数列复习课2课时教师.docx
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数列复习课2课时教师
第15、16课时数列复习课（2课时）
一、
二、数列知识回顾
（一）数列的概念
数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。
数列的通项公式。
求数列通项公式的一个重要方法：
对于任一数列
其通项
和它的前n项和
之间的关系是
（二）等差数列和等比数列
1.等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质
等差数列
等比数列
定义
通项公式
=
+（n-1）d=
+（n-k）d=
+
-d
求和公式
中项公式
A=
推广：
2
=
。
推广：
性质
1
若m+n=p+q则
若m+n=p+q，则
。
2
若
成A.P（其中
）则
也为A.P。
若
成等比数列（其中
），则
成等比数列。
3
成等差数列。
成等比数列。
4
2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
（1）定义法:
对于n≥2的任意自然数,验证
为同一常数。
（2）通项公式法。
（3）中项公式法:
验证
都成立。
3.在等差数列｛
｝中,有关Sn的最值问题：
（1）当
>0,d<0时，满足
的项数m使得
取最大值。
（2）当
<0,d>0时，满足
的项数m使得
取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
（三）、数列求和的常用方法：
公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于
其中{
}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于
其中{
}是等差数列，
是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法。
5.常用结论
1）:
1+2+3+...+n=
2）1+3+5+...+（2n-1）=
3）
4）
5）
6）
【精典范例】
一函数方程思想在研究数列问题中的运用
函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：
数列的通项公式及前n项和公式都是关于n的函数，当d≠0时，等差数列的通项是关于n的一次函数，前n项和是关于n的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n项和公式都与指数函数有关。
在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。
因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。
例1
（1）首项为正数的等差数列｛a
｝，其中S
=S
，问此数列前几项和最大？
（2）等差数列｛a
｝中，S
=100，S
=300，求S
。
（3）等差数列的公差不为0，a
=15,a
a
a
成等比数列，求S
。
分析
（1）等差数列前n项和S
=
n
+（a
－
）n（d≠0）是关于n的二次函数且常数项为0，故可设S
=An
+B
运用配方法求最值；
（2）由S
=An
+B
及S
=100，S
=300，求出A、B后再求S
。
（3）求S
的关键，在于求a
由a
=dn+（a
－d）（d≠0）知，它是关于n的一次函数，故可设a
=An+B，由条件列出方程组求A、B。
【解】
（1）设S
=An
+B
（A≠0），
∵S
=S
，
∴9A+3B=121A+11B，即14A+B=0。
又∵S
=An
+B
=A（n+
）
－
∴当n=－
=7时，S
有最大值S
。
另解由S
=S
，得a
+a
+a
+a
+a
+a
+a
+a
=0,
又∵a
+a
=a
+a
=a
+a
=a
+a
∴4（a
+a
）=0,a
+a
=0.
由于a
＞0,据题意知a
=－a
＞0，a
＜0
因此，前7项和最大。
（2）设S
=An
+Bn（A≠0）
∵S
=100，S
=300,
∴
∴S
=900×
+30×5=600。
另解∵S
=100，S
=300，又S
，S
－S
，S
－S
成等差数列。
∴S
－S
=2（S
－S
）－S
∴S
=600
（3）设a
=An+B（A≠0）
∵a
=15,a
=a
·a
∴
∴
a
=2n－1
∴S
=（2×1－1）+（2×2－1）+…+（2×n－1）
=2×（1+2+…+n）－n
=n（n+1）－n=n
.
评析从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。
二求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。
1.观察法
观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。
例2写出下面各数列的一个通项公式
（1）
，
…；
（2）1，－
…；
（3）
…；
（4）21，203，2005，20007，…；
（5）0.2,0.22,0.222,0.2222,…；
（6）1，0，1，0，…；
（7）1，
…
【解】
（1）注意各项的分子分别是1
，2
，3
，4
，…，分母比分子大1，
∴数列的通项公式为a
=
.
（2）奇数项为正，偶然项为负，各项分母可看作2
－1=1，2
－1=3，2
－1=7，2
－1=15，2
－1=31，…，各项分子均为1。
∴数列的通项公式为a
=（－1）
·
（3）各项的分母分别是2
，2
，2
，2
，…分子比分母小1。
∴数列的通项公式为a
=
（4）各项可看作21=2×10+1203=2×100+32005=2×1000+5
20007=2×10000+7，
∴数列的通项公式为a
=2×10
+（2n－1）.
（5）把各项适当变形0.2=2×0.1=
×0.9=
×（1－
）,0.22=2×0.11=
×0.99=
×（1－
）,0.222=
×（1－
）,0.222=
×（1－
）,…，
∴数列的通项公式为a
=
·（1－
）。
（6）奇数项皆为1，偶然项为0，
∴数列的通项公式为a
=
（7）各项可看作1=1+0，
=
+1，
=
+0，
=
+1，
=
+0，
=
+1，…，∴数列的通项公式为a
=
+
.
评析用观察法写数列的通项公式，一般考虑如下几点：
（1）观察数列各项符号变化，考虑通项公式中是否有（－1）
或者（－1）
部分，如本例中
（2），（6），（7）也有所涉及。
（2）分解分子分母的因数（式），考虑其变化规律与序号的关系，应注意根据某些变化规律较明显的项，“猜”出某些因式约分后规律表现得不那么明显的项，同时要特别注意等差，等比关系，如本例
（2），（3），（4）等。
（3）考虑分子、分母与一些特殊数列如2
，3
，n
n
等的关系，如本例
（1），
（2），（3）等。
2.已知S
求a
或已知S
与a
的关系求a
已知数列｛a
｝的前n项和S
求a
时，要注意运用a
和S
的关系，即
例3已知下列各数列｛a
｝的前n项和S
的公式，求｛a
｝的通项公式。
（1）S
=10
－1；
（2）S
=10
+1；
【解】
（1）当n=1时，a
=S
=9,
当n≥2时，a
=S
－S
=（10
－1）－（10
－1）=10
－10
=9·10
，
且n=1时，a
=9也适合上式，∴a
=9·10
（n
）.
（2）当n=1时，a
=S
=10
+1=11,
当n≥2时，a
=S
－S
=（10
+1）－（10
+1）=9·10
，
而n=1时，a
=11，不适合上式，
∴
评析已知｛a
｝的前n项和S
求a
时应注意以下三点：
（1）应重视分类类讨论的应用，要先分n=1和n≥2两种情况讨论，特别注意由S
－S
=a
推导的通项a
中的n≥2。
（2）
由S
－S
=a
，推得的a
且当n=1时，a
也适合“a
式”，则需统一“合写”。
（3）由S
－S
=a
推得的a
，当n=1时，a
不适合“a
式”，则数列的通项应分段表示（“分号”），即
如本例中
（2），（3）。
请观察本例中
（1）与
（2）的差异及联系。
3.累差法
若数列｛a
｝满足a
－a
=f（n）（n
）,其中｛f（n）｝是易求和数列，那么可用累差法求a
。
（请你复习求等差数列通项公式的部分）
例4求数列1，3，7，13，21，…的一个通项公式。
【解】∵a
－a
=3－1=2,
a
－a
=7－3=4,
a
－a
=13－7=6,
…
a
－a
=2（n－1）
以上n－1个等式左右两边分别相加，得
a
－a
=2[1+2+3+…+（n－1）]=（n－1）n，
∴a
=n
－n+1.
且n=1时，a
=1适合上式。
∴a
=n
－n+1.
评析我们应验证n=1时a
=1适合a
=n
－n+1式，这是什么原因。
4.累商法
若数列｛a
｝满足
=f（n）（n
）,其中数列｛f（n）｝前n项积可求，则可用累商法求a
.
例5在数列｛a
｝中，a
=2，a
=
a
求通项a
。
【解】∵a
=2，a
=
a
∴
=
，
=
，
……
=
。
以上n－1个等式左右两边分别相乘得
=n,a
=2n.
且n=1时，a
=2也适合上式。
∴a
=2n.
5.构造法
直接求通项a
较难求，可以通过整理变形等，从中构造出一个等差或等比数列，从而将问题转化为较易求解的问题，进一步求出通项a
。
例6各项非零的数列｛a
｝，首项a
=1,且2S
=2a
S
－a
n≥2,求数列的通项a
。
【解】∵a
=1，2S
=2a
S
－a
n≥2,又a
=S
－S
.
∴2S
=2S
－2S
S
－S
+S
，
∴
－
=2（n≥2）（怎么得到的？
）
∴数列｛
｝是以
=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴
=1+（n－1）·2=2n－1,S
=
.
∴a
=S
－S
=
－
=
（n≥2）
又a
=S
=1,不适合上式，
∴
有些求通项的题目可能要综合应用几种方法和技巧；当然了，有些题可能有多种解法。
评析构造法解决问题希大家尽量掌握，这对于提高我们的数学素质大有帮助。
注意求数列通项公式的问题是最为常见的试题，特别要注意已知S
求a
的问题。
三数列求和
数列求和是数列部分的重要内容，求和问题也是很常见的试题，对于等差数列，等比数列的求和主要是运用公式；某些既不是等差数，也不是等比数列的求和问题，
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