最新北师大版七年级数学下册第三章 变量之间的关系31 用表格表示的变量间关系 备课素材Word格式文档下载.docx
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教材母题——第62页议一议
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）：
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口/亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
（1）如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
（2）从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
【模型建立】
分析表格中变量之间的关系，首先要确定自变量和因变量，分析的过程中重点是看变量变化的规律．
【变式变形】
1．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中常量是（D）
A．太阳光强弱 B．水的温度
C．所晒时间 D．热水器的容积
2．指出下列实例中的自变量与因变量．
（1）今天早上一起床，我就到厨房烧上了一壶水，10分钟后，水烧开了．
（2）同学们早上从家到学校．
（3）随着时间的推移，汽车在行驶中的剩余油量减少．
3．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量
（kg）
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量（t）
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？
哪个是自变量？
哪个是因变量？
图3－1－4
（2）当氮肥的施用量是101kg/hm2时，土豆的产量是多少？
如果不施氮肥呢？
（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？
说说你的理由．
（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响．
素材三 考情考向分析
根据表格给出的数量关系判定变量之间的关系
根据表格中给出的数量关系，首先要确定自变量和因变量，再去分析其变化的规律，进而得到变量之间的关系．如课本第64页习题3.1第4题．
例 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分）之间有如下的关系（其中0≤x≤20）：
时间x（分）
2
5
7
10
12
13
14
17
20
接受能力y
47.8
53.5
56.3
59
59.8
59.9
58.3
55
（1）表中反映了哪两个变量之间的关系？
（2）当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受能力是多少？
（3）根据表格中的数据，你认为提出概念的时间是多少时，学生的接受能力最强？
（4）从表中可知，当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？
当时间x在什么范围内时，学生的接受能力逐步降低？
解：
（1）反映了提出概念所用的时间与学生对概念的接受能力之间的关系，其中自变量是提出概念所用的时间，因变量是学生对概念的接受能力．
（2）59 （3）13分钟
（5）时间在13分钟以内时学生的接受能力逐步增强，时间在13分钟以上时学生的接受能力逐步降低．
素材四 教材习题答案
P63 随堂练习
1．生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？
与同伴进行交流．
略．
2．研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：
氮肥施用量/kg
土豆产量/t
（1）上表反映了氮肥施用量和土豆产量之间的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量．
（2）32.29t/hm2；
15.18t/hm2.
（3）336kg/hm2.因为此时土豆产量最高，也可以是259kg/hm2，因为此时土豆产量与最高时差别不大，且可节药肥料．
（4）只要合理即可，答案不唯一．
P63 习题3.1
1．据世界人口组织公布，地球上的人口1600年为5亿，1830年为10亿，1930年为20亿，1960年为30亿，1974年为40亿，1987年为50亿，1999年为60亿，而到2011年地球上的人口数达到了70亿.用表格表示上面的数据，并说一说世界人口是怎样随时间推移而变化的．
表格略．比如：
世界人口增长10亿所需时间越来越短．平均每10年人口增长速度越来越快．
2．婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时体重分别约是1周岁时的2倍、3倍．
（1）上述的哪些量在发生变化？
自变量和因变量各是什么？
（2）某婴儿在出生时的体重是3.5kg，请把他在发育过程中的体重情况填入下表：
年龄
体重/kg
刚出生
6个月
1周岁
2周岁
6周岁
10周岁
（3）根据表格中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随年龄增长而变化的．
（1）年龄、体重都在发生变化，年龄是自变量，体重是因变量．
（2）略．
（3）答案合理即可．如，从出生起，随着年龄的增长，体重在不断增加．
3．举出生活中包含变量的例子，分析变量之间的关系，并与同伴进行交流.如分析烧水过程中，温度随时间变化的情况．
4．小明在课余时间找了几副度数不同的老花镜，让镜片正对着太阳光，并上下移动镜片，直到地上的光斑最小.此时他测量了镜片与光斑的距离，得到如下数据：
老花镜的
度数D/度
100
120
200
250
300
镜片与光斑
的距离f/m
1
0.8
0.5
0.4
0.3
（1）观察表中的数据，你发现了什么？
（2）如果按上述方法测得一副老花镜的镜片与光斑的距离为0.7m，那么你估计这副老花镜的度数是多少？
（1）随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑的距离逐渐减小．二者间的大小关系约是：
D＝
×
100.
（2）大约为143度．
5．在高海拔（1500～3500m为高海拔，3500～5500m为超高海拔，5500m以上为极高海拔）地区的人有缺氧的感觉，下面是有关海拔高度与空气含氧量之间的一组数据：
海拔高度/m
空气含氧量/（g/m3）
299.3
1000
265.5
2000
234.8
3000
209.63
4000
182.08
5000
159.71
6000
141.69
7000
123.16
8000
105.97
（2）在海拔高度0m的地方空气含氧量是多少？
海拔高度4000m的地方空气含氧量是多少？
（3）你估计在5500m海拔高度空气含氧量是多少？
（1）上表反映了海拔高度和空气含氧量间的关系，海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量．
（2）299.3g/m3. 182.08g/m3.
（3）约为150g/m3.
素材五 图书增值练习
专题一能从表格中获取两个变量之间关系的信息
1．有一个水箱，它的容积是500L，现要将水箱注满，下面是注水的情况表：
注水时间/min
15
25
30
注水量/L
350
400
450
500
（1）在这个注水过程中，反映的两个变量是与之间的关系，其中变量是自变量，变量是因变量；
（2）这个水箱原有水L；
（3）min时水箱注满水；
（4）由表中的数据可以看出，水箱的注水过程是均匀的，那么平均每分钟注水L.
2．一根合金棒在不同的温度下，其长度也不同，合金棒的长度和温度之间有如下关系：
温度（℃）
-5
长度（cm）
9.995
10.005
10.01
10.015
（1）上表反映了温度与长度两个变量之间的关系，其中自变量，长度
是因变量.
（2）当温度是10℃时，合金棒的长度是10.01
cm．
（3）如果合金棒的长度大于10.05cm小于10.15cm，根据表中的数据推测，此时的温度应
在50
℃～150
℃的范围内．
（4）当温度为-20℃和100℃，合金棒的长度分别为9.98
cm和10.1
专题二根据表格确定自变量、因变量及变化规律
爬坡长度x/m
50
80
150
爬坡时间y/min
3.7
6.5
9
3．七年级
（1）班第一小组的同学星期天去郊外爬山，得到如下数据：
（1）当爬到100m时，所花的时间是多少？
（2）当爬到每增加10m时，所花的时间相同吗？
（3）从表中数据的变化中，你能得到什么变化趋势？
4．一辆小汽车在高速公路上从静止到启动10秒之间的速度经测量如下表：
时间（s）
3
4
6
8
速度（m/s）
1.3
2.8
4.9
7.6
11.0
14.1
18.4
24.2
28.9
哪个变量是自变量？
哪个变量是因变量？
（2）如果用t表示时间，v表示速度，那么随着t的变化，v的变化趋势是什么？
（3）当t每增加1s时，v的变化情况相同吗？
在哪一秒钟,v的增加量最大？
（4）若在高速公路上小汽车行驶速度的上限为120km/h，试估计还需几秒这辆小汽车的速度就达到这个上限?
【知识要点】
1．变量、自变量、因变量的相关概念
（1）变量：
在某一变化过程中，可以取不同值的量叫做变量.
（2）自变量和因变量：
在某一变化过程中，主动发生变化的量是自变量，随着自变量变化而发生变化的量是因变量，对这两个概念要结合实际情境进行理解，不要求形式化的定义.
2．列表法表示变量之间的关系
利用表格可以表示两个变量之间的关系，一般地，表格的第一行表示自变量，第二行表示因变量，根据表格中的数据我们可以获得两个变量之间的信息，对变化趋势进行预测.
【温馨提示】
自变量和因变量都是某一变化过程中的变量，因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化.
【方法技巧】
用表格可以表示两个变量之间的关系时，能准确地指出几组自变量和因变量的值，但不能全面地反映两个变量之间的关系，只能反映其中的一部分，从数据中获取两个变量关系的信息，找出变化规律是解题的关键.
答案:
1．
（1）注水时间注水量
注水时间
注水量
（2）200（3）30（4）10
2．解：
（1）温度
长度
（2）根据表格，当温度是10℃时，合金棒的长度是10.01cm；
（3）由表格，分析数据可得当温度每增加5℃，合金棒的长度增加0.005cm；
又有当温度是10℃时，合金棒的长度是10.01cm；
故得温度应在50℃～150℃的范围内．
（4）当温度为-20℃和100℃时，由两个变量可求出合金棒的长度分别为9.98cm和10.1cm．
3．解：
（1）由表格可知：
当爬到100m时，所花的时间是9min；
（2）当爬到每增加10m时，所花的时间不相同；
（3）由表中数据可知：
当爬到30m时平均速度是15m/min，当爬到50m时平均速度是13.5m/min，当爬到80m时平均速度是12.3m/min，当爬到100m时平均速度是11.1m/min,所以变化趋势是越往上爬速度越慢.
4．解：
（1）反映了小汽车从静止到启动10s之间时间和速度的关系，时间是自变量，速度是因变量；
（2）随着t的增加，v逐渐增大；
（3）当t每增加1s时，v的变化情况不相同，第8s至第9s时，速度v的增加量最大；
（4）120×
1000÷
3600≈33.3（m/s）,33.3-28.9=4.4<
4.7，
所以估计还需1s.
素材六 数学素养提升
聚焦表格中的变量关系
表格在生活与生产中应用广泛，培养对表格的阅读、分析能力是学习两个量之间关系的重点之一.这就要求我们能从表格中发现两个量之间存在规律，归纳出相应的关系式.请看几例.
一、价格变化规律
例1某商店出售商品时，在进价的基础上又加了一定的利润，其数量x与售价y的关系如下表所示：
数量x（千克）
…
售价y（元）
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
请根据表中所提供的信息，写出售价y与数量x之间的关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.
析解:
从表格可发现,当x=1时,y=8+0.4;
当x=2时,y=16+0.8=2（8+0.4）;
当x=3时,y=24+1.2=3（8+0.4）,…,所以y与x之间的关系式为y=（8+0.4）x=8.4x.
当x=2.5时,y=8.4×
2.5=21（元）.
即2.5千克的售价是21元.
二、树苗生长规律
例2一种树苗的高度用h表示，测得的有关数据如下表（树苗原高80cm）：
年数x（年）
树高h（cm）
80+5
80+10
80+15
80+20
写出年数x与树高h的关系式，并计算生长5年的树苗的高度.
析解：
观察表格可知，树苗高度一栏中由两部分组成，“+”号前是树的原来高度不变，“+”后面的部分与a的关系是年数的5倍，所以树的高度h与年数x的关系式为h=80+5x.
当x=5时，则h=80+5×
5=80+25=105（cm）.
即5年后的高度是105cm.
三、音速传播规律
例3声音在空气中传播的速度v（米/秒）（简称音速）和气温t（℃）有关,音速随着气温的变化如下表:
气温t（℃）
音速v（米/秒）
331
334
337
340
试写出音速v与气温t之间的关系式,根据关系式,估计25时的音速是多少?
析解:
从表格可以看出,当t=0时,音速v=331,当t=5时,v=334=331+3;
当t=10时,v=337=331+6=331+2×
3;
当t=15时,v=340=331+9=331+3×
3,…,
所以v与t的关系为v=331+
.
当t=25时,v=331+
25=331+15=346（米/秒）.
即当温度是25℃时,音速是346米/秒.
四、温度变化规律
例4下表中记录了一次试验中的时间和温度的数据.
时间t（分）
温度T（℃）
40
70
85
（1）写出温度T与时间t的关系式；
（2）什么时间的温度是34℃.
（1）从表中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3，所以可得关系式为T=10+3t.
（2）当T=34℃时，有34=10+3t，解得t=8，
即8分钟的温度是34℃.
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