31从算式到方程Word文件下载.docx

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3.1从算式到方程约4课时

3.2一元一次方程

（一）约4课时

3.3一元一次方程

（二）约4课时

3.4实际问题与一元一次方程约4课时

数学活动小结约2课时

复习检测约2课时

3.1从算式到方程

本节先通过一个具体行程问题。

引导学生尝试如何用算术方法解决它，然后再逐步引导学生列出含未知数的式子表示有关的量，并进一步依据相等关系列出含未知数的等式——方程．这样安排的目的在于，突出方程的根本特征．引出方程的定义，并使学生认识到从算式到方程使我们有了更有力、更方便的数学工具，从算术方法到代数方法是数学的进步．

2．经历估算求解方程的解的过程，培养估算能力，了解方程解的概念；

3．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法；

4．能结合具体例子认识一元一次方程的定义，体会设未知数、列方程的过程，会用方程表示简单实际问题的相等关系；

5．能利用等式的性质求解简单的一元一次方程，了解方程求解的过程；

6．会将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决问题，增强数学的应用意识，激发学习数学的热情．

教学重点

本节重点是对建立方程模型思想的渗透，对一元一次方程及其概念的认识，了解等式的两条性质，并利用它们讨论一些较简单的一元一次方程的解法．方程是应用广泛的数学工具，在初中数学课程中占重要地位，小学对方程有一定的感性认识，本节着重让学生从实际问题中认识到方程的概念引入的必要性，并且能设未知数、列出方程，感受建立方程模型的一般步骤，由于没有整式运算的基础，求解方程不要过多，使学生整体上把握方程建立模型的思想，更好的建立方程的概念．等式的性质是求解方程的重要依据，理解等式的性质才能进一步研究方程的求解．

教学难点

本节难点是培养由实际问题抽象出方程模型的能力，正确的设未知数，列出方程．虽然小学对方程有一定认识，但本节的问题更贴近实际，背景、数据更复杂，如何抽象出数学需要的数据以及之间的各种关系对七年级的学生有一定的难度．

教学时数

4课时．

教案A

第1课时

教学内容

3.1.1一元一次方程．

1．了解什么是方程，什么是一元一次方程．

2．体会字母表示数的好处、画示意图有利于分析问题、找相关关系是列方程的重要一步，从算式到方程是数学的一大进步．

3．通过用方程解决实际问题，总结用方程解决实际问题的一般步骤．

一元一次方程概念．

实际问题的数学化过程．

教学过程

一、设计问题导入新课

问题一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同一方向行驶，客车的行驶速度是70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地，A、B两地间的路程是多少？

教师展示问题，让学生充分发表意见，并给予肯定或帮助，对各种解法给予解释．学生可自由发表意见，或与同伴交流．

二、合作探究定义方程

如果设A，B两地相距xkm，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？

匀速运动中，时间＝路程/速度．根据问题的条件，客车和卡车从A地到B地的行驶时间，可以分别表示为

h和

h．

因为客车比卡车早1h经过B地，所以

比

小1，即．

－

＝1．①

我们已经知道，方程是含有未知数的等式，上面等式中的x是未知数，这个等式是一个方程．

通过本章的学习，我们将能够从上面的方程解出未知数的值x＝420，从而求出A、B两地间的路程为420km．

教师结合上面的过程，给出方程的定义．

列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式——方程．

这是首次出现方程的定义，这里所说的等式指其中只有一个等号的式子，等号两边分别叫做等式的左边和右边．

三、实例分析归纳总结

例根据下列问题，设未知数并列出方程：

（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

（2）一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450h？

（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？

解：

（1）设正方形的边长为xcm．

列方程

4x＝24．

（2）设x月后这台计算机的使用时间达到2450h，那么在x月里这台计算机使用了150xh．

1700＋150x＝2450．

（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x．

0.52x－（1－0.52）x＝80．

观察所列的几个方程，有什么共同点？

上面各方程都只含有一个未知数（元）,未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．

说明：

该例安排了三个实际问题，让学生设未知数、列出方程．这样安排一方面是要分散列方程这一教学难点，化整为零地培养由实际问题抽象出方程模型的能力．另一方面是由一些具体的方程归纳出一元一次方程的概念．在本节的前面部分，重点是对建立方程模型思想的渗透和对于一元一次方程及其有关概念的认识．解方程还未成为主要内容，

通过定义、举例，进一步巩固一元一次方程的概念．

归纳：

上面的分析过程可以表示如下：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．

四、小结

1．本节课学习了方程和一元一次方程．

2．还学习了将实际问题转化为数学问题的一般过程．

五、课堂练习

根据下列问题，设未知数，列出方程，并指出是不是一元一次方程：

（1）环行跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？

（2）甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各买了多少支？

学生练习，教师进行指导．

答案：

（1）设跑x周，则400x＝3000．

（2）设买甲种铅笔x支，乙种铅笔（20－x）支，则0.3x＋0.6（20－x）＝9．

六、作业

教科书第83页习题3.1第1、5、6题．

第2课时

3.1.1一元一次方程．（方程的解）

1．深化对方程的理解．

2．对例题进行深入分析，通过计算和比较，从特殊到一般，从具体到抽象地引出方程的解的概念．

3．根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．

通过具体数值的计算引出方程的解的概念的过程．

由具体、实际问题抽象出方程的解的概念．

1．我们上节课探讨了方程和一元一次方程的概念，请同学们对这两个概念复述一遍．

2．列方程的一般步骤是什么？

首先分析实际问题中的数量关系，然后设未知数，最后利用其中的相等关系列出方程．

二、师生探究归纳总结

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数．

我们通过分析实际问题中的数量关系，列出了方程，那么，这样才能求方程的解呢？

可以发现，当x＝6时，4x的值就是24，这时方程4x＝24等号左右两边相等．x＝6叫做方程4x＝24的解．这就是说，方程4x＝24中未知数x的值应是6．同样地，当x＝5时，1700＋150x的值是2450，这时方程

1700＋150x＝2450

等号左右两边相等．x＝5叫做方程1700＋150x＝2450的解．这就是说，方程

1700＋150x＝2450

中未知数x的值应是5．

解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解．

思考

x＝1000和x＝2000中哪一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？

进行这样的思考可以通过比较辨别加深对方程的解的理解．为逐步过渡到用等式性质讨论方程的解法作准备．教师可引导学生思考探究，必要时可全班进行讨论．

x＝2000是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解．

三、实例分析巩固提高

例已知某厂今年平均每月生产机器80台，比去年每月平均生产机器的1.5倍少13台，那么去年平均每月生产机器的台数为（）．

A．54.1B．138C.70D．62

分析：

我们根据前面讲到的列方程的一般步骤，首先分析实际问题中的数量关系，然后设未知数，最后利用其中的相等关系列出方程．

设去年平均每月生产机器为x台，依题意，容易想到：

一方面该厂今年平均每月生产机器的台数为80台．

另一方面，1.5x就是该厂去年每月平均生产机器台数的1.5倍．而（1.5x－13）就是该厂今年平均每月生产机器的台数．这样就得到了相等关系．

设去年平均每月生产机器为x台，依题意，有

1.5x－13＝80．

可以发现，当x＝62时，等式成立，这就是说，方程

中未知数x的值应是62．

故应选D．

例父亲今年38岁，女儿今年14岁，何时父亲的年龄是女儿年龄的7倍？

设x年后父亲的年龄是女儿年龄的7倍，那时，父亲的年龄是（38＋x）岁，女儿的年龄是（14＋x）岁，依题意列方程

38＋x＝7（14＋x）．

可以发现，当x＝－10时，等式成立，这就是说，方程

38＋x＝7（14＋x）

中未知数x的值应是－10．

这就是说，从今年起，－10年后（根据负数在这里的意义，就是10年前）父亲的年龄是女儿年龄的7倍．

答：

10年前父亲的年龄是女儿年龄的7倍．

（1）应用题要根据实际意义进行检验：

10年前，父亲28岁，女儿4岁，父亲正好是女儿年龄的7倍．

（2）在解题时，千万不要一看到负数（x＝－10）就主观地断定本题无解，而是要认真分析，结合实际情况细加研究：

父亲的年龄不会大到是女儿年龄的7倍，这种关系只有在过去才能成立．

四、练习

教科书第80页练习．

此页的练习是为使学生熟悉“分析实际问题的数量关系，设未知数，列出方程”的思考方法，同时也可以巩固和加深对一元一次方程的有关概念的理解．这里重点在于设未知数和列方程，重点在于让学生对方程是解决实际问题的重要工具有所感受，为后面的内容进行铺垫．所以不必急于让学生考虑方程的解．

五、作业

教科书第83页习题3.1第3、5、6题．

第3-4课时

3.1.2等式的性质．

1．通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法．

2．培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力，同时培养学生积极探究，勇于创新的学习态度．渗透数学来源于实践的观点．

等式的两条性质．

用等式的性质解简单方程．

一、提出问题导入新课

我们可以直接看出像4x＝24，x＋1＝3这样的简单方程的解，但是仅靠观察来解比较复杂的方程是困难的．因此，我们还要讨论怎样解方程．方程是含有未知数的等式，为了讨论解方程，我们先来看看等式有什么性质．

像m＋n＝n＋m，x＋2x＝3x，3×

3＋1＝5×

2，3x＋1＝5y这样的式子，都是等式．我们可以用a＝b表示一般的等式．

二、探究发现归纳总结

探究1

请看下图，由它你能发现什么规律？

借助天平可以加强对等式性质的直观理解．注意图中的两个方向的箭头，它们分别表示在天平两边“加”或“减”．

我们可以发现，如果在平衡的天平的两边都加（或减）同样的量，天平还保持平衡．

等式就像平衡的天平．它具有与上面的事实同样的性质．

等式的性质1

等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．

如果a＝b，那么a±

c＝b±

c．

探究2

等式的性质2

等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．

如果a＝b，那么ac＝bc；

如果a＝b（c≠0），那么

＝

．

例利用等式的性质解下列方程：

（1）x＋7＝26；

（2）－5x＝20；

（3）－

x－5＝4．

要使方程x＋7＝26转化为x＝a（常数）的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，方程两边减去7就得出的值．另两个方程也可以类似地考虑，如何转化为x＝a的形式．

（1）两边减7，得

x＋7－7＝26－7．

于是

x＝19．

（2）两边除以－5，得

x＝－4．

（3）两边加5，得

x－5＋5＝4＋5．

化简，得

x＝9．

两边乘－3，得

x＝－27．

一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等，例如，

将x＝－27代入方程－

x－5＝4的左边，得

x×

（－27）－5＝9－5＝4．

方程的左右两边相等,所以x＝－27是方程－

x－5＝4的解．

教科书第83页练习．

教科书第83页习题3.1第4、11题．

教案B

教学目标

2．通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法，感受方程是应用广泛的数学工具．

3．初步学会分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，渗透建立方程模型的思想．

4．经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决问题的创新意识，品尝成功的喜悦，增强用数学的意识，激发学习数学的热情．

1．了解什么是方程、一元一次方程．

2．分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程．

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程．

一、实例分析

问题汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地的时间分别为10:

00，13:

00，15:

00，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？

你会用算术方法解决这个实际问题吗？

不妨试试列算式．

如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？

根据题意画出示意图（示意图有助于分析问题）：

由上图可以用含x的式子表示关于路程的数量：

王家庄距青山______千米，王家庄距秀水______千米．从题意可以得出时间的数量：

从王家庄到青山行车3小时，王家庄到秀水行车5小时．据此列出方程．

设王家庄到翠湖的路程为x千米，根据汽车匀速行驶，可知各段路程的车速相等，于是列出方程

①

教师请学生思考：

在方程①中，

和

各表示什么意义？

明确：

的意义是从王家庄到青山这段路程的车速，

的意义是从王家庄到秀水这段路程的车速．

1．本节课的目的就是通过实际问题列方程，在以后的章节中，我们会学习如何解方程中的未知数x．

2．本例是实验教科书中的内容，但是作为一种对实际问题的探究，本例还是具有代表性的．教师可单独讲授此例，得出列方程的概念，也可作为对教案A的补充．

小学我们主要用算术方法解题，但有时用算术方法不容易列出来；

而方程解决问题则方便得多，以后你们自己去慢慢体会．我们在列方程是通常用x、y、z等字母表示未知数．

思考：

对于上面的问题，你能列出其他方程吗？

如果能，你依据的是哪个相等关系？

教师引导学生从其它相等关系来列方程．

王家庄到翠湖的车速与从青山到秀水的车速相等．

引出方程的概念：

像

这个等式中含有未知数，这个含有未知数的等式叫做方程．

二、深化思考

在前面学过整式、等式和方程，它们有什么区别和联系呢？

例如：

2x2＋3x；

3＋（－2）＝1；

a＋b＝b＋a；

2x－5＝65．

2x2＋3x是整式，它不含等号；

而3＋（－2）＝1，a＋b＝b＋a，2x－5＝65都是等式，因为它们都含有等号，而且等号两边是整式．

结论：

等式不一定是方程，而方程一定是等式．方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数．如3＋（－2）＝1，a＋b＝b＋a，是等式，但不是方程，因为它不含有未知数．而2x－5＝65既是等式又是方程．

三、课堂小结

列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：

设未知数——用含未知数的式子表示问题中的数量关系、找出相等关系、列出方程．

其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用．

1．通过观察，归纳一元一次方程的概念．

2．根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解．

3．通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义．

归纳一元一次方程的概念．

实际问题数学化．

一、导入新课

列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程．

二、问题探究

4x＝24．

（2）设x月后这台计算机的使用时间达到2450h，那么在x月里这台计算机使用了150xh．

（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x．

教师引导学生观察所列的几个方程，看看有什么共同点，从而得出一元一次方程的概念．

只含有一个未知数（元）,未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．

例如方程2x－3＝3x＋1，

－3＝2y等都是一元一次方程，而x＋y＝5，x2＋3x＝2都不是一元一次方程．

三、深化提高

列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数．

把x＝6这个结果代人方程4x＝24中，看一看会有什么结果？

可以发现，当x＝6时，4x的值就是24，这时方程4x＝24等号左右两边相等．x＝6叫做方程4x＝24的解．这就是说，方程4x＝24中未知数x的值应是6．同样地，当x＝5时，1700＋150x的值是2450，这时方程

1700＋150x＝2450

等号左右两边相等．x＝5叫做方程1700＋150x＝2450的解．这就是说，方程

1700＋150x＝2450

中未知数x的值应是5．

x＝1000和x＝2000中哪一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？

四、课堂练习

五、小结

这节课通过对实际问题的分析，得到一元一次方程、方程的解的概念：

只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；

教科书第83~84页习题3.1第4、11题．

第3课时

一、复习导入

教师在上课开始时，给出如下的数学关系：

1＋2＝3；

3x＝5；

6＝2×

3；

S＝ab；

4＋x＝7．

观察上面式子，它们表示了什么关系？

由学生回答“相等关系”后引出等式的概念和等式的含义，分清等式的左