北师大版七年级数学下册第三章变量之间的关系31 用表格表示的变量间关系备课素材Word文档下载推荐.docx
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教材母题——第62页议一议
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下(精确到0.01亿):
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
(1)如果用x表示时间,y表示我国人口总数,那么随着x的变化,y的变化趋势是什么?
(2)从1949年起,时间每向后推移10年,我国人口是怎样变化的?
【模型建立】
分析表格中变量之间的关系,首先要确定自变量和因变量,分析的过程中重点是看变量变化的规律.
【变式变形】
1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中,热水器里的水温随所晒时间的长短而变化,这个问题中常量是(D)
A.太阳光强弱 B.水的温度
C.所晒时间 D.热水器的容积
2.指出下列实例中的自变量与因变量.
(1)今天早上一起床,我就到厨房烧上了一壶水,10分钟后,水烧开了.
(2)同学们早上从家到学校.
(3)随着时间的推移,汽车在行驶中的剩余油量减少.
3.研究表明,当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:
氮肥施用量
(kg)
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量(t)
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系?
哪个是自变量?
哪个是因变量?
图3-1-4
(2)当氮肥的施用量是101kg/hm2时,土豆的产量是多少?
如果不施氮肥呢?
(3)根据表格中的数据,你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜?
说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
素材三 考情考向分析
根据表格给出的数量关系判定变量之间的关系
根据表格中给出的数量关系,首先要确定自变量和因变量,再去分析其变化的规律,进而得到变量之间的关系.如课本第64页习题3.1第4题.
例 心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
分)之间有如下的关系(其中0≤x≤20):
时间x(分)
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力y
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
58.3
55
(1)表中反映了哪两个变量之间的关系?
(2)当提出概念所用时间是10分钟时,学生的接受能力是多少?
(3)根据表格中的数据,你认为提出概念的时间是多少时,学生的接受能力最强?
(4)从表中可知,当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步增强?
当时间x在什么范围内时,学生的接受能力逐步降低?
解:
(1)反映了提出概念所用的时间与学生对概念的接受能力之间的关系,其中自变量是提出概念所用的时间,因变量是学生对概念的接受能力.
(2)59 (3)13分钟
(5)时间在13分钟以内时学生的接受能力逐步增强,时间在13分钟以上时学生的接受能力逐步降低.
素材四 教材习题答案
P63 随堂练习
1.生活中有哪些例子反映了变量之间的关系?
与同伴进行交流.
略.
2.研究表明,当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时,土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系:
氮肥施用量/kg
土豆产量/t
(1)上表反映了氮肥施用量和土豆产量之间的关系,氮肥施用量是自变量,土豆产量是因变量.
(2)32.29t/hm2;
15.18t/hm2.
(3)336kg/hm2.因为此时土豆产量最高,也可以是259kg/hm2,因为此时土豆产量与最高时差别不大,且可节药肥料.
(4)只要合理即可,答案不唯一.
P63 习题3.1
1.据世界人口组织公布,地球上的人口1600年为5亿,1830年为10亿,1930年为20亿,1960年为30亿,1974年为40亿,1987年为50亿,1999年为60亿,而到2011年地球上的人口数达到了70亿.用表格表示上面的数据,并说一说世界人口是怎样随时间推移而变化的.
表格略.比如:
世界人口增长10亿所需时间越来越短.平均每10年人口增长速度越来越快.
2.婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍,6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍.
(1)上述的哪些量在发生变化?
自变量和因变量各是什么?
(2)某婴儿在出生时的体重是3.5kg,请把他在发育过程中的体重情况填入下表:
年龄
体重/kg
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
(3)根据表格中的数据,说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的.
(1)年龄、体重都在发生变化,年龄是自变量,体重是因变量.
(2)略.
(3)答案合理即可.如,从出生起,随着年龄的增长,体重在不断增加.
3.举出生活中包含变量的例子,分析变量之间的关系,并与同伴进行交流.如分析烧水过程中,温度随时间变化的情况.
4.小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜,让镜片正对着太阳光,并上下移动镜片,直到地上的光斑最小.此时他测量了镜片与光斑的距离,得到如下数据:
老花镜的
度数D/度
100
120
200
250
300
镜片与光斑
的距离f/m
1
0.8
0.5
0.4
0.3
(1)观察表中的数据,你发现了什么?
(2)如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的距离为0.7m,那么你估计这副老花镜的度数是多少?
(1)随着老花镜度数的逐渐增大,镜片与光斑的距离逐渐减小.二者间的大小关系约是:
D=
×
100.
(2)大约为143度.
5.在高海拔(1500~3500m为高海拔,3500~5500m为超高海拔,5500m以上为极高海拔)地区的人有缺氧的感觉,下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据:
海拔高度/m
空气含氧量/(g/m3)
299.3
1000
265.5
2000
234.8
3000
209.63
4000
182.08
5000
159.71
6000
141.69
7000
123.16
8000
105.97
(2)在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少?
海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少?
(3)你估计在5500m海拔高度空气含氧量是多少?
(1)上表反映了海拔高度和空气含氧量间的关系,海拔高度是自变量,空气含氧量是因变量.
(2)299.3g/m3. 182.08g/m3.
(3)约为150g/m3.
素材五 图书增值练习
专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息
1.有一个水箱,它的容积是500L,现要将水箱注满,下面是注水的情况表:
注水时间/min
15
25
30
注水量/L
350
400
450
500
(1)在这个注水过程中,反映的两个变量是与之间的关系,其中变量是自变量,变量是因变量;
(2)这个水箱原有水L;
(3)min时水箱注满水;
(4)由表中的数据可以看出,水箱的注水过程是均匀的,那么平均每分钟注水L.
2.一根合金棒在不同的温度下,其长度也不同,合金棒的长度和温度之间有如下关系:
温度(℃)
-5
长度(cm)
9.995
10.005
10.01
10.015
(1)上表反映了温度与长度两个变量之间的关系,其中自变量,长度
是因变量.
(2)当温度是10℃时,合金棒的长度是10.01
cm.
(3)如果合金棒的长度大于10.05cm小于10.15cm,根据表中的数据推测,此时的温度应
在50
℃~150
℃的范围内.
(4)当温度为-20℃和100℃,合金棒的长度分别为9.98
cm和10.1
专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律
爬坡长度x/m
50
80
150
爬坡时间y/min
3.7
6.5
9
3.七年级
(1)班第一小组的同学星期天去郊外爬山,得到如下数据:
(1)当爬到100m时,所花的时间是多少?
(2)当爬到每增加10m时,所花的时间相同吗?
(3)从表中数据的变化中,你能得到什么变化趋势?
4.一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表:
时间(s)
3
4
6
8
速度(m/s)
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9
哪个变量是自变量?
哪个变量是因变量?
(2)如果用t表示时间,v表示速度,那么随着t的变化,v的变化趋势是什么?
(3)当t每增加1s时,v的变化情况相同吗?
在哪一秒钟,v的增加量最大?
(4)若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120km/h,试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?
【知识要点】
1.变量、自变量、因变量的相关概念
(1)变量:
在某一变化过程中,可以取不同值的量叫做变量.
(2)自变量和因变量:
在某一变化过程中,主动发生变化的量是自变量,随着自变量变化而发生变化的量是因变量,对这两个概念要结合实际情境进行理解,不要求形式化的定义.
2.列表法表示变量之间的关系
利用表格可以表示两个变量之间的关系,一般地,表格的第一行表示自变量,第二行表示因变量,根据表格中的数据我们可以获得两个变量之间的信息,对变化趋势进行预测.
【温馨提示】
自变量和因变量都是某一变化过程中的变量,因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化.
【方法技巧】
用表格可以表示两个变量之间的关系时,能准确地指出几组自变量和因变量的值,但不能全面地反映两个变量之间的关系,只能反映其中的一部分,从数据中获取两个变量关系的信息,找出变化规律是解题的关键.
答案:
1.
(1)注水时间注水量
注水时间
注水量
(2)200(3)30(4)10
2.解:
(1)温度
长度
(2)根据表格,当温度是10℃时,合金棒的长度是10.01cm;
(3)由表格,分析数据可得当温度每增加5℃,合金棒的长度增加0.005cm;
又有当温度是10℃时,合金棒的长度是10.01cm;
故得温度应在50℃~150℃的范围内.
(4)当温度为-20℃和100℃时,由两个变量可求出合金棒的长度分别为9.98cm和10.1cm.
3.解:
(1)由表格可知:
当爬到100m时,所花的时间是9min;
(2)当爬到每增加10m时,所花的时间不相同;
(3)由表中数据可知:
当爬到30m时平均速度是15m/min,当爬到50m时平均速度是13.5m/min,当爬到80m时平均速度是12.3m/min,当爬到100m时平均速度是11.1m/min,所以变化趋势是越往上爬速度越慢.
4.解:
(1)反映了小汽车从静止到启动10s之间时间和速度的关系,时间是自变量,速度是因变量;
(2)随着t的增加,v逐渐增大;
(3)当t每增加1s时,v的变化情况不相同,第8s至第9s时,速度v的增加量最大;
(4)120×
1000÷
3600≈33.3(m/s),33.3-28.9=4.4<
4.7,
所以估计还需1s.
素材六 数学素养提升
聚焦表格中的变量关系
表格在生活与生产中应用广泛,培养对表格的阅读、分析能力是学习两个量之间关系的重点之一.这就要求我们能从表格中发现两个量之间存在规律,归纳出相应的关系式.请看几例.
一、价格变化规律
例1某商店出售商品时,在进价的基础上又加了一定的利润,其数量x与售价y的关系如下表所示:
数量x(千克)
…
售价y(元)
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
请根据表中所提供的信息,写出售价y与数量x之间的关系式,并求出当数量是2.5千克时的售价.
析解:
从表格可发现,当x=1时,y=8+0.4;
当x=2时,y=16+0.8=2(8+0.4);
当x=3时,y=24+1.2=3(8+0.4),…,所以y与x之间的关系式为y=(8+0.4)x=8.4x.
当x=2.5时,y=8.4×
2.5=21(元).
即2.5千克的售价是21元.
二、树苗生长规律
例2一种树苗的高度用h表示,测得的有关数据如下表(树苗原高80cm):
年数x(年)
树高h(cm)
80+5
80+10
80+15
80+20
写出年数x与树高h的关系式,并计算生长5年的树苗的高度.
析解:
观察表格可知,树苗高度一栏中由两部分组成,“+”号前是树的原来高度不变,“+”后面的部分与a的关系是年数的5倍,所以树的高度h与年数x的关系式为h=80+5x.
当x=5时,则h=80+5×
5=80+25=105(cm).
即5年后的高度是105cm.
三、音速传播规律
例3声音在空气中传播的速度v(米/秒)(简称音速)和气温t(℃)有关,音速随着气温的变化如下表:
气温t(℃)
音速v(米/秒)
331
334
337
340
试写出音速v与气温t之间的关系式,根据关系式,估计25时的音速是多少?
析解:
从表格可以看出,当t=0时,音速v=331,当t=5时,v=334=331+3;
当t=10时,v=337=331+6=331+2×
3;
当t=15时,v=340=331+9=331+3×
3,…,
所以v与t的关系为v=331+
.
当t=25时,v=331+
25=331+15=346(米/秒).
即当温度是25℃时,音速是346米/秒.
四、温度变化规律
例4下表中记录了一次试验中的时间和温度的数据.
时间t(分)
温度T(℃)
40
70
85
(1)写出温度T与时间t的关系式;
(2)什么时间的温度是34℃.
(1)从表中的数据可知温度随时间的增加而上升,且每分钟上升3,所以可得关系式为T=10+3t.
(2)当T=34℃时,有34=10+3t,解得t=8,
即8分钟的温度是34℃.