最新北师大版高中数学选修11学案第一章 41 逻辑联结词且42 逻辑联结词或Word格式.docx

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当命题p、q都是________时，p且q是真命题；

当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．

②“p或q”形式命题：

当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；

当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．

（2）命题真假判断的表格如下：

p

q

p且q

p或q

真

假

类型一　含有“且”“或”命题的构成

命题角度1　简单命题与复合命题的区分

例1　指出下列命题的形式及构成它的命题．

（1）向量既有大小又有方向；

（2）矩形有外接圆或有内切圆；

（3）2≥2.

反思与感悟　不含有逻辑联结词的命题是简单命题；

由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．

判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．

跟踪训练1　分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．

（1）3是质数或合数；

（2）他是运动员兼教练员．

命题角度2　用逻辑联结词构造新命题

例2　分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．

（1）p：

梯形有一组对边平行，q：

梯形有一组对边相等；

（2）p：

－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：

－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

反思与感悟　

（1）用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．

（2）用逻辑联结词构造新命题的两个步骤

第一步：

确定两个简单命题p，q；

第二步：

分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p或q”．

跟踪训练2　分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：

π是无理数，q：

e不是无理数；

方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：

方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；

（3）p：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．

类型二　“p或q”和“p且q”形式命题的真假判断

例3　分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．

2>

2，q：

2＝2；

∅是{0}的真子集，q：

0∈∅；

函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：

方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．

反思与感悟　判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤

（1）首先判断命题p与q的真假；

（2）对于p且q，“一假则假，全真则真”，

对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．

跟踪训练3　分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．

是无理数，q：

π不是无理数；

集合A＝A，q：

A∪A＝A；

函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：

方程x2＋3x－4＝0没有实数根．

类型三　“p或q”与“p且q”的应用

例4　已知p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；

q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0的解集是∅，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．

反思与感悟　由p或q为真知p、q中至少一真；

由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．

跟踪训练4　已知命题p：

函数y＝x2＋2（a2－a）x＋a4－2a3在[－2，＋∞）上是增加的．q：

关于x的不等式ax2－ax＋1>

0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．

1．命题p：

“x>

0”是“x2>

0”的必要不充分条件，命题q：

△ABC中，“A>

B”是“sinA>

sinB”的充要条件，则（　　）

A．p真q假B．p且q为真

C．p或q为假D．p假q真

2．给出下列命题：

①2>

1或1>

3；

②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．

其中真命题的个数为（　　）

A．1B．2

C．3D．4

3．“p为真命题”是“p且q为真命题”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．

5．已知p：

<

0，q：

x2－4x－5<

0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．

1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．

2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤

（1）逐一判断命题p，q的真假．

（2）根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．

p且q为真⇔p和q同时为真，

p或q为真⇔p和q中至少有一个为真．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　命题③是将命题①②用“且”联结得到的．

思考2　命题③是将命题①②用“或”联结得到的．

梳理　

（1）p且q　

（2）p或q

知识点二

思考1　①是真命题；

②是真命题；

③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．

思考2　①是真命题；

②是假命题；

③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．

梳理　

（1）①真命题　假命题　②真命题　假命题　

（2）真　真　假　真　假　真　假　假

题型探究

例1　解　

（1）是p且q形式命题．

其中p：

向量有大小，q：

向量有方向．

（2）是p或q形式命题．

矩形有外接圆，q：

矩形有内切圆．

（3）是p或q形式命题．

2＝2.

跟踪训练1　解　

（1）这个命题是“p或q”形式，其中p：

3是质数，q：

3是合数．

（2）这个命题是“p且q”形式，其中p：

他是运动员，q：

他是教练员．

例2　解　

（1）p或q：

梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p且q：

梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

（2）p或q：

－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．

跟踪训练2　解　

（1）p或q：

π是无理数或e不是无理数；

π是无理数且e不是无理数；

方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；

方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；

（3）p或q：

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．

例3　解　

（1）∵p：

2，是假命题，

2＝2，是真命题，

∴命题“p或q”是真命题；

“p且q”是假命题．

（2）∵p：

∅是{0}的真子集，是真命题；

0∈∅，是假命题，

（3）∵p：

函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，是假命题，q：

方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，

∴命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题．

跟踪训练3　解　

（1）∵p真，q假，

∴“p或q”为真，“p且q”为假．

（2）∵p真，q真，

∴“p或q”为真，“p且q”为真．

（3）∵p假，q假，

∴“p或q”为假，“p且q”为假．

例4　解　由方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根，

∴

解得m>

2，

则p：

m>

2.

∵方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无解，

∴Δ＝16（m－2）2－16<

0即1<

m<

3.

则q：

1<

∵“p或q”为真，“p且q”为假，

∴p与q一真一假．

当p为真，q为假时，

得m≥3.

当p为假，q为真时，

得1<

m≤2.

综上所述，m的取值范围是

（1,2]∪[3，＋∞）．

跟踪训练4　解　∵函数y＝x2＋2（a2－a）x＋a4－2a3

＝[x＋（a2－a）]2－a2，在[－2，＋∞）上是增加的，

∴－（a2－a）≤－2，即a2－a－2≥0，

解得a≤－1或a≥2，

即p：

a≤－1或a≥2.

由不等式ax2－ax＋1>

0的解集为R，得

或a＝0，即

或a＝0，

解得0≤a<

4，∴q：

0≤a<

4.

∵p且q假，p或q真，

∴p真q假或p假q真，

即

或

∴a≤－1或a≥4或0≤a<

∴实数a的取值范围是

（－∞，－1]∪[0,2）∪[4，＋∞）．

当堂训练

1．D　2.D　3.B4．x>

5或x＝55．（－∞，－1]∪[3，＋∞）