高考数学复习指数与指数函数Word文件下载.docx
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过定点（0，1），即x＝0时，y＝1
当x>
0时，y>
1；
当x<
0时，0<
y<
在（－∞，＋∞）上是增函数
在（－∞，＋∞）上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.在第一象限内，指数函数y＝ax（a>
0且a≠1）的图象越高，底数越大.
2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.
3.画指数函数y＝ax（a>
0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），.
诊断自测
1.思考辨析（在括号内打“√”或“×
”）
（1）＝－4.（ ）
（2）（－1）＝（－1）＝.（ ）
（3）函数y＝2x－1是指数函数.（ ）
（4）函数y＝ax2＋1（a>
1）的值域是（0，＋∞）.（ ）
解析
（1）由于＝＝4，故
（1）错.
（2）（－1）＝＝1，故
（2）错.
（3）由于指数函数解析式为y＝ax（a＞0，且a≠1），
故y＝2x－1不是指数函数，故（3）错.
（4）由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a.
故y＝ax2＋1（a＞1）的值域是[a，＋∞），（4）错.
答案
（1）×
（2）×
（3）×
（4）×
2.（必修1P56例6改编）若函数f（x）＝ax（a>
0，且a≠1）的图象经过，则
f（－1）＝（ ）
A.1B.2C.D.3
解析 依题意可知a2＝，解得a＝，
所以f（x）＝，所以f（－1）＝＝.
答案 C
3.（2017·
北京卷）已知函数f（x）＝3x－，则f（x）（ ）
A.是偶函数，且在R上是增函数
B.是奇函数，且在R上是增函数
C.是偶函数，且在R上是减函数
D.是奇函数，且在R上是减函数
解析 ∵函数f（x）的定义域为R，
f（－x）＝3－x－＝－3x＝－f（x），
∴函数f（x）是奇函数.
∵函数y＝在R上是减函数，
∴函数y＝－在R上是增函数.
又∵y＝3x在R上是增函数，
∴函数f（x）＝3x－在R上是增函数.
答案 B
4.设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.a<
b<
cB.a<
c<
b
C.b<
cD.b<
a
解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<
0.60.6<
0.60＝1，而c＝1.50.6>
1，∴b<
c.
5.（2018·
青岛调研）已知函数f（x）＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为（ ）
A.（0，1）B.（2，3）C.（3，2）D.（2，2）
解析 由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f
（2）＝3，即图象必过定点（2，3）.
考点一 指数幂的运算
【例1】化简下列各式：
（1）＋2－2·
－（0.01）0.5；
（2）a·
b－2·
（－3a－b－1）÷
.
解
（1）原式＝1＋×
－
＝1＋×
－＝1＋－＝.
（2）原式＝－a－b－3÷
（4a·
b－3）
＝－a－b－3÷
（ab－）＝－a－·
b－
＝－·
＝－.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：
（1）必须同底数幂相乘，指数才能相加；
（2）运算的先后顺序.
2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】化简下列各式：
（1）[（0.064）－2.5]－－π0；
（2）.
解
（1）原式＝－－1
＝－－1
＝－－1＝0.
（2）原式＝
＝a－－－·
b＋－＝.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】
（1）函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（ ）
（2）若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.
解析
（1）f（x）＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，
∴f（x）的值域为（－∞，0]，
因此排除B，C，D，只有A满足.
（2）曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：
如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].
答案
（1）A
（2）[－1，1]
规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.
【训练2】
（1）（2018·
东北三校联考）函数f（x）＝ax－1（a>
0，a≠1）的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是（ ）
A.y＝B.y＝|x－2|
C.y＝2x－1D.y＝log2（2x）
（2）（2018·
长沙一中质检）若函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.
解析
（1）由题意，得点A（1，1），将点A（1，1）代入四个选项，y＝的图象不过点A（1，1）.
（2）将函数f（x）＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.
∴当0<
2时，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）＝|2x－2|－b有两个零点.
∴b的取值范围是（0，2）.
答案
（1）A
（2）（0，2）
考点三 指数函数的性质及应用（易错警示）
【例3】
（1）（2018·
承德模拟）若函数f（x）＝的值域是，则f（x）的单调递增区间是________.
（2）下列各式比较大小正确的是（ ）
A.1.72.5>
1.73B.0.6－1>
0.62
C.0.8－0.1>
1.250.2D.1.70.3<
0.93.1
解析
（1）令g（x）＝ax2＋2x＋3，
由于f（x）的值域是，
所以g（x）的值域是[2，＋∞）.
因此有解得a＝1，
这时g（x）＝x2＋2x＋3，f（x）＝.
由于g（x）的单调递减区间是（－∞，－1]，
所以f（x）的单调递增区间是（－∞，－1].
（2）A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<
3，
∴1.72.5<
1.73，错误；
B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<
2，
∴0.6－1>
0.62，正确；
C中，∵（0.8）－1＝1.25，
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<
0.2，
∴1.250.1<
1.250.2，即0.8－0.1<
1.250.2，错误；
D中，∵1.70.3>
1,0<
0.93.1<
1，
∴1.70.3>
0.93.1，错误.故选B.
答案
（1）（－∞，－1]
（2）B
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：
（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
（2）不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.
【训练3】
（1）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为（ ）
cB.c<
C.a<
bD.c<
滁州质检）当x∈（－∞，－1]时，不等式（m2－m）·
4x－2x<
0恒成立，则实数m的取值范围是________.
解析
（1）由函数f（x）＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，所以f（x）＝2|x|－1，当x>
0时，f（x）为增函数，
log0.53＝－log23，所以log25>
|－log23|>
0，
所以b＝f（log25）>
a＝f（log0.53）>
c＝f（2m）＝f（0），
故b＞a＞c.
（2）原不等式变形为m2－m<
，
又y＝在（－∞，－1]上是减函数，知≥＝2.
故原不等式恒成立等价于m2－m<
2，解得－1<
m<
2.
答案
（1）B
（2）（－1，2）
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1.（2017·
兰州模拟）若a＝，b＝x2，c＝logx，则当x>
1时，a，b，c的大小关系是（ ）
A.c<
bB.c<
cD.a<
解析 当x>
1时，0<
a＝x<
，b＝x2>
1，c＝logx<
0，所以c<
b.
答案 A
2.（2018·
河北八所重点中学一模）设a>
0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（ ）
A.aB.aC.aD.a
解析 原式＝＝＝a.
3.（2018·
南阳、信阳等六市一模）设x>
0，且1<
bx<
ax，则（ ）
A.0<
1B.0<
1
C.1<
aD.1<
解析 ∵x>
0时，1<
bx，∴b>
1.
∵x>
0时，bx<
ax，∴x>
0时，>
∴>
1，∴a>
b，∴1<
a.
4.
函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）
A.a>
1，b<
B.a>
1，b>
C.0<
D.0<
解析 由f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<
函数f（x）＝ax－b的图象是在f（x）＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<
0.
答案 D
宝鸡调研）若函数f（x）＝a|2x－4|（a>
0，且a≠1），满足f
（1）＝，则f（x）的单调递减区间是（ ）
A.（－∞，2]B.[2，＋∞）
C.[－2，＋∞）D.（－∞，－2]
解析 由f
（1）＝，得a2＝，解得a＝或a＝－（舍去），即f（x）＝.
由于y＝|2x－4|在（－∞，2]上递减，在[2，＋∞）上递增，所以f（x）在（－∞，2]上递增，在[2，＋∞）上递减.
二、填空题
6.不等式2x2－x<
4的解集为________.
解析 ∵2x2－x<
4，∴2x2－x<
22，
∴x2－x<
2，即x2－x－2<
0，解得－1<
x<
答案 {x|－1<
2}
7.（2018·
鸡西模拟）已知函数f（x）＝ax＋b（a>
0，a≠1）的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________.
解析 若a>
1，则f（x）＝ax＋b在[－1，0]上是增函数，
∴则a－1＝0，无解.
当0<
1时，则f（x）＝ax＋b在[－1，0]上是减函数，
所以解得
因此a＋b＝－.
答案 －
8.（2018·
绵阳诊断）已知max{a，b}表示a，b两数中的最大值.若f（x）＝max{e|x|，
e|x－2|}，则f（x）的最小值为________.
解析 f（x）＝
当x≥1时，f（x）＝ex≥e（x＝1时，取等号），
1时，f（x）＝e|x－2|＝e2－x>
e，
因此x＝1时，f（x）有最小值f
（1）＝e.
答案 e
三、解答题
9.已知f（x）＝x3（a>
0，且a≠1）.
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范围，使f（x）>
0在定义域上恒成立.
解
（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，
所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}.
对于定义域内任意x，有
f（－x）＝（－x）3
＝（－x）3
＝x3＝f（x）.
∴f（x）是偶函数.
（2）由
（1）知f（x）为偶函数，∴只需讨论x>
0时的情况，
0时，要使f（x）>
0，即x3>
即＋>
0，即>
0，则ax>
又∵x>
0，∴a>
因此当a的取值范围为（1，＋∞）时，f（x）>
10.（2018·
深圳三校联考）已知函数f（x）＝，a为常数，且函数的图象过点（－1，2）.
（1）求a的值；
（2）若g（x）＝4－x－2，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值.
解
（1）由已知得＝2，解得a＝1.
（2）由
（1）知f（x）＝，
又g（x）＝f（x），则4－x－2＝，
∴－－2＝0，
令＝t，则t>
0，t2－t－2＝0，即（t－2）（t＋1）＝0，
又t>
0，故t＝2，即＝2，解得x＝－1，
故满足条件的x的值为－1.
能力提升题组
20分钟）
11.（2018·
郑州质检）设y＝f（x）在（－∞，1]上有定义，对于给定的实数K，定义fK（x）＝给出函数f（x）＝2x＋1－4x，若对于任意的x∈（－∞，1]，恒有fK（x）＝f（x），则（ ）
A.K的最大值为0B.K的最小值为0
C.K的最大值为1D.K的最小值为1
解析 对于任意的x∈（－∞，1]，恒有fK（x）＝f（x），
则f（x）≤K在（－∞，1]上恒成立，
即f（x）的最大值小于或等于K即可.
令2x＝t，则t∈（0，2]，y＝－t2＋2t＝－（t－1）2＋1，
可得y的最大值为1，故K≥1.
12.（2018·
安徽江南十校联考）函数f（x）＝x2－bx＋c满足f（x＋1）＝f（1－x），且f（0）＝3，则f（bx）与f（cx）的大小关系是________.
解析 由f（x＋1）＝f（1－x）知y＝f（x）的图象关于x＝1对称，∴b＝2.
又f（0）＝3，得c＝3.
则f（bx）＝f（2x），f（cx）＝f（3x）.
当x≥0时，3x≥2x≥1，且f（x）在[1，＋∞）上是增函数，
∴f（3x）≥f（2x）.
3x<
2x<
1，且f（x）在（－∞，1]上是减函数，∴f（3x）>
f（2x），从而有f（cx）≥f（bx）.
答案 f（cx）≥f（bx）
13.已知定义在R上的函数f（x）＝2x－，
（1）若f（x）＝，求x的值；
（2）若2tf（2t）＋mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围.
解
（1）当x<
0时，f（x）＝0，故f（x）＝无解；
当x≥0时，f（x）＝2x－，
由2x－＝，得2·
22x－3·
2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>
0，所以2x＝2，所以x＝1.
（2）当t∈[1，2]时，2t＋m≥0，
即m（22t－1）≥－（24t－1），因为22t－1>
所以m≥－（22t＋1），
因为t∈[1，2]，所以－（22t＋1）∈[－17，－5]，
故实数m的取值范围是[－5，＋∞）.
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