苏教版八年级数学全册知识点总结培训讲学.docx
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苏教版八年级数学全册知识点总结培训讲学
苏教版《数学》（八年级上册）知识点总结
第一章轴对称图形
第2章勾股定理与平方根
一．勾股定理
1、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即
2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系
，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：
满足
的三个正整数，称为勾股数。
二、实数的概念及分类
1、实数的分类
正有理数
有理数零有限小数和无限循环小数
实数负有理数
正无理数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数：
无限不循环小数叫做无理数。
在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：
（1）开方开不尽的数，如
等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如
+8等；
（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；
（4）某些三角函数值，如sin60o等
三、平方根、算数平方根和立方根
1、算术平方根：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
表示方法：
记作“
”，读作根号a。
性质：
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
2、平方根：
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
表示方法：
正数a的平方根记做“
”，读作“正、负根号a”。
性质：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
开平方：
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
注意
的双重非负性：
0
3、立方根
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a那么这个数x就叫做a的立方根（或三次方根）。
表示方法：
记作
性质：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：
，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
四、实数大小的比较
1、实数比较大小：
正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。
2、实数大小比较的几种常用方法
（1）数轴比较：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）求差比较：
设a、b是实数，
（3）求商比较法：
设a、b是两正实数，
（4）绝对值比较法：
设a、b是两负实数，则
。
（5）平方法：
设a、b是两负实数，则
。
五、实数的运算
（1）六种运算：
加、减、乘、除、乘方、开方
（2）实数的运算顺序
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
（3）运算律
加法交换律
加法结合律
乘法交换律
乘法结合律
乘法对加法的分配律
第三章中心对称图形
（一）
一、平移
1、定义
在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
2、性质
平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。
二、旋转
1、定义
在平面内，将一个图形绕某一定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质
旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。
三、四边形的相关概念
1、四边形
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。
2、四边形具有不稳定性
3、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形的内角和定理：
四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：
四边形的外角和等于360°。
推论：
多边形的内角和定理：
n边形的内角和等于
180°；
多边形的外角和定理：
任意多边形的外角和等于360°。
6、设多边形的边数为n，则多边形的对角线共有
条。
从n边形的一个顶点出发能引（n-3）条对角线，将n边形分成（n-2）个三角形。
四．平行四边形
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等。
（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：
（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：
夹在两条平行线间的平行线段相等。
3、平行四边形的判定
（1）定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）定理1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
（3）定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（4）定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形
（5）定理4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4、两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
5、平行四边形的面积
S平行四边形=底边长×高=ah
五、矩形
1、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质
（1）矩形的对边平行且相等
（2）矩形的四个角都是直角
（3）矩形的对角线相等且互相平分
（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。
3、矩形的判定
（1）定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
（2）定理1：
有三个角是直角的四边形是矩形
（3）定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积
S矩形=长×宽=ab
六、菱形
1、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质
（1）菱形的四条边相等，对边平行
（2）菱形的相邻的角互补，对角相等
（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3、菱形的判定
（1）定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）定理1：
四边都相等的四边形是菱形
（3）定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半
七．正方形
1、正方形的定义
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
2、正方形的性质
（1）正方形四条边都相等，对边平行
（2）正方形的四个角都是直角
（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线和对边中点连线所在的直线。
3、正方形的判定
判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：
先证它是矩形，再证它是菱形。
先证它是菱形，再证它是矩形。
4、正方形的面积
设正方形边长为a，对角线长为bS正方形=
八、梯形
（一）1、梯形的相关概念
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
2、梯形的判定
（1）定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
（二）直角梯形的定义：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：
一般梯形
梯形直角梯形
特殊梯形
等腰梯形
（三）等腰梯形
1、等腰梯形的定义
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
2、等腰梯形的性质
（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同一腰上的两个角互补。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
3、等腰梯形的判定
（1）定义：
两腰相等的梯形是等腰梯形
（2）定理：
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
（选择题和填空题可直接用）
（四）梯形的面积
（1）如图，
（2）梯形中有关图形的面积：
①
；
②
；
③
八、中心对称图形
1、定义
在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
2、性质
（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
第四章数量、位置的变化
一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。
它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：
x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。
点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当
时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
（1）、各象限内点的坐标的特征
点P（x,y）在第一象限
点P（x,y）在第二象限
点P（x,y）在第三象限
点P（x,y）在第四象限
（2）、坐标轴上的点的特征
点P（x,y）在x轴上
，x为任意实数
点P（x,y）在y轴上
，y为任意实数
点P（x,y）既在x轴上，又在y轴上
x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点
（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P（x,y）在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上
x与y相等
点P（x,y）在第二、四象限夹角平分线上
x与y互为相反数
（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）
点P与点p’关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）
点P与点p’关于原点对称
横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）
（6）、点到坐标轴及原点的距离
点P（x,y）到坐标轴及原点的距离：
（1）点P（x,y）到x轴的距离等于
（2）点P（x,y）到y轴的距离等于
（3）点P（x,y）到原点的距离等于
三、坐标变化与图形变化的规律：
坐标（x，y）的变化
图形的变化
x×a或y×a
被横向或纵向拉长（压缩）为原来的a倍
x×a，y×a
放大（缩小）为原来的a倍
x×（-1）或y×（-1）
关于y轴或x轴对称
x×（-1），y×（-1）
关于原点成中心对称
x+a或y+a
沿x轴或y轴平移a个单位
x+a，y+a
沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单
第五章一次函数
一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法
（1）关系式（解析）法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图象法
用图象表示函数关系的方法叫做图象法。
四、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：
列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：
以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：
按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
五、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成
（k，b为常数，k
0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。
特别地，当一次函数
中的b=0时（即
）（k为常数，k
0），称y是x的正比例函数。
2、一次函数的图像:
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数
的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数
的图像是经过原点（0，0）的直线。
k的符号
b的符号
函数图像
图像特征
k>0
b>0
y
x
图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。
b<0
y
0x
图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。
K<0
b>0
y
0x
图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小
b<0
y
0x
图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。
注：
当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
4、正比例函数的性质一般地，正比例函数
有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；
（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质一般地，一次函数
有下列性质：
（1）当k>0时，y随x的增大而增大
（2）当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式
（k
0）中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式
（k
0）中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
7、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：
kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：
当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．
第六章数据的集中度
1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：
平均数、众数、中位数
2、平均数
（1）平均数：
一般地，对于n个数
我们把
叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为
。
（2）加权平均数：
3、众数一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。
4、中位数一般地，将一组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
第七章一元一次不等式
1不等式：
用不等号表示不等关系的式子叫做不等式
2不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
不等式的解集：
一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。
3不等式的性质：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘（或除以）一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘（或除以）一个负数，不等号的方向改变。
4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。
但是，在不等式两边都乘（或除以）同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，要改变不等号的方向。
5用一元一次不等式解决问题步骤：
（1）审：
认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。
（2）设：
设出适当的未知数。
（3）列：
根据题中的不等关系，列出不等式。
（4）解：
解出所列不等式的解集。
（5）答：
写出答案，并检验答案是否符合题意。
6一元一次不等式组：
由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。
一元一次不等式组解决实际问题的步骤：
与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。
7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数
当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量取值的范围。
第八章分式
1分式定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式
叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母。
2分式的基本性质：
分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示就是
=
，
=
（其中M是不等于0的整式）
根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。
与异分母的分数通分类似，异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
3同分母的分式相加减：
分母不变，把分子相加减
异分母的分式相加减：
先通分，再加减。
4分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；
分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
5分式方程：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时就可以将分式方程转化为一元一次方程来解。
如果由变形后的方程求得的根不合适原方程，那么这种根叫做原方程的增根。
因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验。
有时，根据实际问题列出的分式方程虽然有解，但所求得的的解不符合实际意义，所以这个实际问题仍然无解。
第九章反比例函数
1反比例函数：
一般地，形如y=
（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数。
其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。
反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
2、一般地，反比例函数y=
（k为常数，k≠0）的图象是由两个分支组成的，是双曲线。
反比例函数y=
（k为常数，k≠0）的图象是双曲线。
当k>0时，双曲线的两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小，
当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大。
|k|的几何意义：
表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。
正比例函数
与反比例函数
中的
异号时二者的图象
无交点，同号时它们有两个关于原点对称的交点且交点坐标为
和
3反比例函数的应用
第十章图形的相似
1、比例的基本性质：
如果
=
，那么
=
如果
=
那么
=
在
=
中，我们把b叫做a和c的比例中项
2、如果
=
，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。
3相似图形：
各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
两个相似三角形对应边的比值叫做它们的相似比
类似地，如果两个边数相同的多边形的各角对应相等、各边对应成比例，那么这多边形相似。
相似多边形的对应边的比叫做相似比。
4探索三角形相似的条件
如果一个三角形的两个三角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
5相似三角形的性质
相似三角形周长的比等于相似比
相似多边形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形面积的比等于相似比的平方
相似三角形对应高的比等于相似比
相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
6图形的位似：
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心。
性质：
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离比等于相似比
位似多边形的对应边平行或共线
利用位似形可以将一个图形放大或缩小。
位似图形的中心可以在任意一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变
注意
1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形必是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。
2两个位似图形的位似中心只有一个
3两个位似图形可以位于位似中心两侧，也可能位于位似中心同侧
4位似比就是相似比
5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形位似
7相似三角形的应用
在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影
在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成比例
在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影
第十一章图形与证明
（一）
1你的判断对吗
2说理
对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义
判断某一件事情的句子叫做命题（如：
等角的余角相等是命题，而形状相同的三角形是全等三角形吗？
就不是命题，因为并没有对某一件事情作出判断）
如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题
如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题
3用推理的方法证明真命题的过程叫做证明。
经过证明的真命题称为定理
证明与图形有关的命题，一般有以下步骤：
（1）根据命题，画出图形。
（2）根据命题，结合图形，写出已知、求
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