中考数学分析资料隐圆最值模型Word下载.docx
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:
、4常匕二厶°
科“"
5I二舟•込厶述心
隐圆最值模型
解决隐圆最值模型问题的关键点在于：
发现和确定动点的运动轨迹。
-日•确左点的运动轨迹是一个圆，就可以利用点到圆上的最短、最长距离立理求解出最短或最长线段。
下面我们来研究一下隐圆最值问题。
隐圆最小线段、最大线段问题模型头篆号：
数学频逍
求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话題•随着直线型问題逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.
圆中的最值问题多出现在动点轨迹圆中.即动点的轨迹是一个潜在的圆。
然后在确定动点轨迹为圆后，可以依据点到圆上的聂小线段长度、最大线断线长度来进行线段最值得求解。
隐圆最值问題从整体上划分有一个基本模型，对应两个类型的题型。
基本模型：
点到圆上聂小距离、最大距藹问题。
沃条号「数学频逍
基本题型；
（1）定点定长定圆问題
（2）定线定角定圆问题
基本模型
如图1、2,平面内有一定点月和一动点几点P的运动轨谨是圆0,连结.40并延长.分别交圆于从（两点.则朋为"
的聂小仏M为〃的聂大值，即聂小值为彳％最大值为川0+半径.头.条号：
图1
阳2
例1如图3,在中，厶CE=90。
，Z.ABC=50°
将MX绕顶点「顺时针旅转，得到AA例C,只0分别長"
、MN的中点，AC=2t逹结P0,则旅转时/V长度的最大值畏（）.
（A）2亦（B）2^3（C）76（D）3
分析：
连结他，点戸是定点，点°
是动点，欲求理长度的最大值，就得知道©
的运动轨迹.
在这里，可以利用点Q是RZ4NC斜边的中点，得出（◎是定值，到定点的距离尊于宦值，由圆的定义可以联想到运动轨建是圆.
再结合基本模型，可以得出代?
长度的聂大值为POC073,所以选D.
例2（2015年宁波考纲）如图4,二次函数y=ax2+bx+c（a^O）的图象交x轴于点
心,0）,3（4,0）,交y轴于点C,过3,C»
ia,并连结AC.
（1）求二次函数的解折式和直线BC的解析式.
（2）点厂長线段上的一点，过点F作MBC内接正方形DEFG9便得边QE
头条号:
数学频道
落在工轴上，点G在％上，GF交V轴于点
①求该正方形的边长；
②将线段EF延长，交抛物线于点"
，那么点F是/〃/的中点吗?
请说明理由.
（3）在
（2）的条件下，将线段BF绕点Z?
旅转，在族转的过程中，点尸始终为（7••的中
总请直接写出线段"
的最大值.
E头条号；
图4
分析⑴二次函数解析式为"
-护+詁+2直线解析式为y=-|x+2⑵①％②不是；
（3）本题中，O是定点，P畏动点，取眈的申点K,连绪BF.PK,由题意，得PK=+bF=+^K（2J）
■7
所以P的运动轨迹是一个以K为圆心，专忝为半径的圆，所以OP的最大值为OK+泸弋炳
例3（2016年宁波考纲〉如图5,隹導廉RjMBC申，朋=BC=2.点p为萼屢
RZBC所在平面内一点.且满足巴1丄PB.則P「的取值范围为.
根据条件可知线段M〃是定值.且川〃所对的张角厶是定值.根据同弧所对的
圆周丸相等可知.动点"
的运动轨谥在过点4、b、卩三点的圆周上（不与久n
又因为上二90°
.所以皿恰好是直径。
连结（0并延长交圆。
分别为人■故"
最小，最大，所以尸c的取值范图为石一1SPCS般十I
例4（2013年武汉中考题）如图6,E、F長正方形/依（7）的边AD±
两个动点，满足AEH连结心交〃。
于点s连结处交处于点〃。
若正方形的边长为乙
衽确定动点〃的轨迹时，需要我们先去证明厶〃—9（T。
因为AEf
易证MBE=MJCF,得到少CF=MBE,由正方形对称性可知^AG=MXG,得到/DCF=ZDAG、所以厶HB=9Qo.再考虑到E、尸是边川D上两个动点，所以动点"
的轨迹是以M中点为圆心，£
曲为半径的£
圆，连接仞，故可求得M长度的最小值是75-1.
例5（2016年宁波考纲）如图7,00半径为3.RZBC的顶点R,B在G）O上.
ZB=90。
点G在0。
内，且lanJ=|,当点・4在圆上运动时，O「的最小值为（〉
4
⑷42（B）|（0幕（D>
|
D
。
是定点.「是动点，确定点c的运动轨迹是本题的难点•延长・"
•交圆于点
并延长，交圆于点F,连结皿.头条号；
因为tan/f=^,所以ZJO为定值，即ZBCfi为定值.
因为00半径为3.=S所以肋二符合定线定角定圆这种类型.故点C•的运
动轨迹是过丛c,E三点的圆弧且在Oo内部.
不妨设圆心为a,连结0占,0.0
因为Z^C£
+ZD=180°
ZOt=ZD
所以乙BCE+g=180°
易得ZO、=ZACB=ZFEB
所以A/・：
q（）为直角三角形，且tanq斗
因为0—3所以（）上丄0.0=—
44
所以最小值为OQ-OiE=g
例6（2016年宁波考纲）边长为3的等边“肚的顶点轴的正半轴上移动,
顶点〃在射线OD上移动.厶OD=30J则顶点「到原点O的最大距离为
此题戾点是点（儿动点是点C,尽管血9=3是确定的，但由于点4〃都是在动的，故确便点C的运动轨迹时难度仍较大.
不妨换个角度来希问思，正难则反，把正2BC看咸是不动的，此时平面直角坐标系在动,原点O在运动时满足ZAOB=30°
而ZAOD所对的边•也是不变的，符合定线定角定QD这种类型.所以点O的运动轨迹是过点4B.O三点的圆弧（优弧血上），取圆心E,连结Q.EB
因为ZAOB=30°
9所以ZJ£
B=60。
t
是边长为2的正三角形，CE=2爲.
连绪阳并延长，交圆子点O,此时co聂大，最大值为CE+半径=2、厅+2
从上面的几个例子中可以发现，模型中难度叔大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的巳知条件，挖掘潘在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.
e*…一•一勺2，点p是啊c
1一
深度剖析一类隐含圆的动点问题
挖掘隐含条件破解动点问题
一、动点问题中可构建圆的基本结论
1.“定线定角”隐藏着外接圆
如图1,已知线段AB二1,点C是直线AB上方的一个动点，ZACB=30°
动点C的路径是什么？
想一想:
在直线AB上方找这样的点C,能找到多少个?
把这些点连起来成的图形是怎样的图形？
通过思考可知，在直线AB上方可以找到无数个点C,耙这些点连结起来是一条圆弧.
再想一想:
如何画出弧所在的圆？
根据条件，圆周角是30°
圆心角是60°
，画等边三角形AABC就可以了.0点就是圆心，半径就是线段AB的长，可以画岀一个圆.
实际上，这个问题可以这样理解:
如图1,因为C点是动点，则A,B,C三点构成的AABC是一个动三角形，其中线段AB是立长，Z是一个泄角，且线段AB所对的角是Z.由'
‘同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”可知，点C是在AABC的外接圆上运动.画圆的关键是找圆心，左半径.因为AB是弦，00的圆心是在AB的垂直平分线上，ZC是圆周角，所以在圆中所对的圆心角ZC是60°
即ZA0B二60°
0A二0B,画等边三角形AAOB,圆的半径R二4,动点C构成O0的一段优弧，即点C的路径长就是优弧ACB的长.
变式其它条件不变，ZC的度数改为45°
60°
«
（0°
<
«
<
90°
）,求点C路径.
图2
如图2,线段AB二4是定值，当ZC=<
i时，ZC=a的大小确立，即“左线左角”，根据“同圆
或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”，可知这些问题中所求C点应在某个圆上运动.构画出圆，从
而使问题中原本隐含的条件和信息在圆中展现岀来.
2.“公共料边的直角三角形”隐藏着外接圆
如图3,已知线段AB二1,画出平而内满足ZACB二90°
的所有动点C组成的图形.
想一想，能画出的是什么图形？
经过分析思考可知，所有动点C组成的图形是圆（图4）・
图3图4
再想一想：
圆心怎么找?
半径是多少？
€）0各点都是使ZACB二90°
的点C吗？
通过画图可让我们联想到:
直径所对的圆周角是90°
直角，从而画出隐藏的圆.
再根据“90°
的圆周角所对的弦是直径”可知，AB是圆的直径，圆心是AB的中点，所以半径是2•点C在点A、点B处不能构成直角三角形，所以动点C组成的图形是除A,B两点的圆.
二、实际应用
例1如图5,在平而直角坐标系中，点0为坐标原点，A,B,C三点的坐标分别为
（73,0）,（373,0）,（0,5）,且ZADB二60°
点D在第一象限.求线段CD的最小值.
V
解如图6,由"
筋=60。
，作等腰MP3,且Z加=120。
，则P为圆心，过P点作PE丄AB于E,垂足为E・
"
（点0）/（3矗0）,
・•・E（2VI0）,PE=lP4=2PE=2,二尸（2屈1）.
•••C（0,5）,
・•・PC=7（2^）2+（5-l）2=712+16=728=2^7・当P.D.C三点共线时，CD最短.
又•・•PD=PA=2,
.CD=PC-PD=2护-2,
即CD最小值为2命-2・
注：
这道题中ZADB-600是左角，线段AB二2J3是泄线段，由基本结论可知，存在一个隐圆，圆的半径是左值，求最值的问题就转化成圆外一点到圆上一点的最值问题.
例2如图7,正方形ABCD的边长为2,P是对角线BD上的一个动点（不与B,D重合），连结AP,过点B作BH丄AP,H为垂足，连结DH,求线段DH的最小值.
解如图8,取曲的中点O,连结OH.OD,则0.4=1.
■BH丄AP;
SABH是直角三角形，
.\OH=AO=-.4B=1,
2
在RZOD中，
OZ）=Jo才+血?
=JF+2?
=.
在中，0H+DN>
0Df
二当O：
D：
H三点共线时,DH的长度最小，此时，
DH=0D-0H=后一\・
解题的关键是找到共斜边的宜角三角形隐藏的外接圆.解题中要能自己创造图形，挖掘问题本质，就能知其然，也知其所以然，从而牢固建立系统的知识体系，而且能灵活应用所学的知识解决问题.
三、反思
1.认真审题找突破口
中考试卷中常会出现动点问题，其中一类动点题，看似无圆，但其中隐藏着圆的模型•如"
左线左角”、"
有公共斜边的直角三角形”等.我们应通过去伪成真，让“圆”形显露，再利用圆的性质解决问题.
2.抓准延伸点思维持续生长
在审题时要寻找题目中的特征，挖掘隐含条件，抓准知识的延伸点，让自己的思维持续生长.平时要注意积累解题方法，它对你来说就是一种解题模式，当你碰到类似问题或求解英他问题时，就能起到指引作用.解题后要归纳、总结和反思，使思维品质不断提升.
3.找出数学模型求出正确结果
在平时的学习中，对基础知识、基本图形、基本方法、基本结论要进行深人研究，把解题的过程当作建立数学模型的过程，并在建模过程中培养自己的数学应用能力•变与不”都是相对的，变的是几何问题或图形，不变的是解题思路和数学本质•在解题过程中，要抓住图形的特点，从中发现解决该问题的数学模型，并快速求岀正确结果.
11.如图，在锐角△ABC中，AB=4,BC=5,ZACB=45•，在ZkABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点M为线段AB的中点，点N是线段A[C]上的动点，则线段MN的长度的最大值是，最小值是.
12、如图，00的半径是4站，四边形ABCD为。
0的内接矩形，AD=12,M为DC的中点，E为00上一个动点,连接DE,作DF丄DE交射线EA于F,连接MF,则MF的最大值是
如图，在RtAABC中，ZC=90%AO3,BO4,圆C的半径为2,点P是圆C上的一动点,
PE_2
PB^2
CECP1
由题可知，在CB上截取，CE=L则—ZPCB为公共角^>
ACPE^ACBP
=>
AP+—PBmin=AP+PE>
AE=,/10
CL111：
啊0的半径为「A.B为圆外两个定点』足圆上一动点•己知i-kOB.连接PA.PB,当PA»
kPB取最小值时，如何确定P点的位趕©
阿氏圆娠木模型Q
己知：
圆0的半径为nA.B为圆外两个定点』是圆上一动点。
已知-kOB,连接PA,PB,当JPA金取最小值时，如何确定P点的付胃。
如图，菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°
OA与BC相切于点E,点P是OA上的-个动点，则PB+乎PD的彊小值为•
在AABC中，ZA（B（=12,以点「为圜心，6为半径的
圆上有一个动点D・连接UKBD、CD.则2UH3BD的最小值是_・
阿氏圜解决方案，①构造母卅I似/形②刈点之.间线段般短I
75（）R（）P1
连接O化做线段OR~•连接朋二OP^Oiri
小加乙BOP：
.,）PW）rp_=1
・2
.'
勺CPR三点兀线时仃录小他为CR=^7
..1PC^PB^1{PC>
\PH）2（/\3r
四边形ABCD圧边长为4的正方形Q"
的卜径足2/为O〃匕的动点.连接PCPD,求2PD+4胆的加小值.数学大宇
阿氏闘解决方来：
①构造皓产相似加形②两点z间线毁赧短
RQKP2
做线段〃（严连接卩0而访弋
ZPRQ=/DRP:
.△/"
0s△肋/>
.攀=_1
-ID4
“”伽4心4（亍PDW）=4（/08
/.l\CP（J［点庆线时仃址小值为
正方形的边长为4、P为内切関匕的•个动点、求逅PA+PB的彊小值
止方形的边长为4.P为内切闘上的一个功点•求运PA+p£
U；
小依
或a（皿十钏丿
M；
PM比PA殴加三知A况|Q卢过型心.却
⑷讣.屁护忡耐丸.
【答案：
A]
“隐形圆”之“定角定角平分线模型”
一.模型解读
如图，已知AABC中，ZBAC=«
（建角），AD平分ZBAC,且AD=m（定值），我们把这类三角
形称为“左角立角平分线模型”，下而我们来研究一下它可能会考查哪些问题。
过D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG,且为左值;
•?
ZBAC=a为泄角，・・・ZHDG二180°
-a,
•••ZBDH+ZCDG二a,也是定角,
在AB上截取HE二CG,则厶DHE^ADGC.
•••ZBDE二ZBDH+ZCDG二a,
那么ABDE是一个左角泄髙三角形，我们可以通过研究ABDE的相关最值，来分析AABC的相关最值。
下而通过例题来说明。
二、例题分析
【例1】如图，已知/XABC中，ZBAC二60°
AD平分ZBAC,交BC于D,且AD二6,则AABC而积的最小值为_・
【简答）VZBAC=60°
AD平分ZBAC,
•••ZBAD=ZCAD=30%
过D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG=3,
.\ZBDH+ZCDG=60°
贝ijADHE^ADGC,
易证Sig~S曲龙+2S&
qg5而Sum——x3x3壬—f>
•••要使AABC面积最小，只需ABDE面积最小，
作ZXBDE的外接圆OO,过O作ON丄BE于N,连接OD,OB,OE,头莖@巧学豹学
VZBDE=60°
/.ZBOE=120°
设00的半径为r,则BE=>
/3r,ON=1/,
•••OD+ONnDH,••"
+丄r>
3f:
.r>
2,
・•・S^de=-B£
P//=ixAx3=—r>
3>
/3,•••△BDE面积的最小值为3厉，•••△ABC面积的最小值=3a/5+2x婕=12、厅.
由上题还可以看出，当"
定角定角平分线，'
的三角形面积取最小值时，它是一个等腰三角形。
【例2】如图，已知△ABC,ZBAC=120°
AD平分ZBAC,交BC于D,AD-2,求AB+AC的最小值。
【简答】•••ZBAC=120。
，AD平分ZBAC,
•••ZBAD=ZCAI>
60Q,
过D作DII丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG=,AH=AG=1,
在BA的延长线上取点N,使HN=CG,则AB+AOBH+CG+AH+AG—BN+2,
要使AB+AC最小，只需BN最小。
VZBCA=120°
AZHDG=60°
AZBDH+ZCDG=120°
•••ZBDN=ZBDI1+ZCDG-120%（则ZiBDN是一个定角定高三角形）
作△BDN的外接圆QO,过O作OM丄BN于连接OB,ON,OD,
设OB=ON=OD-r,贝lJOM=!
r,BN-J3r,
IOM+DH<
OD.A-?
•+73<
rr>
2>
/3,ABN=V3r>
6,
AAB+AC-BN+2>
8,AAB+AC的最小值为&
很明显，当AB+AC取得最小值时，AABC依然是一个等腰三角形。
头畀@巧喊学
三、实战练习
问题提出
（1）如图①，在MBC中,ZJCB=90°
/E平分ZCAB,
戏C=6,^=10,则点E到力B的距离为.
（2）如图②，在\ABC中，ZC=90°
ZJ=60°
5C=2,点D为斜边ABk一点，且ZEDF=90°
ZEDF的两边交MC于点交BC于点F,若DE二DF,求四边形DECF的面积.
（3）为了美化城市，某公园准备设计一个三角形赏花园如图③，为赏花园的大致轮廓，并将赏花园分成A5£
7儿ADFC和四边形AEDF三部分，其中在四边形AEDF区域内种植64疗平方米的牡丹，在A/JED和ADFC两区域种植薰衣草，根据设计要求：
Z^C=120%点、D、点E・点F分别在边BC、边肿和边AC±
且DE=DF,ZEDF=60。
为了节约种植成本，三角形赏花园川BC的面积是否存在最小值，若存在，请求出MBC面积的最小值：
若不存在，请说明由.
【解答】
（1）如图①中，作丄曲于H・疝®
巧学如
图①
在RtAACB中，vZC=90°
AC=6,JS=10,
ABC=V/152-^C2=>
/l02-62=8,
•・•应平分CAB,・•・Z.CAE=ZE4H,
・•・Z川CE=ZAHE=90°
A£
=AEf
.MEC=AAEH（AAS）f
/.AC=AH=69EC=EH,设EC二EH=x,
在RtAEHB中,•••EH1+BH2=BE2,
ax2+42=（8-x）2,解得x=3,・・・EH=3,故答案为3.
（2）如图②中，作DM丄BC于DNSN,连接CD.
•••ZDNC=Z.DMC=ZMCN=90°
・•・四边形DNCM是矩形，
・・・ZNDM=90°
•••ZNDM=ZEDF,
・・・ZNDF=AMDE,
•••ZDNE二DME二90°
DE=DF,:
.2NF=ADME（AAS）,
・•・DN=DM‘S^^DECF二知g'
在RtAACB中，vZJCB=90°
5C=2,
・・・AC=BCHan30°
=—,JB=2ziC=—,
33
••S*BC
殳2x迹丄2・M+~U邑DN,
23223
本题属于四边形综合题，考査了四边形的面积，全等三角形的判怎和性质，解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.学会运用“左角左角平分线”模型解题，辨别该模型与前而所学的“左角龙髙”、“左角泄中线”、“泄角泄周”等模型的区别和联系！
例k问題提出匸如图;
b左RlAASC中r也M8=90・，C8=4,
阿氏圆最值问题
=6,©
C半径为乙P
尝试解％为了無决这个问题，下面给出一种輕迦恿路：
如国2,连按CP.在“上取
点0便€0=1,则有寻=£
=¥
又•:
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