北师大初中八年级数学上册《认识无理数》教案.docx

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北师大初中八年级数学上册《认识无理数》教案

认识无理数

第一课时

教学目标

1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.

2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出现由.

3.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.

4.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.

教学重点

1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.

2.会判断一个数是否为有理数.

教学难点

1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.

2.判断一个数是否为有理数.

教学方法

教师引导，主要由学生分组讨论得出结果.

教学过程

一、创设问题情境,引入新课

［师］同学们,我们学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢?

［生］在小学我们学过自然数、小数、分数.

［生］在初一我们还学过负数.

［师］对，我们在小学学了非负数，在初一发现数不够用了，引入了负数，即把从小学学过的正数、零扩充到有理数范围，有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢？

下面我们就来共同研究这个问题.

二、讲授新课

1.问题的提出

［师］请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀，认真讨论之后，动手剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形，好吗？

［生］好.（学生非常高兴地投入活动中）.

［师］经过大家的共同努力，每个小组都完成了任务，请各组把拼的图展示一下.

同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师.

［师］现在我们一齐把大家的做法总结一下：

下面请大家思考一个问题，假设拼成大正方形的边长为a，则a应满足什么条件呢？

［生甲］a是正方形的边长，所以a肯定是正数.

［生乙］因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积，所以根据正方形面积公式可知a2=2.

［生丙］由a2=2可判断a应是1点几.

［师］大家说得都有道理，前面我们已经总结了有理数包括整数和分数，那么a是整数吗？

a是分数吗？

请大家分组讨论后回答.

［生甲］我们组的结论是：

因为12=1，22=4，32=9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数.

［生乙］因为，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数.

［师］经过大家的讨论可知，在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数，但在现实生活中确实存在像a这样的数，由此看来，数又不够用了.

2.做一做

投影片§2.1.1A

（1）在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？

（2）设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？

b是有理数吗？

［师］请大家先回忆一下勾股定理的内容.

［生］在直角三角形中，若两条直角边长为a，b，斜边为c，则有a2+b2=c2.

［师］在这题中，两条直角边分别为1和2，斜边为b，根据勾股定理得b2=12+22，即b2=5，则b是有理数吗？

请举手回答.

［生甲］因为22=4，32=9，4＜5＜9，所以b不可能是整数.

［生乙］没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数.

［生丙］因为没有一个整数或分数的平方为5，所以5不是有理数.

［师］大家分析得很准确，像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数——无理数.关于无理数的发现是付出了昂贵的代价的.早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的，后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是我们前面谈过的a2=2中的a不是有理数.

我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的，我们一方面应积极地学习这些经验，另一方面我们也不能死搬教条，要大胆质疑，如不这样科学就会永远停留在某处而不前进，要向古希腊的希伯索斯学习，学习他为捍卫真理而勇于献身的精神.

三、课堂练习

（一）课本P35随堂练习

如图，正三角形ABC的边长为2，高为h，h可能是整数吗？

可能是分数吗？

解：

由正三角形的性质可知BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理得h2=3.h不可能是整数，也不可能是分数.

（二）补充练习

为了加固一个高2米、宽1米的大门，需要在对角线位置加固一条木板，设木板长为a米，则由勾股定理得a2=12+22，即a2=5，a的值大约是多少？

这个值可能是分数吗？

解：

a的值大约是2.2，这个值不可能是分数.

四、课堂小结

1.通过拼图活动，经历无理数产生的实际背景，让学生感受有理数又不够用了.

2.能判断一个数是否为有理数.

五、课后作业：

见作业本。

第二课时

教学目标

1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.

2.会判断一个数是有理数还是无理数.

3.借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.

4.探索无理数的定义，以及无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练大家的思维判断能力.

教学重点

1.无理数概念的探索过程.

2.用计算器进行无理数的估算.

3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.

教学难点

1.无理数概念的建立及估算.

2.用所学定义正确判断所给数的属性.

教学方法

老师指导学生探索法

教学过程

一、创设问题情境，引入新课

［师］同学们，我们在上节课了解到有理数又不够用了，并且我们还发现了一些数，如a2=2,b2=5中的a，b既不是整数，也不是分数，那么它们究竟是什么数呢？

本节课我们就来揭示它的真面目.

二、讲授新课

1.导入：

［师］请看图

大家判断一下3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？

说说你的理由.

［生］因为3个正方形的面积分别为1，2，4，而面积又等于边长的平方，所以面积大的正方形边长就大.

［师］大家能不能判断一下面积为2的正方形的边长a的大致范围呢？

［生］因为a2大于1且a2小于4，所以a大致为1点几.

［师］很好.a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？

请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究竟是几呢？

如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69，1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字.

［生］因为1.412=1.9881，1.422=2.0164，所以a应比1.41大且比1.42小，所以百分位上数字为1.

［生］因为1.4112=1.990921，1.4122=1.993744，1.4132=1.996569，1.4142=1.999396，1.4152=2.002225，所以a应比1.414大而比1.415小，即千分位上的数字为4.

［生］因为1.41422=1.99996164，1.41432=2.00024449，所以a应比1.4142大且比1.4143小，即万分位上的数字为2.

［师］大家非常聪明，请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格的形式反映出来.

［生］我的探索过程如下.

边长a

面积S

1＜a＜2

1＜S＜4

1.4＜a＜1.5

1.96＜S＜2.25

1.41＜a＜1.42

1.9881＜S＜2.0164

1.414＜a＜1.415

1.999396＜S＜2.002225

1.4142＜a＜1.4143

1.99996164＜S＜2.00024449

［师］还可以继续下去吗？

［生］可以.

［师］请大家继续探索，并判断a是有限小数吗？

［生］a=1.41421356…，还可以再继续进行，且a是一个无限不循环小数.

［师］请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.边长b会不会算到某一位时，它的平方恰好等于5？

请大家分组合作后回答.（约4分钟）

［生］b=2.236067978…，还可以再继续进行，b也是一个无限不循环小数.

［生］边长b不会算到某一位时，它的平方恰好等于5，但我不知道为什么.

［师］好.这位同学很坦诚，不会就要大胆地提出来，而不要冒充会，这样才能把知识学扎实，学透，大家应该向这位同学学习.这个问题我来回答.如果b算到某一位时，它的平方恰好等于5，即b是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是5，所以b不可能是有限小数.

2.无理数的定义

请大家把下列各数表示成小数.

3，，并看它们是有限小数还是无限小数，是循环小数还是不循环小数.大家可以每个小组计算一个数，这样可以节省时间.

［生］3=3.0，=0.8，=，

，

［生］3，是有限小数，是无限循环小数.

［师］上面这些数都是有理数，所以有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

像上面研究过的a2=2,b2=5中的a，b是无限不循环小数.

无限不循环小数叫无理数（irrationalnumber）.

除上面的a，b外，圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是一个无限不循环小数，它们都是无理数.

3.有理数与无理数的主要区别

（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.

（2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能.

4.例题讲解

下列各数中，哪些是有理数？

哪些是无理数？

3.14，－，，0.1010010001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）.

解：

有理数有3.14，－，.无理数有0.1010010001….

三、课堂练习

（一）随堂练习

下列各数中，哪些是有理数？

哪些是无理数？

0.4583，，－π，－，18.

解：

有理数有0.4583，，－，18.无理数有－π.

（二）补充练习

投影片（§2.1.2A）

判断题

（1）有理数与无理数的差都是有理数.

（2）无限小数都是无理数.

（3）无理数都是无限小数.

（4）两个无理数的和不一定是无理数.

解：

（1）错.例π－1是无理数.

（2）错.例是有理数.

（3）对.因为无理数就是无限不循环小数，所以是无限小数.

（4）对.因为两个符号相反的无理数之和是有理数.例π－π=0.

投影片（§2.1.2B）

下列各数中，哪些是有理数？

哪些是无理数？

0.351，－，3.14159，－5.2323332…，123456789101112…（由相继的正整数组成）.

解：

有理数有0.351，－，3.14159，

无理数有－5.2323332…，123456789101112….

投影片（§2.1.2C）

在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数.

［生］有理数集合填0，，－3.

无理数集合填－π，－π，0.323323332….

四、课时小结

本节课我们学习了以下内容.

1.用计算器进行无理数的估算.

2.无理数的定义.

3.判断一个数是无理数或有理数.

五、课后作业：

见作业本。