点差法与焦点三角形.docx
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点差法与焦点三角形
北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名：
年级：
高二年级辅导科目：
数学学科教师：
授课日期
2016年1月25日
授课时段
5：
30-7：
30
授课主题
圆锥曲线综合复习
（1）基本概念回顾及焦点三角形与点差法
教学内容
一．课前回顾
二．知识梳理
知识点一：
求轨迹方程的方法
求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：
建、设、限、代、化.
①建立适当的直角坐标系；
②设动点及其他的点；
③找出满足限制条件的等式；
④将点的坐标代入等式；
⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。
知识点二：
圆锥曲线基本知识点
椭圆：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之和等于常数2，即（）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围
且
且
顶点
、
、
、
、
轴长
长轴的长短轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
焦半径
左焦半径：
右焦半径：
下焦半径：
上焦半径：
焦点三角形面积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
（焦点）弦长公式
，
双曲线：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
第一定义
到两定点的距离之差的绝对值等于常数，即（）
第二定义
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即
范围
或，
或，
顶点
、
、
轴长
实轴的长虚轴的长
对称性
关于轴、轴对称，关于原点中心对称
焦点
、
、
焦距
离心率
准线方程
渐近线方程
焦半径
在右支
在左支
在上支
在下支
焦点三角形面积
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
抛物线：
抛
物
线
定义
平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。
{=点M到直线的距离}
范围
对称性
关于轴对称
关于轴对称
焦点
（,0）
（,0）
（0,）
（0,）
焦点在对称轴上
顶点
离心率
=1
准线
方程
准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。
顶点到准线的距离
焦点到准线的距离
焦半径
焦点弦长
焦点弦的几条性质
以为直径的圆必与准线相切
若的倾斜角为，则
若的倾斜角为，则
切线
方程
知识点三：
焦点三角形
1.已知P为椭圆上的一点，是焦点，，求证：
面积是.
解：
如图，设，由椭圆的对称性，不妨设，
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．由余弦定理知：
·．①
由椭圆定义知：
②
则得．
故
．
2.已知双曲线上有一点，焦点为，且，求证：
的面积为.
知识点四：
点差法
已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：
直线和直线的斜率之积是定值.
证明设且，
则，
（1），
（2）
得：
，
，.
又，，（定值）
双曲线呢？
三．例题讲解
一、以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程.
例2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。
若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由.
二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标.
例4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程.
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程.
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.
四．总结与反思
五．课后作业
1、抛物线的准线方程是
2、方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的范围是________________
3、与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点（－3，２）的椭圆方程为_______________
4、设，则方程表示的曲线的焦点坐标是
5、抛物线上点M到焦点的距离是5，则点M的坐标
6、已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则实数_______
7、抛物线内有一点，在抛物线上找一点，使得取得最小值，则的坐标为
8、如果分别是双曲线的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且，则的周长是___________
9、若椭圆上的一点到焦点的距离，是的中点，是坐标原点，则_________
10、若直线与双曲线有一个公共点，求实数k的取值集合
11、已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则的取值范围是
12、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若，则弦长的值为 ．
13、椭圆的两个焦点为，点在椭圆上，△的面积为的正三角形，
则
14、若双曲线右支上一点到直线的距离为，则=
15、已知椭圆+y2=1.
（1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（2）过A（2，1）的直线l与椭圆相交，求l被截得的弦的中点轨迹方程；
（3）过点P且被P点平分的弦所在直线的方程
16、已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；
（3）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值.
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