高考全国1卷理数真题以及详细解答Word文件下载.docx
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【答案】C
9耳36d27
试题分析：
由已知,,所以a11,d1月00a199d19998,故选
a19d8
C.
等差数列及其运算
【名师点睛】我们知道，等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多
元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此
可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之
有效的方法.
（4）某公司的班车在7:
00,8:
30发车，小明在7:
50至8:
30之间到达发车站乘坐班车，且到达
发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是
/a、1123
（A）3（B）2（C）3（D）4
【答案】B
【解祈】
如图所示「画岀P寸间袖：
7:
307:
407:
508:
008:
108:
208:
30
'
'
AC'
DB
小明到这的时间会随机的苇立至叱嫩肋中:
而当他的到辻时间落在线段M我础吋:
才能保证I■也等车的时间不超过1。
分钟握擔几何概型所求枫率〃盘#*.故选E.
402
几何概型
【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型，求解几何概型问题的关键是确定“测度”，常见的
测度由：
长度、面积、体积等•
22
（5）已知方程:
y1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值
mn3mn
范围是
（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3
【答案】A
试題分析二—z-4——=i表示抚曲线则w丹）1坯：
-用>
o
w+丹3wr-n'
八
■\-wrsilwS由双曲线性质知：
c1=fw2+w）+l3»
f-w|=4w;
|其中二是半焦距.\15E2<
=2^H=4,解得岡Ls吒趴故选乩
双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题学生出现，主要考查双曲线几何性质，属于基础题•注意双曲线的焦距是2c不是c,这一点易出错.
（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径•若该几何
28
体的体积是，则它的表面积是
3
（A）17（B）18（C）20（D）28
1,设球的半径为R,则V
8
7428
--R3——，解得R2,所以它的
833
该几何体直观图如图所示:
表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和
7212
S=422+322=17故选A.
84
三视图及球的表面积与体积
【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何
题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇•由三
视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键•
（7）函数y2x2ex在2,2的图像大致为
VI
V
-
z
X
/T
-I
y
l/s
■\j
函数和A用心在[-绡上是侶函数其團象关于因为=<
1所以
扌非除4A选项；
当工丘[0.2]aty=4x-€j有一事点谡为知当址（0心）时./0）为「斟当址（為2）时,乳雋为増函数.故选D
函数图像与性质
【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一
般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接
法，即由函数性质排除不符合条件的选项.
（8）若ab1，c1,则
（A）acbc（B）abcbac（C）alogbcblogac（D）logaClogbC
【答案】C【解析】
11111
用特殊值法，令a3,b2,c得3222,选项A错误,322232,选项B错
111
误,3iog2—2log32选项c正确，log3—log2~,选项d错误,故选c.
222
指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幕或对数值的大小，若幕的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.
（9）执行右面的程序框图，如果输入的x0，y1，n1,则输出x,y的值满足
（A）y2x（B）y3x（C）y4x（D）y5x
结束
当==1时，拈=0十耳“=1>
4=1不，荷足节+十工36,
w==二丄"
•二2x1二2环iSsVpf36：
并=玄工二£
+¥
二£
」二43=6満罡
丄4■■
H十*订％』输出"
专」=6:
则输出的xj的值满足v=4,故选C
iriir
程序框图与算法案例
【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大,求解此类
问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果•
（10）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知
|AB|=42,|DE|=25,则C的焦点到准线的距离为
如團谖抛物线方程为于=2四AB.DE交工轴于UF点则/C=2运:
即A点纵生标为沁„
41
则A点損坐标/―即0C=—•由勾股定理知DF1+OF1=DO1二八jOL二AO1=八即
以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性，基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的
主要原因.
（11）平面
过正方体ABCDAiBiGDi的顶点
A,I
3231
I1ACB1D1IABCDm'
CB1D1IABBAn'
//CB1D1
2233
m//m'
n//n'
m,nm'
n'
长AD,过U作D1E//B1C,连接CE,B1D1,^CE为m'
同理B1F1
成角的正弦值为
3,选A.
为n'
而BD//CE,BiFi//AB,则m'
所成的角即为A1B,BD所成的角，即为60，故m,n所
平面的截面问题，面面平行的性质定理，异面直线所成的角
6
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：
平移定角、
连线成形,解形求角、得钝求补•
（12）•已知函数f（x）sin（x+）（0，—）,x—为f（x）的零点,x—为
244
5
yf（x）图像的对称轴，且f（x）在一，单调，则的最大值为
1836
（A）11（B）9（C）7（D）5
CfftFfl
7TTT
因的零点:
兀二一为/XR團像的对称轴所臥二-（--；
=—-立即
44444
^=—r=—所加二如蛛迂宀又因为念）在信君单调时.
244U836」
竺一兰=壬乞二=兰即心£
1二由此停的最大值対y故选E
361S1223
三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查
，叙述方式新颖
，是一道考查
能力的好题•注意本题解法中用到的两个结论
①f
x
Asin
xA0,
0的单调
区间长度是半个周期；
②若fXAsin
A
0,0
的图像关于直线
Xx0对称
则f怡A或fX。
A.
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分•第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答•第（22）
题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答•二、填空题：
本大题共3小题,每小题5分
（13）设向量a=（m,1）,b=（1,2）,且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=.
【答案】2
由|abf|a|2|b|2,得ab,所以m1120,解得m2.
向量的数量积及坐标运算
【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题•解决此类问题既要准确记忆公
式，又要注意运算的准确性•本题所用到的主要公式是：
若a人，％,bX2,y2,则
abxy押2
（14）（2Xx）5的展开式中,x3的系数是•（用数字填写答案）
【答案】10
试题分析:
（2.r+^）5的展幵武通项为C；
（加）-（五），=ir=OJ:
2:
....：
.,^-5-^=3得严=4
所以上的系数是2C：
=10
考点:
二项式定理
【名师点睛】确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项TrS再确定r的值，从而确定指
定项系数•
（15）设等比数列an满足a什a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为.
【答案】64
设等比数列的公比为
q,由
a1a3
a2a4
10
得,
a,1
ag（1
q2）10
q2）5
，解得
ai
q
1n（[1）1n27n
a1a2Lana^q12L（n1）8n（—）2222汙是当n3或4时,a1a2Lan取得最大
值2664.
等比数列及其应用
高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点，在解答时要注意方程思想及数列相关性质的应
用，尽量避免小题大做•
（16）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料•生产一件产品A需要甲材料，乙材料1kg,用5个工时；
生产一件产品B需要甲材料，乙材料,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元住产一件产品B的利润为900元•该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元.
【答案】216000
[解析】I
设生产产品虫、产品倉分别为主、y件困润之和为元那么
[1.5x+0.5^150,
x40.3y<
90t
5x+3i<
600r①
二元一次不等式组①聲价于
[3x+r£
300t
10x+3j<
900.
5x+3j-^600t②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域.
liW'
J-■■-5s+3y=400
3i*}t=75M
210Vt-9（Hh-i
1訳福
将^=2100x+900y变形:
得尸—L+W,平行直知=-J当直线尸—J+丄经过点M时工3900S3POO
职得最大值.
.110x+3v-900解方程组kPEM「得3的坐标（地100）-
5jc4-3v=600
所jt=60.v=100at^M=2100x60+900x100=216000
故生产产品A.产品*的利耳吐和的最大値対216000元
线性规划的应用
【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束
条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：
纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，
解决此类问题常利用数形结合•本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误•
三•解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤•
（17）（本小题满分为12分）
ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）c.
（I）求C；
._.33
（II）若cV7，ABC的面积为，求VABC的周长.
（I）C（II）57
一1
（I）先利用正弦定理进行边角代换化简得得cosC-，故C—；
（II）根据
23
1absinC33•及C得ab6•再利用余弦定理得ab225•再根据c7
223
可得C的周长为57.
试题解析z（I）宙已舸及正弦定珅得2ccsC（UnAcosB+sinBcosA）=C
即2cG»
Csm（A4B）=smC.
®
2sitiCc&
5C=5itiC.
可得cmC二丄所以c二三.
（ID由已规丄血鈕C二ML
上上
又c=-；
s以胡=6・
r
由已知及余^定理得I用+X-3cosC=7・
越/+/=B：
M而（口+舁“5・
所CJ.AABC的周长为"
正弦定理、余弦定理及三角形面积公式
【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公
sinABsinC,cosABcosC,tanABtanC
式，，就是常用的结论，另外
利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式，常考虑对其实施“边化角”或“角化
边•”
（18）（本小题满分为12分）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,
AFD90°
且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°
•
）I）证明：
平面ABEF平面EFDC
（II）求二面角E-BC-A的余弦值.
（I）见解析（II）219
19
（D先证明A7一平面EFDC；
结合AFu平面ABEF耳得平面ABEF_平面EFDC.〔II）建
立空i司坐标系汾别求出平面向量朋及平面BCB的法向量卑：
再禾I闻心花易）二=^才二面
n|m|
龟试题解析：
（I）由已知可得FDF,FF，所以F平面FDC.
又F平面F,故平面F平面FDC.
（II）过D作DGF,垂足为0,由（I）知DG平面F.
uuum
以G为坐标原点，Gf的方向为x轴正方向，GF为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
Gxyz.
ruuu
设m是平面
CD的法向量，则muUCm
同理可取m
0,3,4•则cosn,rn
riim
219
3,0,3.
所以可取
n
垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明，空间中线面位置关系的证
明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能
力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主•第二
问一般考查角度问题，多用空间向量解决•
（19）（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一
易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元•在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元•现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整
理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表
示2台机器三年内共需更换的易损零件数，门表示购买2台机器的同时购买的易损零件数•
（I）求X的分布列；
（II）若要求P（Xn）0.5,确定n的最小值；
（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？
（I）见解析（II）19（III）n19
率，然后写出分布列；
（II）通过频率大小进行比较；
（III）分别求出n=9,n=20的期望根据n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，应选n19.
试題解析；
（I〕由柱状團并以频車代替粧率可得•一台机器在三年内需更换的易损零件数为8^10.11的机率分别为02ZX2让从而
=16）=02x0J=0.04
P（T=17）=2x0.2x0.4=0.16j
P（X=18）=2x0,2x02+0.4x0.4=024$
P（X=19）=2x0.2x0.2+2x0.4x0.2=0.24；
P（X=20）=2x0.2x0.4+0.2x（12=0.2j
P（A^21）=2xO.2xO.2=O.0Sj
P（X=2^=0.2x0.2=O.M
所以X的分布列为
16
17
18
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.2
0.08
（n）由（I）知P（X18）0.44,P（X19）0.68，故n的最小值为19.
可知当n19时所需费用的期望值小于n
20时所需费用的期望值
故应选n19.
20时,
，有一定综合性但难
概率与统计、随机变量的分布列
【名师点睛】本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查
度不是太大大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.
（20）.（本小题满分12分）设圆x2y22x150的圆心为A,直线I过点B（1,0）且与
x轴不重合，1交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E（I）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程;
（II）设点E的轨迹为曲线Ci,直线|交Ci于M,N两点,过B且与I垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
（I）Xy1（y0）（II）[12,83）
43
试题分折：
根握|恵<
|十圖冋知轨迹为椭凰刹用胸S罡义求方程；
CID分斜率罡否存在设出晝线方程兰晝
线斜率存在时设其方程为>
=昨-1}（疋壬0）系数的关系和弦长公式把面积表示为事率冷涵数
再求最值.
试题解析：
（I）因为|AD||AC|,EB//AC,故EBDACDADC,
所以|EB||ED|,故|EA||EB||EA||ED||AD|.
又圆A的标准方程为（x1）2y216,从而|AD|4,所以|EA||EB|4.
由题设得A（1,0）,B（1,0）,|AB|2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：
yk（x1）
由x2y2得（4k23）x28k2x4k2120.
——1
过点B（1,0）且与I垂直的直线m:
y
12
（x1）,A到m的距离为——2，所以
kk21
8k2
4k2
12
4k23，轨
则％x2
.故四边形MPNQ的面积
|PQ|242
4忙
可得当I与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,83）.
当I与x轴垂直时，其方程为x1,|MN|3,|PQ|8,四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为［12,83）.
圆锥曲线综合问题
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位
置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几
部分组成，•其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想
及化归思想的应用•
（21）（本小题满分12分）已知函数fxx2exax1有两个零点.
（I）求a的取值范围；
（II）设X1,X2是fx的两个零点证明：
Nx22.
（0,）
试II分析］（I〕求异，根辱函数的符号来确宗:
主娶要根將导回数零点、来分类;
（n.）ia组第一问的结论来证明:
由单调性可知期+总c2等价于/（X0一对＜0.慢g（x）--Vf--（.V-贝.
乳©
=（梵一一眄.贝而g⑴=0故当玄"
吋公（QV0.从而
賞（兀：
2—花）"
「故画+花＜21
试题解析;
（I）f'
（x）（x1）ex2a（x1）（x1）（ex2a）.
（i）设a0,则f（x）（x2）ex,f（x）只有一个零点.
（ii）设a0则当x（,1）时,f'
（x）0；
当x（1,）时,f'
（x）0.所以f（x）在（,1）上单调递减，在（1,）上单调递增.又f⑴e,f
（2）a,取b满足b0且bIna,则
a223
f（b）（b2）a（b1）2a（b2b）0,
故f（x）存在两个零点.
（iii）设a0,由f'
（x）
0得x
1或xln（2a）.
右a
e，则ln（
2a）
1，故当x
（1,）时,f'
（x）0,因此f（x）在（1,
）上单调递增•又
当x
1时,f（x）
0,所以f（x）不存在两个零点.
e
-,则ln（
1,故当x
（1,ln（2a））时,f'
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