垂直于弦的直径第一课时教学设计方案说课稿模板文档格式.docx

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理解垂径定理的关键是:

圆的轴对称性。

二、教学目标:

新课程理念下的数学教学不但是知识的教学、技能的训练,更应重视能力的培养及情感的教育,因此根据本节课教材的地位和作用,结合所教学生的特点,我确定本节课的教学目标如下:

知识目标:

使学生理解圆的轴对称性;

掌握垂径定理;

学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。

能力目标:

渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法,培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。

德育目标:

渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点,让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。

三、教学方法与教学手段:

”赐人以鱼,不如授人以渔”,最有价值的知识是关于方法的知识。

新课程理念强调我们的课程应是教师与学生共同探究新知识的过程,是以教促学,互教互学的过程,教师不但要传授知识,更要与学生一起分享对课程的理解,鉴于教材特点及所教三是知识的感教的培养及情感教育,因此确定教学目标学生的认知水平,我选用以下方法:

1．引导发现法和直观演示法。

让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流,主动参与到整个教学活动中来,组织学生参与”实验---观察---猜想---证明”的活动,最后得出定理。

2．结合数学环境,适时利用多媒体电化教学手段,帮助学生在感性认识的基础上加深对定理的理解和应用,从而获得广泛的数学经验。

四、教学过程的设计:

整个教学过程分七个环节来完成。

1、预习重现---创设情境

展示预习题目:

后勤刘师傅遇到了一件麻烦事,因为我校一处

圆形下水道破裂,她准备要换新管道,但只知道污

水水面宽为60cm,水面至管道顶部距离为10cm,你

能帮助刘师傅计算一下她应该准备内径多大的管道吗?

以我们当前所学知识你是否能够解决这个问题?

如果

不能,问题出现在哪里?

要想解决这个问题,你认为应

该有怎样的关系?

学生一般都会想到运用直角三角形的知识来解决此问题。

解直角三角形知二可解其它,因此问题在于:

不知E是否为AB中点;

C和弧AB的关系。

总结:

问题在于直径CD与弦AB有怎样的关系,与弦所正确弧又有怎样的关系?

设计意图:

让学生从实际出发,充分发现问题的存在,再带着问题去思考它们之间的关系,有助于定理的得出。

2、引入新课---揭示课题:

运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画,让学生观察猜想那些线段相等?

那些弧相等?

让学生归纳出命题,并板书:

垂直于弦的直径平分弦,而且平分弦所正确两条弧。

然后用字母表示出题设和结论。

图１

这样设计培养了学生的观察能力和归纳、概括的思维能力,并使学生领略到圆的对称美,同时发展了学生的符号感,分化了难点。

3、讲授新课---探求新知:

　　对于垂径定理的证明,我采取自主探究、合作交流的方式完成,看哪个小组证得又快、又好,记入今天的英雄榜。

最后师生共同演示、验证猜想的正确性,从而解决本节课的又一难点--定理的证明。

此时再板书垂径定理的内容。

增加学生的兴趣,使学生经过探索发现、思维碰撞,获得对数学最深切的感受,体会成功的乐趣,发展思维能力,富有成就感。

4、定理的应用:

⑴为了强调定理中的条件,进行定理变式练习。

考考你的眼力,看下列哪些图形能够用垂径定理,你能说明理由吗?

图２

⑵教师课件出示例题:

例1、在圆中已知一条弦长8cm,圆心到这条弦的距离是3cm,求圆的半径。

这是一道计算题,是垂径定理的简单应用,也是垂径定理在解题中的典型体现,学生经过探究解答之后,教师抓住机会,因势利导:

例题给了我们什么启示?

在学生发表看法的情况下总结归纳:

（1）圆中有关弦、半径的计算问题一般利用垂径定理来解决。

（2）重要的辅助线:

过圆心做弦的垂线构造直角三角形,结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。

如此设计可调动学生积极性,使其更深入地掌握定理的内涵,提高学生归纳、概括的能力。

5、巩固练习----测评反馈:

出示变式练习题:

⑴如图３,已知在⊙O中,圆心O到弦AB的距离与半径的比为3:

5,弦AB长8厘米,求半径。

（A组）

图３图4

⑵已知在⊙O中,半径的长为5厘米,弓形高（弧中点到弦的距离）为2厘米,求弦AB的长。

（B组）

⑶如图4,在⊙O中,按弦AB翻折,弧AB过圆心O,已知弦AB长8厘米,求半径。

（C组）

全班同学分层完成,每组同学完成自己题目后可做高一层的题目,做完后展示成果,最后总结口诀:

半径半弦弦心距,化为勾股最容易,另外加上弓形高,Ｒｔ三角形少不了

为了及时巩固,帮助学生对所学定理的理解与使用,讲完定理及变式后,各合作小组自己出题,由其它小组完成。

练习结束后,返回预习引例,这道开始不能完成的题目现在则能够轻易解决了。

及时完成引例,即掌握了知识,又增加了学习数学的兴趣,更让学生体会到成功的喜悦。

让学生自己出题更能让其深入理解并掌握定理的内在关系,享受到成为学习主人的快乐,既调动了学生的积极性,又增强了学生的参与意识,体现了学生的主体作用,而且学生进一步领悟到转化、类比、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用。

以上是垂径定理在计算中的基本应用方法,那么在证明题中又能怎样应用定理呢?

展示例2:

如图,已知在两同心圆⊙O中,大圆弦AB交小圆于C,D,则AC与BD间可能存在什么关系?

例2图变式1变式2

这是一道开放性题目,结论并不难猜,有例1做基础,也很好证明。

变式1,如图,若将AB向下平移,当移到过圆心时,结论AC＝BD还成立吗?

变式2,如图,连结OA,OB,设AO＝BO,求证AC＝BD

变式3,连结OC,OD,设OC＝OD,求证AC＝BD

变式3变式4

变式题组的给出,则利用几何画板的功能,展示出图形之间的内在关系,增强学生的识图能力,揭示解决问题的关键--过圆心向弦做垂线。

变式题组由A、B层学生抢答,精彩者上个人英雄榜,调动学生的积极性。

变式4,当弦AB移到与小圆只有一个交点时,AC与BC相等吗?

变式4更能引发学生思考,为直线与圆相切做好铺垫。

这是一组证明线段相等的变式题,利用几何画板的功能,展示出图形之间的内在关系,增强学生的识图能力,揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线,利用垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦这一性质来解决一系列类似问题。

出示分层训练二:

１．如图5,已知AB、CD是圆O的两条弦,OE、OF分别为AB、CD的弦心距,如果AB=CD,则可得出什么结论（至少写出两个）?

并证明。

２．已知如图6:

在⊙O中,AB、AC为互相垂直的两条相等的弦,OD⊥AB,OE⊥AC,D、E为垂足。

求证:

四边形ADOE为正方形。

３．如图7,不过圆心的直线L交⊙O于CD,AB是⊙O直径。

AE、BF分别垂直于L,垂足是E、F。

⑴求证:

CE=DF

⑵若AB与CD相交,⑴的结论还成立吗?

图5图6图7

调整难度和梯度,让所有学生均有所收获,让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。

拓展题:

（可借助计算器进行计算）

　　１．如图8,1300多年前,中国隋代建造的赵州石拱桥,的桥拱是圆弧形,她的跨度（弧所正确弦长）是37．4m,拱高（也叫弓形高）为7．2m,求桥拱的半径（精确到0．1m）。

图8

２．如图9,我校点Ｂ所在街道城隍庙街与北秀街的路口点A的夹角α为30度,我校到路口的距离为80米,北秀街上有一拖拉机D驶向路口A,它的速度为５００米/分,它发出的噪音影响它周围50米内的区域,问我校是否会受到噪音的影响,若影响到我校,会影响多长时间?

北秀街

城隍庙街

　　　　图9　　

使学有余力的同学飞得更高,视野更开阔,提高她们的转化能力,培养数学建模意识。

6、挑战自我---深化提高:

至此,估计学生基本能够掌握定理,达到预定目标,小结应基本由学生自己完成,谈谈体会、收获或不足。

教师整理:

分两层:

第一层是知识和方法的总结:

要学会把一些实际问题转化为数学问题来解决。

⑴内容:

垂径定理:

垂直于弦的直径平分弦,

而且平分弦所正确两条弧。

⑵应用:

垂径定理及推论为计算弦、半径或

证明两线段等、弧等、垂直关系开辟了新途径。

对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、

圆半径r、两弓形高h、h＇,这五个量中,

只要已知其中任意两个量,就能够求出另外

两个量,如图有:

图10

ｄ＋ｈ＝ｒ　　h＇－ｄ＝ｒ　　　

①垂径定理和勾股定理有机结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的方法,构造直角三角形;

口诀:

半径半弦弦心距,化为勾股最容易,另外加上弓形高,Ｒｔ三角形少不了。

②技巧:

重要辅助线是过圆心作弦的垂线。

重要思路:

（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程

构造Rt△的”七字口诀”:

半径半弦弦心距

⑶数学思想:

经过本节课的学习,使学生进一步掌握了数形结合、方程、转化、类比等数学思想在实际操作中的应用。

第二层是在本节课的学习中学生学习体会和感受方面的总结

让学生经过归纳探究,使知识点有机的结合在一起,培养她们思维的严谨性和深刻性,提高分析和归纳的能力。

7、布置作业

A组:

1、2、6题;

B组:

3、4、6题;

C组:

4、5、6题。

⑴”圆材埋壁”是中国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题,”今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?

”

用现在的语言表示是:

”如图11,CD为圆O的直径,弦AB垂直CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,求直径CD的长。

”

⑵如图12,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16m,拱高CD=4m,那么弓形的半径是多少米。

⑶已知:

AB和CD是⊙O内的两条平行弦,,AB=6cm,CD=8cm,⊙O的半径为5cm,

（1）请根据题意画出符合条件的图形

（2）求出AB与CD间的距离。

图11图12图3

⑷在直径为650mm的圆柱形油罐内装入一些油后,截面如图１３所示,若油面宽ＡＢ＝600mm,求油的最大深度。

⑸某地有一如图1４形状的门楼,半圆拱

的圆心距地面2m,半径1.5m,现有一辆高

2.9m、宽1.5m的集装箱卡车,能不能经过

这个门楼?

⑹①去发现身边有什么可用垂径定理来

解决的问题?

②能否形成数学问题?

　　　　　　　　　　图１４

③你会解决吗?

结合学生的实际情况,为了更好地因材施教,我的作业题分层给出,目的是调动学生学习积极性,提高学生思维的广度,培养学生良好的学习习惯及思维品质,让学有余力的学生进一步的提高。

另外,作业限时20——30分钟,减轻学生的负担,提高学习效率。

结束语:

数学来源于生活,又将服务于生活,希望同学们好好学习数学知识,将来能够更好的为社会服务,成为对国家有用的人才,体现自己的人生价值!

激发学生的求知欲望,发挥她们的主体作用和创新精神,鼓励她们向着更高的山峰攀登!

五、教学反思:

本节课力求体现使学生”学会学习,为学生终身学习做准备”的理念,努力实现学生的主体地位,使数学教学成为一种过程教学,教师要注意角色的转变,成为学生学习的组织者、参与者、合作者,教师的责任是为学生创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境,创设一种有利于思考、讨论、探索的学习氛围,根据学生的实际水平,选择恰当的教学起点和教学方法。

整堂课以思维为主线,充分利用直观教具与学具及计算机辅助教学,让学生充分参与数学学习,融基础性、灵活性、实践性、开放性于一体,经过”实验——观察——猜想——证明——应用”,使学生在获得知识的同时提高兴趣,增强信心,提高能力。

以上是我对这节课的设计说明,如有不足,请大家批评指正,谢谢!