒子比它前一号的盒子多几粒米？

　　69从两位的自然数中，每次取两个不同的数，要使这两个数的和是三位的自然数，有多少种取法？

　　70某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内各圈人数依次少4人。

如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，那么参加排练的共有多少人？

　　71观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是n2，那么，第20行最左边的数是几？

第20行所有数字的和是多少？

　　72有一列数：

1，999，998，1，997，996，1，…从第3个数起，每一个数都是它前面2个数中大数减小数的差。

求从第1个数起到第999个数这999个数之和。

　　7310个连续偶数的和是从1开始的10个连续奇数和的2.5倍，其中最大的偶数是多少？

　　74有一类自然数，其中每一个数与5的和都是9的倍数，与5的差都是7的倍数，这类自然数中从小到大排列的第10个是几？

　　75设自然数按如下方式排列，那么第10行第1个数字是几？

　　76某车间从3月2日开始每天调入1人，已知每人每天生产1件产品，该车间从3月1日至3月21日共生产840件产品。

该车间原有工人多少名？

　　77小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和是1000，但他发现计算时少加了一个数。

小明少加了哪个数？

　　78莎莎练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字。

莎莎重复计算了哪个数字？

　　79有一套丛书共6册，每册出版间隔时间是7年，当6册出完后，这套丛书的出版年份的总和是11883。

第6册是何年出版的？

　　80奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米。

已知去时用了4天，回来时用了3天。

学校距离百花山多少千米？

　　81上体育课时，我们几个同学站成一排，从1开始顺序报数，除我以外的其他同学报的数之和减去我报的数恰好等于50。

共有多少个同学？

我报的数是几？

　　82有若干个学生，顺次编号为1，2，3，…所有编号之和是100的倍数且小于1000。

共有多少个学生？

　　83重阳节那天，延龄茶庄请来25位老人品茶，这25位老人的年龄恰好是25个连续自然数，并且年龄之和恰好是2000。

其中年龄最大的老人多少岁？

　　84☆9张面积都是9的图形放在面积为45的桌面上（不能超出桌面），能否使任何2个图形相互重叠的面积都小于1？

　　85☆求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。

位值原理

　　87证明：

一个三位数减去它的各个数位的数字之和后，必能被9整除。

　　数，求数码a。

　　90如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。

例如，99就是一个巧数，因为9×

9＋（9＋9）＝99。

可以证明，所有的巧数都是两位数。

请你写出所有的巧数。

　　92有一个两位数，如果把数码1加写在它的前面，那么可得到一个三位数，如果把1加写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数。

　　93有一个三位数，如果把数码6加写在它的前面，则可得到一个四位数，如果把6加写在它的后面，则也可以得到一个四位数，且这两个四位数之和是9999，求原来的三位数。

　　94有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把3加写在它的后面，则也可也以得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数。

将这两个三位数和一个四位数相加等于3600。

求原来的两位数。

　表示一个看不清的数码，求这个数和A。

这里A表示一个看不清的数码。

求这个数和A。

　　97有一个三位数，把它的个位数移到百位上，百位和十位上的数码相应后移一位成了一个新的三位数，原三位数的2倍恰好比新三位数大1，求原来的三位数。

　　98求一个三位数，它等于抹去它的首位数字之后剩下的两位数的4倍与25之差。

　　99把5写在某个四位数的左端得到一个五位数，把5写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是22122，求这个四位数。

　　100某三位数是其各位数字之和的23倍，求这个三位数。

　　101a，b，c是1～9中的三个不同数码，用它们组成的六个没有重复数字的三位数之和是（a＋b＋c）的多少倍？

　　102从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。

若这六个三位数之和是3330，则这六个三位数中最小的可能是几？

最大的可能是几？

　　103用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

　　104某校的学生总数是一个三位数，平均每个班35人。

统计员提供的学生总数比实际总人数少270人。

原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位与十位的数字对调了。

这个学校学生最多是多少人？

　　105☆a，b，c分别是0～9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数字，如果其中五个数字之和是2234，那么另一个数字是几？

　　106有一类三位数，它的各个数位上的数字之和是12，各个数位上的数字之积是30，所有这样的三位数的和是多少？

　　108一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大4，求这个两位数。

　　110☆一个三位数除以11所得的商等于这个三位数各位数码之和，求这个三位数。

　　112☆将一个三位数的数字重新排列，在所得到的三位数中，用最大的减去最小的，正好等于原来的三位数，求原来的三位数。

　　113☆在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。

求出所有这样的三位数。

　　114☆将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数大8802。

求原来的四位数。

　　115☆将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。

现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338。

求这个四位数。

二奇数与偶数

奇偶数与加减运算

　　1判断下面算式的得数是奇数还是偶数：

（1）12+13+14+…+86+87；

（2）（300+301+302+…+397）-（151+152+…+191）。

　　2有七个连续偶数，其中最大数是最小数的3倍，求这七个数。

　　3有10个连续奇数，第5个数与第8个数的和为56，求第1个数。

　　4能否在下式的□内填入加号或减号，使下式成立？

　　1□2□3□4□5□6□7□8□9=10。

　　5对于任意三个自然数，是否总有两个数的和是偶数？

为什么？

　　6有一排树，每两棵间的距离为1米。

如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树之间的距离是偶数米。

　　7在30到100中，所有3的倍数的数之和是奇数还是偶数？

　　8在前100个自然数中，任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的不同的取法共有多少种？

　　9有11张卡片，分别写有1～11这11个自然数。

现在要将这11张卡片分为两堆，使得一堆所有卡片上的数字之和是奇数，另一堆所有卡片上的数字之和是偶数。

能否做到？

　　10任意交换某个三位数的数字顺序得到一个新的三位数，原三位数与新三位数之和能否等于999？

　　11两个四位数相加，第一个四位数的每个数码都小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的四个数码调换了位置。

两数的和可能是7356吗？

　　12P为质数，P3+5仍为质数，P5+5是不是质数？

　　13有12张卡片，其中有三张上面写着1，三张写着3，三张写着5，三张写着7。

能否从中选出五张，使它们上面的数字之和为20？

　　14有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是1999？

　　15下图是一张9行9列的方格纸，在每个方格内填入所在行数与列数之和，例如a=4+7=11。

在填入的81个数中，偶数有多少个？

　　16有一根团成一团的毛线，拿剪刀任意剪一刀，假设剪出偶数个断口。

这根毛线被分成的段数是偶数还是奇数？

　　17☆沿江有1，2，3，4，5，6号六个码头，相邻两码头间的距离都相等。

早晨有甲、乙两船从1号码头出发，各自在这些码头间多次往返运送货物。

傍晚，甲船停泊在6号码头，乙船停泊在1号码头。

请说明甲、乙两船的航程不相等。

　　18在左下图中，已填入两个数字1和8。

在其余的格子中能否填满整数，使得横行任意相邻两数左边减右边之差都相等，纵列任意相邻两数下边减上边之差都相等？

　　19在右上图的4×

4方格中还有12个空格，希望填入12个自然数，使得同一行中相邻两数的差（大数减小数）都相等，同一列中相邻两数的差（大数减小数）也相等。

这件事能否办到？

　　20有一列数，从第2个数起，每个数与它前面一个数的差等于它的序号。

例如：

第6个数与第5个数的差是6。

如果第1个数是1，那么第100个数是奇数还是偶数？

　　21100个数排成一排，除了两头的两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和。

这排数最左边的几个数为：

2，1，1，2，…问：

最右边的一个数是奇数还是偶数？

　　22在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和，这样继续操作下去，最后得到44，66，109。

原来写的三个整数能否为1，3，5？

　　23在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成其它两数之和加1，这样继续操作下去，最后得到35，47，81。

原来写的三个整数能否为2，4，6？

　　24有两堆石子，第一堆有1234枚，第二堆有4321枚，每次允许要么从两堆中拿走相同数量的石子（每次拿的数可以不同），要么从一堆中拿若干枚放入另一堆。

能否经过若干次操作把两堆石子同时拿光？

　　25°

某城市举行小学生数学竞赛，试卷共有20道题。

评分标准是：

答对一道给3分，没答的题每题给1分，答错一道扣1分。

所有参赛学生的得分总和是奇数还是偶数？

　　26°

电视台举办知识竞赛，共10道题。

基础分15分，答对一道加3分，没答的题每题记1分，答错一道减1分。

如果有奇数个人参赛，那么所有参赛人的得分总和一定是奇数吗？

　　27一次数学考试共有20道题。

规定答对一题得2分，答错一题扣1分，未答的题不得分。

小明得了23分，已知他未答的题目数是偶数。

他答错了几道？

　　28在9×

9的方格表中，画出一条从左上角到右下角的对角线，以这条对角线为轴对称地放置棋子，每个方格中至多放一枚棋子，且每行恰好放了5枚棋子。

请说明，在所画出的对角线上的格子里至少放有一枚棋子。

　　29°

桌上放着七只杯子，有三只杯口朝上，四只杯口朝下，每个人任意将杯子翻动四次。

若干人翻动后，能否将七只杯子全变成杯口朝下？

　　30°

桌上放着四只杯口朝下的杯子，每次翻动三只。

能否将四只杯子全变成杯口朝上？

如能，怎样翻？

　　31°

有6个学生都面向南站成一排，每次恰有5个学生向后转，最少要做多少次才能使6个学生都面向北？

　　32桌面上放着五枚正面朝上的硬币，这时小明来翻转硬币，每次随意翻转两枚，翻转若干次后，小明用手捂住其中一枚硬币，此时另外四枚硬币恰好是两反两正。

请问：

小明捂住的那枚硬币哪面朝上？

　　33在2×

2的方格里，如左下图那样摆上四个围棋子，如果每次改变同一行或同一列两个棋子的颜色，即白色变黑色，黑色变白色，那么能否通过若干次这样的换色，使左下图变成右下图的样式？

　　34在3×

3的方格里，如左下图那样摆上九个围棋子，如果每次改变同一行或同一列三个棋子的颜色，即白色变黑色，黑色变白色，那么能否通过若干次这样的换色，使左下图变成右下图的样式？

　　35对于左下表，每次将其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同）变为右下表？

　　36把1，2，3三个数分别填在右图中的A，B，C三个小圆圈内，然后按逆时针方向，先把B中的数改为A中的数与B中的数之和，再把C中的数改为B中（已改过）的数与C中的数之和，再把A中的数改为C中（已改过）的数与A中的数之和，这样循环做下去。

如果在某一步做完之后，A，B，C中的数都变成了奇数，则停止运算。

为了尽可能多运算几步，那么2应填在A，B，C哪个圆圈中？

　　37小敏给9个点分别涂上红色或兰色，涂完后又全部擦干净，然后再涂一遍，两次总共涂上红色和兰色的点各9个。

无论怎样涂，是否总能找到一个两次涂的颜色不相同的点？

　　38某音乐厅有767个座位，在连续的两场演出中，音乐厅将这两场的票售给A，B两所大学各767张。

是否一定有这样的座位，在这两场演出中坐的不是同一学校的人？

　　39有777个孩子，依次编为1～777号。

能否将这些孩子分为若干组，使每组中都有一个孩子的号码数等于本组其余孩子号码数的总和？

　　40在左下图的每个中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的中的数字之差（大数减小数），恰好等于它们之间所标的数字。

能否办到？

　　41如右上图所示，将1～12顺次排成一圈。

任意选一个数a（1≤a≤12），然后从数a的下一个数起顺时针数a个数。

例如a=3，就从4数到6；

a=11，就从12顺时针数11个数到10。

当a等于几时，可以数到7？

　　42一本故事书有50篇故事，这些故事占的篇幅从1页到50页各不相同。

如果从书的第1页开始印第一个故事，下一个故事总是从新的一页开始印，那么故事从奇数页起头的最多有几篇？

最少有几篇？

　　43A，B，C，D，E，F，G七盏灯各自装有拉线开关，开始B，D，F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G，再……的顺序拉开关，一共拉了2000次。

此时哪几盏灯是亮的？

　　44☆走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。

有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。

假定每拉动一次灯绳，该灯的亮与不亮就改变一次。

试判定：

当这10个学生通过走廊后，走廊里哪些号数的灯是亮的？

　　45☆将任意六个整数填入2×

3的方格中。

证明：

必定存在一个矩形，它的四个角上的四个数字之和为偶数。

　　46☆能否将1，1，2，2，3，3，…，10，10这20个数排成一排，使得两个1之间夹着这20个数中的1个数，两个2之间夹着这20个数中的2个数……两个10之间夹着这20个数中的10个数？

奇偶数与乘除运算

　　47若x，y，z是满足x2+y2=z2的自然数，则x，y，z中可能有几个偶数？

　　483～9这七个数，两两相乘后所得的乘积的和，是奇数还是偶数？

　　49两个不同的自然数的积再乘以这两个自然数的差（大减小），其结果是奇数还是偶数？

　　50在下式的□和中各填一个自然数，使得等式成立：

　　□2-124=2。

　　51由三个不同的自然数□，△，组成一个等式：

　　□+△+=□×

△-。

　　这三个数中最多有多少个奇数？

　　52分别就m是奇数和偶数两种情况，判断下列各式中a，b的奇偶性：

（1）23+45+67+89+a+b=m；

（2）123×

455×

589×

a×

b=m；

　　（3）90÷

a÷

　　（4