动态规划矩阵连乘算法Word下载.docx
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设要计算矩阵连乘乘积A1A2A3A4A5A6,其中各矩阵的维数分别是:
A1:
30*35;
A2:
35*15;
A3:
15*5;
A4:
5*10;
A5:
10*20;
A6:
20*25
递推关系:
设计算A[i:
j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。
当i=j时,A[i:
j]=Ai,因此,m[i][i]=0,i=1,2,…,n
当i<
j时,若A[i:
j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开,i<
=k<
j,则:
m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。
由于在计算是并不知道断开点k的位置,所以k还未定。
不过k的位置只有j-i个可能。
因此,k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。
综上,有递推关系如下:
构造最优解:
若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。
s[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:
j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:
k])(A[k+1:
j)。
因此,从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:
n]的最优加括号方式为(A[1:
s[1][n]])(A[s[1][n]+1:
n]),进一步递推,A[1:
s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:
s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:
s[1][s[1][n]]])。
同理可以确定A[s[1][n]+1:
n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去,最终可以确定A[1:
n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。
1、穷举法
列举出所有可能的计算次序,并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出一种数乘次数最少的计算次序。
对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序为P(n)。
每种加括号方式都可以分解为两个子矩阵的加括号问题:
(A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下:
以上递推关系说明,P(n)是随n的增长呈指数增长的。
因此,穷举法不是一个多项式时间复杂度算法。
2、重叠递归
从以上递推关系和构造最优解思路出发,即可写出有子问题重叠性的递归代码实现:
//3d1-1重叠子问题的递归最优解
//A130*35A235*15A315*5A45*10A510*20A620*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
#include"
stdafx.h"
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
constintL=7;
intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p);
//递归求最优解
voidTraceback(inti,intj,int**s);
//构造最优解
intmain()
{
intp[L]={30,35,15,5,10,20,25};
int**s=newint*[L];
for(inti=0;
i<
L;
i++)
{
s[i]=newint[L];
}
cout<
<
"
矩阵的最少计算次数为:
RecurMatrixChain(1,6,s,p)<
endl;
矩阵最优计算次序为:
Traceback(1,6,s);
return0;
}
intRecurMatrixChain(inti,intj,int**s,int*p)
if(i==j)return0;
intu=RecurMatrixChain(i,i,s,p)+RecurMatrixChain(i+1,j,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
for(intk=i+1;
k<
j;
k++)
{
intt=RecurMatrixChain(i,k,s,p)+RecurMatrixChain(k+1,j,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<
u)
{
u=t;
s[i][j]=k;
}
}
returnu;
voidTraceback(inti,intj,int**s)
if(i==j)return;
Traceback(i,s[i][j],s);
Traceback(s[i][j]+1,j,s);
MultiplyA"
"
s[i][j];
andA"
(s[i][j]+1)<
j<
1.用算法RecurMatrixChain(1,4,s,p)计算a[1:
4]的计算递归树如下图所示:
2.
3.
4.
从上图可以看出很多子问题被重复运算。
可以证明,该算法的计算时间T(n)有指数下界。
设算法中判断语句和赋值语句为常数时间,则由算法的递归部分可得关于T(n)的递归不等式:
5.
6.
用数学归纳法可以证明
,因此,算法RecurMatrixChain的计算时间也随n指数增长。
7.
3、备忘录递归算法
8.
备忘录方法用表格保存已解决的子问题答案,在下次需要解决此子问题时,只要简单查看该子问题的解答,而不必重新计算。
备忘录方法为每一个子问题建立一个记录项,初始化时,该记录项存入一个特殊的值,表示该子问题尚未求解。
在求解的过程中,对每个带求的子问题,首先查看其相应的记录项。
若记录项中存储的是初始化时存入的特殊值,则表示该问题是第一次遇到,此时计算出该子问题的解,并将其保存在相应的记录项中,以备以后查看。
若记录项中存储的已不是初始化时存入的特殊值,则表示该子问题已被计算过,相应的记录项中存储的是该子问题的解答。
此时从记录项中取出该子问题的解答即可,而不必重新计算。
//3d1-2矩阵连乘备忘录递归实现
intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p);
intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p);
int**m=newint*[L];
m[i]=newint[L];
MemoizedMatrixChain(6,m,s,p)<
intMemoizedMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p)
for(inti=1;
i<
=n;
i++)
for(intj=1;
j<
j++)
m[i][j]=0;
returnLookupChain(1,n,m,s,p);
intLookupChain(inti,intj,int**m,int**s,int*p)
if(m[i][j]>
0)
returnm[i][j];
if(i==j)
return0;
intu=LookupChain(i,i,m,s,p)+LookupChain(i+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
intt=LookupChain(i,k,m,s,p)+LookupChain(k+1,j,m,s,p)+p[i-1]*p[k]*p[j];
s[i][j]=k;
m[i][j]=u;
算法通过数组m记录子问题的最优值,m初始化为0,表明相应的子问题还没有被计算。
在调用LookupChain时,若m[i][j]>
0,则表示其中存储的是所要求子问题的计算结果,直接返回即可。
否则与直接递归算法一样递归计算,并将计算结果存入m[i][j]中返回。
备忘录算法耗时O(n^3),将直接递归算法的计算时间从2^n降至O(n^3)。
3、动态规划迭代实现
用动态规划迭代方式解决此问题,可依据其递归式自底向上的方式进行计算。
在计算过程中,保存已解决的子问题的答案。
每个子问题只计算一次,而在后面需要时只需简单检查一下,从而避免了大量的重复计算,最终得到多项式时间的算法。
//3d1-2矩阵连乘动态规划迭代实现
intMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p);
MatrixChain(6,m,s,p)<
intMatrixChain(intn,int**m,int**s,int*p)
m[i][i]=0;
for(intr=2;
r<
r++)//r为当前计算的链长(子问题规模)
for(inti=1;
=n-r+1;
i++)//n-r+1为最后一个r链的前边界
intj=i+r-1;
//计算前边界为r,链长为r的链的后边界
m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
//将链ij划分为A(i)*(A[i+1:
j])
s[i][j]=i;
for(intk=i+1;
{
//将链ij划分为(A[i:
k])*(A[k+1:
j])
intt=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(t<
m[i][j])
{
m[i][j]=t;
s[i][j]=k;
}
}
returnm[1][L-1];
上述迭代算法的运行过程如下图所示:
如图所示:
当R=2时,先迭代计算出:
m[1:
2]=m[1:
1]+m[2:
2}+p[0]*p[1]*p[2];
m[2:
3]=m[2:
2]+m[3:
3]+p[1]*p[2]*p[3];
m[3:
4]=m[3:
3]+m[4][4]+p[2]*p[3]*p[4];
m[4:
5]=m[4:
4]+m[5][5]+p[3]*p[4]*p[5];
m[5:
6]=m[5][5]+m[6][6]+p[4]*p[5]*p[6]的值;
当R=3时,迭代计算出:
3]=min(m[1:
3]+p[0]*p[1]*p[3],m[1:
3]+p[0]*p[2]*p[3]);
4]=min(m[2:
4]+p[1]*p[2]*p[4],m[2:
3]+m[4:
4]+p[1]*p[3]*p[4]);
......
6]=min(m[4:
4]+m[5:
6]+p[3]*p[4]*p[6],m[4:
5]+m[6:
6]+p[3]*p[5]*p[6]);
依次类推,根据之前计算的m值,迭代计算最优解。
与备忘录方法相比,此方法会将每个子问题计算一遍,而备忘录方法则更灵活,当子问题中的部分子问题不必求解释,用备忘录方法较有利,因为从控制结构可以看出,该方法只解那些确实需要求解的子问题