湘教版九年级数学下册教案全册文档格式.docx
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解得
∴k＝2.
紧扣定义中的两个特征：
①二次项系数不为零；
②自变量最高次数为2.
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型三】与二次函数系数有关的计算
已知一个二次函数，当x＝0时，y＝0；
当x＝2时，y＝
当x＝－1时，y＝
.求这个二次函数中各项系数的和．
设二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．把x＝0，y＝0；
x＝2，y＝
x＝－1，y＝
分别代入函数表达式，得
所以这个二次函数的表达式为y＝
x2.所以a＋b＋c＝
＋0＋0＝
，即这个二次函数中各项系数的和为
.
涉及有关二次函数表达式的问题，所设的表达式一般是二次函数表达式的一般形式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．解决这类问题要根据x，y的对应值，列出关于字母a，b，c的方程（组），然后解方程（组），即可求得a，b，c的值．
探究点二：
建立简单的二次函数模型
一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为（x＋1）cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.
（1）写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？
（2）当x的值为2或4时，相应的剩余部分的面积是多少？
几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．
（1）y＝122－2x（x＋1），又∵2x≤12，∴0<
x≤6，即y＝－2x2－2x＋144（0<
x≤6），∴y是x的二次函数；
（2）当x＝2时，y＝－2×
22－2×
2＋144＝132，当x＝4时，y＝－2×
42－2×
4＋144＝104，∴当x＝2或4时，相应的剩余部分的面积分别为132cm2或104cm2.
二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题都可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型来解决．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题
三、板书设计
本节课是从生活实际中引出二次函数模型，从而得出二次函数的定义及一般形式，会写简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围，使学生认识到数学来源于生活，又应用于生活实际之中.
1．2 二次函数的图象与性质
第1课时 二次函数y＝ax2（a>
0）的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y＝ax2（a>
0）的图象，理解抛物线的概念；
2．掌握形如y＝ax2（a>
0）的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．（重点）
自由落体公式h＝
gt2（g为常量），h与t之间是什么关系呢？
它是什么函数？
它的图象是什么形状呢？
二次函数y＝ax2（a>
0）的图象
已知y＝（k＋2）xk2＋k是二次函数．
（1）求k的值；
（2）画出函数的图象．
根据二次函数的定义，自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k的值，从而确定表达式，画出图象．
（1）∵y＝（k＋2）xk2＋k为二次函数，∴
解得k＝1；
（2）当k＝1时，函数的表达式为y＝3x2，用描点法画出函数的图象．
列表：
x
－1
－
1
…
y＝3x2
3
描点：
（－1，3），（－
，
），（0，0），（
），（1，3）．
连线：
用光滑的曲线按x的从小到大的顺序连接各点，图象如图所示．
列表时先取原点（0，0），然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y＝ax2（a≠0）图象关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
0）的性质
已知点（－3，y1），（1，y2），（
，y3）都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________．
方法一：
把x＝－3，1，
分别代入y＝x2中，得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>
y3>
y2；
方法二：
如图，作出函数y＝x2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>
方法三：
∵该图象的对称轴为y轴，a>
0，∴在对称轴的右边，y随x的增大而增大，而点（－3，y1）关于y轴的对称点为（3，y3）．又∵3>
>
1，∴y1>
y2.
比较二次函数中函数值的大小有三种方法：
①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比较；
②图象法；
③根据函数的增减性进行比较，但当要比较的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比较．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
探究点三：
0）的图象与性质的简单应用
已知函数y＝（m＋2）xm2＋m－4是关于x的二次函数．
（1）求满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？
求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
由二次函数的定义知：
m2＋m－4＝2且m＋2≠0；
抛物线有最低点，则抛物线开口向上，即m＋2>
0.
（1）由题意得
∴当m＝2或m＝－3时，原函数为二次函数；
（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>
0，即m>
－2，∴取m＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为（0，0）．当x>
0时，y随x的增大而增大．
二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；
函数有最低点即开口向上．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2（a>
0）的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.
第2课时 二次函数y＝ax2（a<
1．会用描点法画二次函数y＝ax2（a<
0）的图象；
2．掌握形如y＝ax2（a<
上节课我们学习了a>
0时二次函数y＝ax2的图象和性质，那么当a<
0时，二次函数y＝ax2的图象和性质又会有怎样的变化呢？
二次函数y＝ax2（a<
【类型一】二次函数y＝ax2（a<
在直角坐标系内，作出函数y＝－
x2的图象．
作函数的图象采用描点法，即“列表、描点、连线”三个步骤．
2
y＝－
x2
－2
描点和连线：
画出图象在y轴右边的部分，利用对称性，画出图象在y轴左边的部分，如图．
（1）列表应以0为中心，选取x>
0的几个点求出对应的y值；
（2）描点要准；
（3）画出y轴右边的部分，利用对称性，可画出y轴左边的部分，连线要用平滑的曲线，不能是折线．
【类型二】同一坐标系中两种不同图象的判断
当ab>
0时，抛物线y＝ax2与直线y＝ax＋b在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
根据a、b的符号来确定．当a>
0时，抛物线y＝ax2的开口向上．∵ab>
0，∴b>
0.∴直线y＝ax＋b过第一、二、三象限；
当a<
0时，抛物线y＝ax2的开口向下．∵ab>
0，∴b<
0.∴直线y＝ax＋b过第二、三、四象限．故选D.
本例综合考查了一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2的图象和性质．因为在同一问题中相同字母的取值是相同的，所以应从各选项中两个函数图象所反映的a的符号是否一致入手进行分析．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题
（2015·
山西模拟）抛物线y＝－4x2不具有的性质是（ ）
A．开口向上
B．对称轴是y轴
C．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大
D．最高点是原点
此题应从二次函数的基本形式入手，它符合y＝ax2的基本形式，根据它的性质，进行解答．因为a＝－4＜0，所以图象开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴是y轴，最高点是原点．在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．故选A.
抛物线y＝ax2（a<
0）的开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．当x＝0时，图象有最高点，y有最大值0.
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】二次函数y＝ax2的开口方向、大小与系数a的关系
如图，四个二次函数图象中，分别对应：
①y＝ax2；
②y＝bx2；
③y＝cx2；
④y＝dx2，则a、b、c、d的大小关系为（ ）
A．a>
b>
c>
d
B．a>
d>
c
C．b>
a>
D．b>
答案：
A
抛物线y＝ax2的开口大小由|a|确定，|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
二次函数y＝ax2的图象与几何图形的综合应用
已知二次函数y＝ax2（a≠0）与直线y＝2x－3相交于点A（1，b），求：
（1）a，b的值；
（2）函数y＝ax2的图象的顶点M的坐标及直线与抛物线的另一个交点B的坐标；
（3）△AMB的面积．
直线与二次函数y＝ax2的图象交点坐标可利用方程求解，而求△AMB的面积，一般应画出草图进行解答．
（1）∵点A（1，b）是直线y＝2x－3与二次函数y＝ax2的图象的交点，∴点A的坐标满足二次函数和直线的关系式，
∴
（2）由
（1）知二次函数为y＝－x2，顶点M（即坐标原点）的坐标为（0，0）．
由－x2＝2x－3，解得x1＝1，x2＝－3，
∴y1＝－1，y2＝－9，
∴直线与二次函数的另一个交点B的坐标为（－3，－9）；
（3）如图所示，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C、D，根据点的坐标的意义，可知MD＝3，MC＝1，CD＝1＋3＝4，BD＝9，AC＝1，
∴S△AMB＝S梯形ABDC－S△ACM－S△BDM＝
×
（1＋9）×
4－
1×
1－
3×
9＝6.
解答此类题目，最好画出草图，利用数形结合，解答相关问题．
本节课仍然是从学生画图象着手，结合上节课y＝ax2（a＞0）的图象和性质，从而得出y＝ax2（a＜0）的图象和性质，进而得出y＝ax2（a≠0）的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯.
第3课时 二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
1．会用描点法画出y＝a（x－h）2的图象；
2．掌握形如y＝a（x－h）2的二次函数图象的性质，并会应用；
3．理解二次函数y＝a（x－h）2与y＝ax2之间的联系．（难点）
涵洞是指在公路工程建设中，为了使公路顺利通过水渠不妨碍交通，修筑于路面以下的排水孔道（过水通道），通过这种结构可以让水从公路的下面流过．如图建立直角坐标系，你能得到函数图象解析式吗？
二次函数y＝a（x－h）2的图象与性质
【类型一】y＝a（x－h）2的顶点坐标
已知抛物线y＝a（x－h）2（a≠0）的顶点坐标是（－2，0），且图象经过点（－4，2），求a，h的值．
∵抛物线y＝a（x－h）2（a≠0）的顶点坐标为（－2，0），∴h＝－2.又∵抛物线y＝a（x＋2）2经过点（－4，2），∴a（－4＋2）2＝2.∴a＝
二次函数y＝a（x－h）2的顶点坐标为（h，0）．
【类型二】二次函数y＝a（x－h）2图象的形状
顶点为（－2，0），开口方向、形状与函数y＝－
x2的图象相同的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝
（x－2）2B．y＝
（x＋2）2
C．y＝－
（x＋2）2D．y＝－
（x－2）2
因为抛物线的顶点在x轴上，所以可设该抛物线的解析式为y＝a（x－h）2（a≠0），而二次函数y＝a（x－h）2（a≠0）与y＝－
x2的图象相同，所以a＝－
，而抛物线的顶点为（－2，0），所以h＝－2，把a＝－
，h＝－2代入y＝a（x－h）2得y＝－
（x＋2）2.故选C.
决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题
【类型三】二次函数y＝a（x－h）2的增减性及最值
对于二次函数y＝9（x－1）2，下列结论正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．当x＞0时，y随x的增大而增大
C．当x＝－1时，y有最小值0
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
因为a＝9＞0，所以抛物线开口向上，且h＝1，顶点坐标为（1，0），所以当x＞1时，y随x的增大而增大．故选D.
二次函数y＝a（x－h）2图象的平移
【类型一】利用平移确定y＝a（x－h）2的解析式
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点（－1，4），求a的值和平移后的函数关系式．
y＝ax2向右平移3个单位后的关系式可表示为y＝a（x－3）2，把点（－1，4）的坐标代入即可求得a的值．
二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a（x－3）2，把x＝－1，y＝4代入，得4＝a（－1－3）2，a＝
，∴平移后二次函数关系式为y＝
（x－3）2.
根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；
若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型二】确定y＝a（x－h）2与y＝ax2的关系
向左或向右平移函数y＝－
x2的图象，能使得到的新的图象过点（－9，－8）吗？
若能，请求出平移的方向和距离；
若不能，请说明理由．
能，理由如下：
设平移后的函数为y＝－
（x－h）2，
将x＝－9，y＝－8代入得－8＝－
（－9－h）2，
所以h＝－5或h＝－13，
所以平移后的函数为y＝－
（x＋5）2或y＝－
（x＋13）2.
即抛物线的顶点坐标为（－5，0）或（－13，0），所以应向左平移5或13个单位．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题
二次函数y＝a（x－h）2与几何图形的综合
把函数y＝
x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y＝x分别相交于A、B两点（点A在点B的左边），求△ABC的面积．
利用二次函数平移规律先确定平移后的抛物线解析式，确定C点坐标，再解由所得到的二次函数解析式与y＝x组成的方程组，确定A、B两点坐标，最后求△ABC的面积．
平移后的函数为y＝
（x－4）2，顶点C的坐标为（4，0），OC＝4.
解方程组
得
或
∵点A在点B的左边，∴A（2，2），B（8，8），∴S△ABC＝S△OBC－S△OAC＝
4×
8－
2＝12.
两个函数交点的横、纵坐标与两个解析式组成的方程组的解是一致的．
通过本节学习使学生认识到y＝a（x－h）2的图象是由y＝ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y＝a（x－h）2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左、向右平移，从中领会数形结合的数学思想.
第4课时 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
1．会用描点法画出y＝a（x－h）2＋k的图象；
2．掌握形如y＝a（x－h）2＋k的二次函数的图象与性质，并会应用；
3．理解二次函数y＝a（x－h）2＋k与y＝ax2之间的联系．（难点）
前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝a（x－h）2的图象与性质的？
如何画出y＝
（x－2）2＋1的图象？
二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与性质
【类型一】二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象
已知y＝
（x－3）2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是（1，0），则另一个交点的坐标是________．
由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是（1，0），则另一个交点坐标是（5，0）．
（5，0）
【类型二】二次函数y＝a（x－h）2＋k的性质
试说明抛物线y＝2（x－1）2与y＝2（x－1）2＋5的关系．
对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大（小）值几个方面分析．
相同点：
（1）它们的形状相同，开口方向相同；
（2）它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<
1时都是左降，当x>
1时都是右升；
（3）它们都有最小值．
不同点：
（1）顶点坐标不同．y＝2（x－1）2的顶点坐标是（1，0），y＝2（x－1）2＋5的顶点坐标是（1，5）；
（2）y＝2（x－1）2的最小值是0，y＝2（x－1）2＋5的最小值是5.
对于y＝a（x－h）2＋k类抛物线，a决定开口方向；
|a|决定开口大小；
h决定对称轴；
k决定最大（小）值的数值．
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题
二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象的平移
将抛物线y＝
x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是（ ）
（x－2）2－1
B．y＝
（x－2）2＋1
C．y＝
（x＋2）2＋1
D．y＝
（x＋2）2－1
由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝
x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝
x2－1；
由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝
x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝
（x－2）2－1.故选A.
二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象与几何图形的综合
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x－h）2＋k.所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.
（1）求h，k的值；
（2）判断△ACD的形状，并说明理由．
（1）按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；
（2）分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形．
（1）∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝（x＋1）2－4，∴h＝－1，k＝－4；
（2）△ACD为直角三角形．理由如下：
由
（1）得y＝（x＋1）2－4.当y＝0时，（x＋1）2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A（－3，0），B（1，0）．当x＝0时，y＝（x＋1）2－4＝（0＋1）2－4＝－3，∴C点坐标为（0，－3）．顶点坐标为D（－1，－4）．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；
在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；
在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
通过本节学习使学生掌握二次函数y＝ax2，y＝a（x－h）2，y＝a（x－h）2＋k图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.
第5课时 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
1．会用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象；
2．会用配方法或公式法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴，并掌握其性质；
3．二次函数性质的综合应用．（难点）
火箭被竖直向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用h＝－5t2＋150t＋10表示．经过多长时间火箭达到它的最高点？
化二次函数y＝ax2＋bx＋c为y＝a（x－h）2＋k的形式
把抛物线y＝x2＋bx＋c的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式为y＝x2－3x＋5，则（ ）
A．b＝3，c＝7B．b＝6，c＝3
C．b＝－9，c＝－5D．b＝－9，c＝21
y＝x2－3x＋5化为顶点式为y＝（x－
）2＋
.将y＝（x－
向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，即为y＝x2＋bx＋c.则y＝x2＋bx＋c＝（x＋
，化简后得y＝x2＋3x＋7，即b＝3，c＝7.故选A.
二次函数由一般式化为顶点式，平移时遵循“左正右负，上正下负”，逆向推理则相反．
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质
【类型一】二次函数与一次函数图象的综合
在同一直角坐标系中，函数y＝mx＋m和函数y＝mx2＋2x＋2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A、B中由函数y＝mx＋m的图象可
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