最新沪科版数学八年级下册19章整合提升试题及答案Word格式.docx
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矩形中的动点问题
2．已知，在矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD，BC于点E，F，垂足为O.
（1）如图①，连接AF，CE，试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
（2）如图②，动点P，Q分别从A，C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，当以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
菱形中的动点问题
3．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°
，动点E在边BC上，动点F在边CD上．
（1）如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°
，求证：
BE＝DF；
（2）如图②，若∠EAF＝60°
△AEF是等边三角形．
正方形中的动点问题
4．如图，正方形ABCD的边长为8cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．
专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型
本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．
特殊平行四边形中的折叠问题
1．如图，将一张长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（图③中的虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）
A．10cm2B．20cm2
C．40cm2D．80cm2
2．（中考·
泰安）如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB＝6，BC＝4
，则FD的长为（ ）
A．2B．4C.
D．2
3．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF的大小为（ ）
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
特殊平行四边形中的动点问题
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°
，AC＝60cm，∠A＝60°
.点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0≤t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.若四边形AEFD为菱形，则t的值为（ ）
A．5B．10
C．15D．20
5．如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E.若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是（ ）
A．2B．4C．2
D．4
特殊平行四边形中的中点四边形问题
6．如图，在四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是（ ）
①四边形A4B4C4D4是菱形；
②四边形A3B3C3D3是矩形；
③四边形A7B7C7D7的周长为
；
④四边形AnBnCnDn的面积为
.
A．①②③B．②③④
C．①③④D．①②③④
广安）如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6cm，∠ABC＝60°
，则四边形EFGH的面积为________．
（第8题）
特殊平行四边形中的图形变换问题
8．（中考·
枣庄）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°
得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（ ）
A.
B.
C.
－1D．1＋
9．如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F.
AF－BF＝EF；
（2）将△ABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记此时点F的对应点为点F′，若正方形ABCD的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离．
（第9题）
灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明
10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.
△BEC≌△DFA；
（2）连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．
（第10题）
11．（中考·
漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.
四边形DEFG为菱形；
（2）若CD＝8，CF＝4，求
的值．
（第11题）
12．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.
AF＝BE.
（2）如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？
并说明理由．
（第12题）
专训4.全章热门考点整合应用
本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似（以后学到）、函数知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：
一个性质，两个定理，四个图形，三个技巧，三种思想．
一个性质——直角三角形斜边上的中线性质
1．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．求证：
（1）四边形ADEF是平行四边形；
（2）∠DHF＝∠DEF.
（第1题）
两个定理
三角形的中位线定理
2．如图，已知在四边形ABCD中，AD＝BC且AC⊥BD，点E，F，G，H，P，Q分别是AB，BC，CD，DA，AC，BD的中点．
求证：
（1）四边形EFGH是矩形；
（2）四边形EQGP是菱形．
（第2题）
多边形的内角和与外角和定理
3．如果一个多边形的内角和等于1260°
，那么这个多边形的边数为（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．如图，一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°
的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
5．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于________度．
6．如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左转40°
，再沿直线前进8米，又左转40°
，照这样走下去，他第一次回到出发点A时：
（1）整个行走路线是什么图形？
（2）一共走了多少米？
四个图形
平行四边形
7．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.
△ABE≌△CDF；
（2）若M，N分别是BE，DF的中点，连接MF，EN，试判断四边形MFNE是什么特殊的四边形，并证明你的结论．
（第7题）
矩形
8．如图，在▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E，F.
△AOE≌△COF.
（2）连接EC，AF，则EF与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是矩形？
请说明理由．
（第8题）
菱形
9．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F.
四边形DBFE是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？
为什么？
（第9题）
正方形
10．（中考·
甘孜州）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：
①AF＝DE；
②AF⊥DE成立．试探究下列问题：
（1）如图①，若点E不是边BC的中点，点F不是边CD的中点，且CE＝DF，上述结论①，②是否仍然成立？
（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）
（2）如图②，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE＝DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；
若不成立，请说明理由．
（3）如图③，在
（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并说明理由．
11．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°
，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°
后至△DBE，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.
（1）判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；
（2）连接CG，求证：
四边形CBEG是正方形．
三个技巧
解与四边形有关的折叠问题的技巧（轴对称变换法）
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5，点E，F分别在AB，CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，求阴影部分图形的周长．
解与四边形有关的旋转问题的技巧（特殊位置法）
13．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？
（第13题）
解与四边形有关的动态问题的技巧（固定位置法）
14．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥AD于F.
（1）求对角线AC的长及菱形ABCD的面积．
（2）如图①，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？
（3）如图②，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？
若不变，请说明理由；
若变化，请探究OE，OF之间的数量关系，并说明理由．
（第14题）
三种思想
方程思想
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD交DC的延长线于点F，AE＝4cm，AF＝5cm，四边形ABCD的周长为36cm.求AB，BC的长．
（第15题）
16．如图，在矩形纸片ABCD中，AC，BD相交于点O，AD∶AB＝1∶2，AC＝
，将纸片折叠使点B与点D重合，求折叠后纸片重合部分的面积．
（第16题）
转化思想
17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD于点E，交BC于点F，若▱ABCD的面积为30cm2，求阴影部分的面积．
（第17题）
分类讨论思想
18．已知四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的度数．
答案
1．12
点拨：
如图，设AE，BC的交点为O，连接BE，已知O是BC的中点．∵在△ABC和△CDA中，AB＝CD，BC＝DA，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，则△ABC≌△CEA，∴∠ACB＝∠CAE，同时，BC＝AE，即在四边形ABEC中，两条对角线相等．∵在△AOC中，∠ACB＝∠CAE，∴AO＝OC，易得O是AE的中点．∴四边形ABEC是矩形，在Rt△AEC中，CE＝AB＝6，AE＝AD＝8，由勾股定理得AC＝
＝
＝2
∴▱ABCD的面积＝AB·
AC＝6×
2
＝12
2．解：
设AE与BC相交于点F，如图．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠3.
∵平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，
∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC＝FA.
∵F为BC边的中点，BC＝6，∴AF＝CF＝BF＝
×
6＝3.
又∵AB＝3，∴△ABF是等边三角形．∴∠B＝60°
3．
（1）证明：
由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC.∴EG＝CH.
（2）解：
∵∠ADE＝45°
，∠FGE＝∠A＝90°
，AF＝
，
∴DG＝
，DF＝2.∴AD＝2＋
如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠2＋∠4＝90°
，∠1＋∠3＝90°
∵∠1＋∠AFE＝90°
，∴∠3＝∠AFE.
又∵∠A＝∠B＝90°
，由
（1）知，AE＝BC，∴△EFA≌△CEB.
∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋
＋
＝2＋2
4．C
5．解：
如图，连接BD，AC.
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
∵∠BAD＝120°
，∴∠BAC＝60°
.∴∠ABO＝90°
－60°
＝30°
∵∠AOB＝90°
，∴AO＝
AB＝
2＝1.
由勾股定理，得BO＝DO＝
∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF⊥AC，EF平分AO.
∵AC⊥BD，∴EF∥BD，易得EF为△ABD的中位线，
∴EF＝
BD＝
（
）＝
6．13 点拨：
如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，
∴∠C＝∠BNG＝90°
，∴∠BGN＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝
＝13.
7．
（1）证明：
∵PE＝BE，∴∠EBP＝∠EPB.
又∵∠EPH＝∠EBC＝90°
，∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP，
即∠BPH＝∠PBC.
又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，∴∠APB＝∠BPH.
△PDH的周长不变且为定值8.
证明如下：
过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图．由
（1）知∠APB＝∠BPH，
又∵∠A＝∠BQP＝90°
，BP＝BP，∴△ABP≌△QBP.
∴AP＝QP，AB＝BQ.又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.
又∵∠C＝∠BQH＝90°
，BH＝BH，
∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.
∴△PDH的周长为：
PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.
1．解：
AE＝CF，AE∥CF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠ABE＝∠CDF.
在△ABE和△CDF中，∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF.∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.
∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°
∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF.
（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.
∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.
∵EF垂直平分AC，垂足为O，∴OA＝OC.
∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF.∴四边形AFCE为平行四边形．
又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形．
设AF＝CF＝xcm，则BF＝（8－x）cm，
在Rt△ABF中，AB＝4cm，由勾股定理得42＋（8－x）2＝x2，解得x＝5.
∴AF＝5cm.
（2）显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；
同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5cm/s，点Q的速度为4cm/s，运动时间为ts，
∴PC＝5tcm，QA＝（12－4t）cm.∴5t＝12－4t，解得t＝
∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝
3．证明：
（1）连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°
，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°
－∠B＝120°
.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°
，∴∠FEC＝90°
－∠AEF＝30°
.∴∠CFE＝180°
－∠FEC－∠BCD＝180°
－30°
－120°
.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.
（2）连接AC.由
（1）知△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°
又∵∠EAF＝60°
，∴∠BAE＝∠CAF.
∵∠BCD＝120°
，∠ACB＝60°
∴∠ACF＝60°
＝∠B.
∴△ABE≌△ACF.
∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．
（第3题）
4．
（1）证明：
如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°
，AB＝BC＝CD＝AD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.
∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH.∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1＋∠3＝90°
，∠1＝∠2，∴∠2＋∠3＝90°
.∴∠HEF＝90°
∴四边形EFGH为正方形．
直线EG经过一个定点．理由如下：
如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．
∵BE綊DG，∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．∴BO＝OD.∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
1．A 2.B 3.C
4．B 点拨：
在△DFC中，∠DFC＝90°
，∠C＝30°
，DC＝4tcm，所以DF＝2tcm.又因为AE＝2tcm，所以AE＝DF.因为AE∥DF，所以可推出四边形AEFD为平行四边形．令AE＝AD，则60－4t＝2t.解得t＝10.所以当t＝10时，四边形AEFD为菱形．
5．C 点拨：
连接BD交AC于点O，由图可知，DQ＋PQ的最小值即为DO的长，由正方形的边长为4可知，DO的长为2
，所以DQ＋PQ的最小值为2
6．A
7．9
cm2 点拨：
连接AC，BD，设AC，BD相交于点O，如图，
易知，四边形EFGH是矩形．
由四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°
可得∠ABO＝30°
又∵∠AOB＝90°
AB＝3cm.
∴AC＝6cm.
在Rt△AOB中，OB＝
＝3
（cm），
∴BD＝6
cm.
∵EH＝
BD，EF＝
AC，∴EH＝3
cm，EF＝3cm.
∴矩形EFGH的面积＝EF·
EH＝3×
3
＝9
（cm2）．
8．C
9．
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAG＋∠EAD＝90°
∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°
∴∠EAD＋∠ADE＝90°
.∴∠ADE＝∠BAF.
又∵BF∥DE，∴∠AFB＝∠DEG＝90°
在△AED和△BFA中，
∵
∴△AED≌△BFA（AAS）．
∴BF＝AE.∵AF－AE＝EF，∴AF－BF＝EF.
如图，由题意知将△ABF绕A点旋转得到△ADF′，B与D重合，连接F′E，由
（1）易得DE＝AF.
根据题意知：
∠FAF′＝90°
，DE＝AF＝AF′，
∴∠F′AE＝∠AED＝90°
即∠F′AE＋∠AED＝180°
∴AF′∥ED.
∴四边形AEDF′为平行四边形．
又∠AED＝90°
，∴四边形AEDF′是矩形．
∵AD＝3，∴EF′＝AD＝3.
10．
（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝AD.∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝DF.∴△BEC≌△DFA（SAS）．
四边形AECF是矩形，理由：
∵AE＝
AB，CF＝
CD，AB＝CD，∴AE＝CF.
∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．
当CA＝CB时，CE⊥AB，∴∠AEC＝90°
∴四边形AECF是矩形．
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