专题14 三角形精讲精练原卷版北师版文档格式.docx

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（4）对应顶点、对应边、对应角：

把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；

重合的边叫做对应边；

重合的角叫做对应角．

3．全等三角形的判定

（1）判定定理1：

SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．

（2）判定定理2：

SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．

（3）判定定理3：

ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．

（4）判定定理4：

AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．

（5）判定定理5：

HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．

方法指引：

全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；

若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．

4.全等三角形的应用

（1）全等三角形的性质与判定综合应用

用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．

（2）作辅助线构造全等三角形

常见的辅助线做法：

①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明．

（3）全等三角形在实际问题中的应用

一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．

【典例剖析】

考点1三角形的三边关系

【例1】

（2019秋•赫山区期末）已知三角形三边长3，4，x，则x的取值范围是（　　）

A．x＞1B．x＜7C．1＜x＜7D．﹣1＜x＜7

【变式1.1】

（2019秋•武汉期末）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　）

A．11B．12C．13D．14

【变式1.2】

（2019秋•琼山区校级期末）一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边的长可能是（　　）

A．1B．2C．4D．7

【变式1.3】

（2019秋•仁怀市期末）下列各组值代表线段的长度，其中能组成三角形的是（　　）

A．1，2，3.5B．20，15，8C．5，15，8D．4，5，9

【变式1.4】

（2019秋•黑河期末）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且M＝（a+b+c）（a+b﹣c）（a﹣b﹣c），那么（　　）

A．M＞0B．M≥0C．M＝0D．M＜0

考点2三角形的主要线段

【例2】

（2019秋•石台县期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CFB．∠C+∠CAD＝90°

C．∠BAF＝∠CAFD．S△ABC＝2S△ABF

【变式2.1】

（2019秋•咸丰县期末）下列说法错误的是（　　）

A．三角形的高、中线、角平分线都是线段

B．三角形的三条中线都在三角形内部

C．锐角三角形的三条高一定交于同一点

D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点

【变式2.2】

（2019秋•呼和浩特期末）在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，出现下列四种图形，其中正确的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【变式2.3】

（2019秋•宿松县期末）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）

B．

D．

【变式2.4】

（2019秋•自贡期末）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（　　）

考点3三角形的内角和

【例3】

（2019秋•青羊区期末）如图，AD是△ABC的高，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝42°

，则∠BFD＝（　　）

A．45°

B．54°

C．56°

D．66°

【变式3.1】

（2019秋•大同期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB，AD，AC及BC的延长线于点E，H，F，G，若∠B＝45°

，∠ACB＝75°

，则∠G的度数为（　　）

A．15°

B．22.5°

C．27.5°

D．30°

【变式3.2】

（2019秋•温州期末）如图，在△ABC中，∠A＝50°

，∠1＝30°

，∠2＝40°

，∠D的度数是（　　）

A．110°

B．120°

C．130°

D．140°

【变式3.3】

（2019秋•兰州期末）△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（　　）

A．一定是直角三角形B．一定是钝角三角形

C．一定有一个内角为45°

D．一定有一个内角为60°

【变式3.4】

（2019秋•东莞市期末）如图，△ABC中BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，∠BDC＝120°

，则∠A的度数为（　　）

A．40°

B．50°

C．60°

D．75°

考点4三角形的外角

【例4】

（2019秋•琼山区校级期末）如图，已知∠ACD＝130°

，∠B＝20°

，则∠A的度数是（　　）

B．30°

C．150°

D．90°

【变式4.1】

（2019秋•郑州期末）如图，BP、CP是△ABC的外角角平分线，若∠P＝60°

，则∠A的大小为（　　）

A．30°

B．60°

C．90°

D．120°

【变式4.2】

（2019秋•东丽区期末）如图，已知∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝135°

，∠A＝75°

，则∠B的大小为（　　）

A．60°

B．140°

C．120°

【变式4.3】

（2019秋•郯城县期末）将一副直角三角板如图放置，使两直角边重合，则∠α的度数为（　　）

A．75°

B．105°

C．135°

D．165°

【变式4.4】

（2019秋•新宾县期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°

，∠ACP＝50°

，则∠A＝（　　）

B．80°

C．70°

D．50°

考点5全等三角形的性质

【例5】

（2019秋•常州期末）下列说法正确的是（　　）

A．两个等边三角形一定全等

B．形状相同的两个三角形全等

C．面积相等的两个三角形全等

D．全等三角形的面积一定相等

【变式5.1】

（2018秋•无为县期末）下列说法正确的是（　　）

A．两个面积相等的图形一定是全等图形

B．两个长方形是全等图形

C．两个全等图形形状一定相同

D．两个正方形一定是全等图形

【变式5.2】

（2018秋•凤凰县期末）下列说法正确的是（　　）

A．所有的等边三角形都是全等三角形

B．全等三角形是指面积相等的三角形

C．周长相等的三角形是全等三角形

D．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形

【变式5.3】

（2018秋•新抚区期末）下列说法正确的是（　　）

A．形状相同的两个三角形全等

B．面积相等的两个三角形全等

C．完全重合的两个三角形全等

D．所有的等边三角形全等

【变式5.4】

（2019春•辉县市期末）如图，Rt△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到Rt△DEF，则下列结论中，错误的是（　　）

A．BE＝ECB．BC＝EFC．AC＝DFD．△ABC≌△DEF

考点6全等三角形的判定

【例6】

（2019秋•鲤城区校级期末）如图，AB＝AC，若要使△ABE≌△ACD．则添加的一个条件不能是（　　）

A．∠B＝∠CB．∠ADC＝∠AEBC．BD＝CED．BE＝CD

【变式6.1】

（2019秋•方城县期末）已知AB＝AD，∠C＝∠E，CD、BE相交于O，下列结论：

（1）BC＝DE，

（2）CD＝BE，（3）△BOC≌△DOE；

其中正确的结论有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【变式6.2】

（2019秋•南浔区期末）一块三角形玻璃被打碎后，店员带着如图所示的一片碎玻璃去重新配一块与原来全等的三角形玻璃，能够全等的依据是（　　）

A．ASAB．AASC．SASD．SSS

【变式6.3】

（2019秋•涞水县期末）如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°

，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：

①∠1＝∠2；

②BE＝CF；

③△ACN≌△ABM；

④CD＝DN；

⑤△AFN≌△AEM．

A．2个B．3个C．4个D．5个

【变式6.4】

（2019秋•曾都区期末）如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（　　）

C．

考点6全等三角形的性质与判定综合应用

【例7】

（2019秋•顺义区期末）已知：

如图，AC＝BD，AC∥BD，AB和CD相交于点O．求证：

△ACO≌△BDO．

【变式7.1】

（2019秋•沙坪坝区期末）如图，点F、C在BD上，AB∥DE，∠A＝∠E，BF＝DC．

求证：

△ABC≌△EDF．

【变式7.2】

（2019秋•怀柔区期末）已知：

如图，E，F，为AC上两点，AD∥BC，∠1＝∠2，AE＝CF，求证：

△ADF≌△CBE．

【变式7.3】

（2019秋•镇赉县期末）如图所示，AB＝AD，∠1＝∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE（不再添加其它线段，不再标注或使用其他字母）．

【变式7.4】

（2019秋•慈利县期末）如图

（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图

（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°

”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．