专题03 全等三角形的基本模型解析版Word文档格式.docx

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【变式2】如图，B、E、C、F四点在同一直线上，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠DEF，添加下列条件，仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．AC＝DFB．∠A＝∠DC．BE＝CFD．AC∥DF

【答案】A

∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，

若添加AC＝DF，则两个三角形满足SSA，

∴不一定全对，符合题意；

若添加：

∠A＝∠D，则两个三角形ASA全等，不符合题意；

若添加BE＝CF，则BC＝EF，则两个三角形SAS全等，不符合题意；

若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，则两个三角形AAS全等，不符合题意；

A．

【考点2轴对称型全等三角形】

模型分析:

所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.

【例2】已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．

（1）证明：

BD＝CE．

（2）若∠M＝40°

，求∠N的度数．

在△ABD和△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE．

（2）∵△ABD≌△ACE，

∴∠B＝∠C，

∵∠1＝∠2．

∴∠1+∠MAN＝∠2+∠MAN，

∴∠BAN＝∠CAM，

在△ABN和△ACM中，

∴△ABN≌△ACM（ASA），

∴∠M＝∠N＝40°

【变式1】已知：

如图，AB＝AC，∠1＝∠2．

（1）找出图中的所有全等三角形（直接写出）；

（2）求证：

AD＝AE．

（1）△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，△ADF≌△AEF，△ADC≌△AEB；

（2）证明：

在△ABF和△ACF中，

∴△ABF≌△ACF（SAS），

∴∠B＝∠C，BF＝CF．

在△BDF和△CEF中，

∴△BDF≌△CEF（ASA），

∴BD＝CE，

∴AB﹣BD＝AC﹣CE，

∴AD＝AE．

【变式2】如图，AC＝AB，AE＝AD，∠3＝∠4，求证：

∠1＝∠2．

【解答】证明：

∵∠3＝∠4，

∴∠3+∠BAC＝∠4+∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠1＝∠2．

【例3】如图，A，D，E三点在同一直线上，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

（1）求证：

AB＝AC；

AE⊥BC．

（1）∵∠3＝∠4，

∴∠ADB＝∠ADC，

在△ADB和△ADC中，

∴△ADC≌△ADB（ASA），

∴AB＝AC；

（2）在△ABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，

∴AE⊥BC．

【变式1】如图，已知△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，下列条件不能说明△ABD≌△ABC的是（　　）

A．BD＝BCB．∠D＝∠CC．∠ABD＝∠ABCD．AD＝AC

【见解答】A

A．BD＝BC，AB＝AB，∠DAB＝∠CAB，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ABC，故本选项符合题意；

B．∠D＝∠C，∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△ABC，故本选项不符合题意；

C．∠ABD＝∠ABC，AB＝AB，∠DAB＝∠CAB，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABD≌△ABC，故本选项不符合题意；

D．AB＝AB，∠DAB＝∠CAB，AD＝AC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ABC，故本选项不符合题意；

A

【变式2】如图，四边形ABCD中，AB＝AD，AC、BD是对角线，∠1＝∠2．

△ABC≌△ADC；

（2）判断△BCD的形状并说明．

（1）在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC（SAS）；

（2）∵△ABC≌△ADC，

∴BC＝DC，

∴△BCD是等腰三角形．

【例4】如图，点D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD相交于点O，∠B＝∠C，BD＝CE．

求证：

（1）OD＝OE；

（2）△ABE≌△ACD．

（1）在△BOD和△COE中，

∴△BOD≌△COE（AAS），

∴OD＝OE；

（2）∵点D、E分别是AB、AC的中点，

∴AD＝BD＝

AB，AE＝CE＝

AC，

∵BD＝CE．

∴AD＝AE，AB＝AC，

在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD（SAS）．

【变式1】如图，OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA于点D，AC⊥OB于点C，BD、AC都经过点E，则图中全等的三角形共有多少对（　　）

A．3对B．4对C．5对D．6对

∵OE是∠AOB的平分线，BD⊥OA，AC⊥OB，

∴ED＝EC，

在Rt△OED和△OEC中，

∴Rt△OED≌Rt△OEC（HL）；

∴OD＝OC，

在△AED和△BEC中，

∴△AED≌△BEC（ASA）；

∴AD＝BC，

∴OD+AD＝OC+BC，即OA＝OB，

在△OAE和△OBE中，

∴△OAE≌△OBE（SAS），

在△OAC和△OBD中，

∴△OAC≌△OBD（SAS）．

【例5】如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°

．

AC＝BD；

（2）若∠ABC＝35°

，求∠CAO的度数．

【答案】

（1）见解答

（2）∴∠CAO＝20°

（1）∵∠C＝∠D＝90°

∴△ACB和△BDA都是直角三角形，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，

∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），

∴AC＝BD；

（2）在Rt△ACB中，∠ABC＝35°

∴∠CAB＝90°

﹣35°

＝55°

由

（1）可知△ACB≌△BDA，

∴∠BAD＝∠ABC＝35°

∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝55°

＝20°

如图，∠A＝∠D＝90°

，AC＝BD．求证：

AB＝CD．

连接BC，

∵∠A＝∠D＝90°

∴△ABC和△DCB都是直角三角形．

在Rt△ABC和Rt△DCB中，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）．

∴AB＝CD．

【考点3旋转型全等三角形】

模型解读：

将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：

①无重叠：

两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角

②有重叠：

两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.

【例6】已知，如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2＝60°

△ADE≌△ABC；

AE＝CE．

【解答】

∵∠1＝∠2，

∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，

即∠DAE＝∠BAC，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（ASA）；

由

（1）得△ABC≌△ADE，

∴AE＝AC，

∵∠2＝60°

∴△ACE是等边三角形，

∴AE＝CE．

【变式1】如图，点A在DE上，AC＝EC，∠1＝∠2＝∠3，则DE等于（　　）

A．ABB．BCC．DCD．AE+AC

∴∠B＝∠D，

∵∠2＝∠3，

∴∠2+∠ACD＝∠3+∠ACD，

即∠ACB＝∠ECD，

在△ACB和△ECD中，

∴△ACB≌△ECD（AAS），

∴AB＝ED．

【变式2】如图，点D是线段CE上一点，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

BD＝CE；

（2）若∠B＝40°

，∠E＝80°

，求∠CAD的度数．

（1）见解答

（2）∴∠CAD＝40°

（1）证明∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

∴BD＝CE；

∴∠B＝∠C＝40°

∵∠E＝80°

∴∠CAE＝180°

﹣∠C﹣∠E＝180°

﹣40°

﹣80°

＝60°

∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠E，

∴∠DAE＝180°

﹣2∠E＝180°

﹣160°

∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°

﹣20°

＝40°

【例7】如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝40°

，AD、BE交于点H，连接CH．

△ACD≌△BCE；

CH平分∠AHE．

（1）∵∠ACB＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，

∵△ACD≌△BCE，

∴CM＝CN（全等三角形的对应高相等），

∴CH平分∠AHE．

【变式1】如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；

（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为　　cm．

（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．

（1）见解答

（2）8（3）见解答

（1）△CBD≌△CAE，理由如下：

∵∠ACB＝∠DCE＝90°

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE，

在△CBD与△CAE中，

∴△CBD≌△CAE（SAS）；

（2）∵△CBD≌△CAE，

∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm），

故答案为：

8；

（3）AE⊥BD，理由如下：

AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，

∵△CBD≌△CAE，

∴∠ADO＝∠CEO，

∵∠AOD＝∠COE，

∴∠OAD＝∠OCE＝90°

∴AE⊥BD

【跟踪训练】

1．如图，点C，F，B，E在同一直线上，∠C＝∠DFE＝90°

，添加下列条件，仍不能判定△ACB与△DFE全等的是（　　）

A．∠A＝∠D，AB＝DEB．AC＝DF，CF＝BE

C．AB＝DE，BC＝EFD．∠A＝∠D，∠ABC＝∠E

【答案】D

A、∵∠A＝∠D，AB＝DE，∠C＝∠DFE＝90°

，根据AAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；

B、∵CF＝BE，可得，BC＝EF，AC＝DF，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°

，根据SAS判定△ACB与△DFE全等，不符合题意；

C、∵AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠DFE＝90°

，根据HL判断Rt△ACB与Rt△DFE全等，不符合题意；

D、∵∠A＝∠D，∠ABC＝∠E，∠C＝∠DFE＝90°

，由AAA不能判定△ACB与△DFE全等，符合题意；

D．

2．如图所示，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．BD＝CDB．AB＝ACC．∠B＝∠CD．AD平分∠BAC

A、BD＝CD，∠1＝∠2，AD＝AD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；

B、AB＝AC，AD＝AD，∠1＝∠2，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项符合题意；

C、∠B＝∠C，∠1＝∠2，AD＝AD，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABD≌△ACD，故本选项不符合题意；

D、∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AD＝AD，∠1＝∠2，

∴△ABD≌△ACD（ASA），故本选项不符合题意；

3．已知：

如图，点D，E分别在AC，AB上，AB＝AC，添加一个条件，不能判定△ABD≌△ACE的是（　　）

A．BD＝CEB．AD＝AEC．∠B＝∠CD．∠ADB＝∠AEC

已知条件中AB＝AC，∠A为公共角，

A．若添加BD＝CE，已知两边及一边所对的角，则不能证明△ABD≌△ACE，故A选项合题意．；

B．若添加AD＝AE，可利用SAS定理可证明△ABD≌△ACE，故B选项不合题意；

C．若添加∠B＝∠C，可利用ASA定理可证明△ABD≌△ACE，故C选项不合题意；

D．若添加∠ADB＝∠AEC，可利用AAS定理可证明△ABD≌△ACE，故D选项不合题意；

4.如图，AC和BD交于点O，∠A＝∠D＝90°

，AC＝BD．

OA＝OD．

在Rt△BAC与Rt△CDB中，

∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），

∴∠ACB＝∠DBC，

∴∠OCB＝∠OBC，

∴OB＝OC，

∵AC＝BD，

∴AC﹣OC＝BD﹣OB，

即OA＝OD．

5．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°

，∠2＝30°

，连接BE，点D恰好在BE上，则∠3＝（　　）

A．60°

B．55°

C．50°

D．无法计算

∵∠BAC＝∠DAE，

即∠1+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，

∴∠1＝∠CAE，

∴∠ABD＝∠2＝30°

∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°

+30°

6．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，添加的一组条件不正确的是（　　）

A．BC＝EC，∠A＝∠DB．BC＝EC，AC＝DC

C．∠B＝∠E，∠BCE＝∠ACDD．BC＝EC，∠B＝∠E

A．AB＝DE，BC＝EC，∠A＝∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意；

B．AC＝DC，BC＝EC，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；

C．∵∠BCE＝∠ACD，

∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，

即∠ACB＝∠DCE，

所以∠B＝∠E，∠ACB＝∠DCE，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；

D．AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EC，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意；

7．已知：

在△ABC和△DBE中，AB＝DB，BC＝BE，其中∠ABD＝∠CBE．

（1）如图1，求证：

AC＝DE；

（2）如图2，AB＝BC，AC分别交DE，BD于点F，G，BC交DE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四对全等三角形．

（1）∵∠ABD＝∠CBE，

∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC，

即∠ABC＝∠DBE，

在△ABC与△DBE中，

∴△ABC≌△DBE（SAS），

∴AC＝DE；

（2）由

（1）得△ABC≌△DBE，

∴∠A＝∠D，∠C＝∠E，AB＝DB，BC＝BE，

∴AB＝BE，

∵AB＝BC，

∴∠A＝∠C，

∴∠A＝∠E，

在△ABG与△EBH中，

∴△ABG≌△EBH（ASA），

∴BG＝BH，

在△DBH与△CBG中，

∴△DBH≌△CBG（SAS），

∴∠D＝∠C，

∵DB＝CB，BG＝BH，

∴DG＝CH，

在△DFG与△CFH中，

∴△DFG≌△CFH（AAS）．

8．如图，已知：

BE⊥CD于E，F为线段BC上一点，DF交BE于点A，BE＝DE，CB＝AD．

∠B＝∠D；

DF⊥BC．

（1）∵BE⊥CD，

在Rt△BCE与Rt△ADE中，

∴Rt△BCE≌Rt△ADE（HL），

（2）∵Rt△BCE≌Rt△ADE，

∴∠BCE＝∠EAD，

∵∠EAD＝∠BAF，

∴∠BCE＝∠BAF，

∵∠BCE+∠B＝90°

∴∠BAF+∠B＝90°

∴∠BFA＝90°

∴DF⊥BC．

9．在△ABC中，AB＝AC，点D是射线CB上的一动点（不与点B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC＝90°

时，那么∠DCE＝　　度；

（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．

①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°

时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；

②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°

时，请将图3补充完整，写出此时α与β之间的数量关系并证明．

（1）∵∠BAD+∠DAC＝90°

，∠DAC+∠CAE＝90°

∴∠ACE＝∠B，

∵∠B+∠ACB＝90°

∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝90°

；

故答案为90．

（2）∵∠BAD+∠DAC＝α，∠DAC+∠CAE＝α，

∵∠B+∠ACB＝180°

﹣α，

∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝180°

﹣α＝β，

∴α+β＝180°

（3）作出图形，

∵∠BAD+∠BAE＝α，∠BAE+∠CAE＝α，

∴∠AEC＝∠ADB，

∵∠ADE+∠AED+α＝180°

，∠CDE+∠CED+β＝180°

∠CED＝∠AEC+∠AED，

∴α＝β．