福建省闽侯县第二中学学年高三上学期期中考试数学理试题 Word版含答案.docx

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福建省闽侯县第二中学学年高三上学期期中考试数学理试题Word版含答案

2017-2018学年

数学理科

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设全集，集合，集合，则（）

A．B．C．D．

2.计算（）

A．B．C．D．

3.如图，已知正方形的面积为100，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此实验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为（）

A．53B．43C．47D．57

4.设都是非零向量，那么命题“与共线”是命题“”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件

5.如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有（）

A．3块B．4块C．5块D．6块

6.已知，则等于（）

A．B．C．D．

7.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

8.某程序框图如下图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）

A．B．C．D．

9.如下图，在一个长为，宽为2的矩形内，曲线与轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形内任何一点是等可能的），则所投的点落在阴影部分的概率是（）

A．B．C．D．

10.已知满足且目标函数的最小值是5，则的最大值是（）

A．10B．12C．14D．15

11.把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）

A．2680种B．4320种C．4920种D．5140种

12.定义域为的函数对任意都有，且其导函数满足，则当时，有（）

A．B．

C．D．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题4分，满分16分

13.

黑白两种颜色的正六边形地面砖按上图的规律拼成若干个图案：

则第个图案中有白色地面砖的块数是___________．

14.某地为了了解地区100000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月均用电量，并根据这500户家庭的月均用电量画出频率分布直方图（如图），则该地区100000户家庭中月均用电度数在的家庭大约有___________户．

15.不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围是__________．

16.说法正确的是____________．（写出所有正确说法的序号）

①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；

②命题“”的否定是“”；

③设，命题“若，上”的否命题是真命题；

④若，则

三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（本小题满分12分）

中，分别是角的对边，向量，．

（1）求角的大小；

（2）若，求的值．

18.（本小题满分12分）

某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

（1）记“函数为上的偶函数”为事件，求事件的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

19.（本小题满分12分）

如图，多面体中，面为矩形，，且．

（1）求证：

平面；

（2）求与所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

20.（本小题满分12分）

数列满足．

（1）求的值；

（2）记，是否存在一个实数，使数列为等差数列？

若存在，求出实数；若不存在，请说明理由；

（3）求数列的前项和

21.（本小题满分12分）

已知是函数的一个极值点．

（1）求；

（2）求函数的单调区间；

（3）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围．

22.（本小题满分13分）

已知方向向量的直线过点和椭圆的焦点，且椭圆的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于点，且满足（为原点），求直线的方程．

参考答案

一、选择题

CDBBBCADAABC

二、填空题

13.；14.12000；15.；16.①③

三、解答题

17.解：

（1）∵，∴，

∴，

∴，

∴，

∵，∴或；

（2）∵，∴，

由正弦定理得：

，

∴，∵，∴或，

18.解：

该学生选修甲、乙、丙的概率分别为，

依题意得，解得．．．．．．．．．．．．．3分

（1）若函数为上的偶函数，则．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选，

∴

，

∴事件的概率为0.24．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（2）依题意知．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

则的分布列为

0

2

0.24

0.76

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴的数学期望为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

19.解：

（1）∵是矩形，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）由，及

（1）结论可知两两互相垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

∴．．．．．．．．．．．．．5分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴与所成的角的余弦为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

（3）设面的一个法向量为，

∴取，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

又∵，

∴设面的一个法向量为，

∴取，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以所求的二面角的余弦为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

解法二：

（1）同解法一

（2）矩形，∴，即，

∴要求与所成的角，即求与所成的角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

在中，由

（1）知面，

∴中，，

∴是在面内的射影，且，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

从而与的成的角的余弦为；

（3）∵中，且，

∴面，

∴面面，为面与面的交线，

∴过作于，∴面，

又过作于，连接，从而得：

，

∴为二面角的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

在矩形中，对角线，

∴在中，，

由

（2）知在中，，

而中，，且，∴，

∴为等腰直角三角形且为直角，

∴，

∴，

所以所求的二面角的余弦为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.解：

（1）由．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）假设存在实数，使得为等差数列，

则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

∴，

存在，使得数列为等差数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）由

（1）、

（2）知：

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又为等差数列，，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

∴

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

∴，

∴．．．．．．．．．．．．．．11分

，

∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

21.解析：

（1）因为，

所以，因此．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）由

（1）知，

，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，，

当时，，

所以的单调增区间是，

的单调减区间是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（3）由

（2）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

所以的极大值为，极小值为，

因此，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

所以在在三个单调区间直线有的图象各有一个交点，当且仅当，

因此，的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

评析：

此题重点考察利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．

22.

（1）直线．．．．．．．．．．．．．．．．．．①

过原点垂直的直线方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．②

解①②得，

∵椭圆中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上，

∴，

∵直线过椭圆焦点，

∴该焦点坐标为，

∴，故椭圆的方程为，③（5分）

（2）设，

设直线，代入③，整理得，

∴，

．．．．．．．．．．．8分

∵，

即，

∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，

∴，整理得，

解得，或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

故直线的方程为

，或，或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分