专题19 与圆有关的角.docx

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专题19与圆有关的角

专题19与圆有关的角

阅读与思考

与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.

角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，则△CDE的面积为___________.（海南省竞赛题）

例1题图例2题图

解题思路：

作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的长.由AB为⊙O的直径作出相关辅助线.

【例2】如图，△ABC内接于⊙O，M是的中点，AM交BC于点D，若AD＝3，DM＝1，则MB的长是（）

A．4B．2C．3D．

解题思路：

图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.

【例3】如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，

∠DCE是直角，点D在线段AC上.

（1）证明：

B，C，E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：

MN＝OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（如图2）.若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1＝OM1是否成立？

若是，请证明；若不是，说明理由.

解题思路：

对于

（2），充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.

【例4】如图所示，ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，

∠BAE＝∠DAC.求证：

（1）△ABE∽△ACD；

（2）AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陕西省竞赛试题）

解题思路：

由

（1）可类比猜想，为

（2）非常规问题的证明铺平道路.

【例5】如图1，已知⊙M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.

（1）求圆心M的坐标；

（2）求四边形ABCD的面积；

（3）如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BC＝BE时，求CF的长.

解题思路：

作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解

（1）、

（2）的基础；对于（3），由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，连接AC，将与圆无关的∠BEC转化为与圆有关角，导出CF平分∠ACD，这是解题的关键.

【例6】如图，AB，AC，AD是⊙O中的三条弦，点E在AD上，且AB＝AC＝AE.

求证：

（1）∠CAD＝2∠DBE；

（2）AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省竞赛试题）

解题思路：

对于

（2），AD2－AB2＝（AD＋AB）（AD－AB）＝（AD＋AE）（AD－AE）＝（AD＋AE）·DE，需证（AD＋AE）·DE＝BD·DC，从构造相似三角形入手.

能力训练

A级

1.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BAC＝30°，点P在线段OB上运动.设∠ACP＝x，则x的取值范围是________.

2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，F是CG的中点，延长AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，则EF的长为________.

3.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的长为________.

4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知AB＝BC，CD＝BD＝1.设AD＝x，用x的代数式表示PA与PC的积：

PA·PC＝__________.（宁波市中考试题）

5.如图，ADBC是⊙O的内接四边形，AB为直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（）

A．50B．32C．5D．4

第4题图第5题图第6题图

6.如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：

①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（哈尔滨市中考试题）

7.如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：

①PA＝PB＋PC；②；③PA·PE＝PB·PC.其中正确结论的个数是（）（天津市中考试题）

A．3个B．2个C．1个D．0个

8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，∠M＝20°，∠N＝40°，则∠A的大小为（）

A．35°B．60°C．65°D．70°

第7题图第8题图第9题图

9.如图，已知⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于点E.

求证：

（1）；

（2）AD·CD－AE·EC＝DE2；（扬州市中考试题）

10.如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2＝AE•AC，BD＝8，求△ABD的面积.（黑龙江省中考试题）

11.如图，已知⊙O的内接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC于D，AD＝3.设⊙O的半径为y，AB的长为x.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当AB的长等于多少时，⊙O的面积最大？

并求出⊙O的最大面积.（南京市中考试题）

12.如图，已知半圆⊙O的直径AB＝4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上.当三角板绕着O点转动时，三角板的两条直角边与半圆周分别交于C，D两点，连接AD，BC交于点E.

（1）求证：

△ACE∽△BDE；

（2）求证：

BD＝DE；

（3）设BD＝x，求△AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（广东省中考试题）

B级

1.如图，△ABC内接于直径为d的圆，设BC＝a，AC＝b，那么△ABC的高CD＝__________.

2.如图，在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴相交于点A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝__________.

第1题图第2题图第3题图

3.如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB，设∠COD＝α，则＝________.（江苏省竞赛试题）

4.如图，已知圆内接四边形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，对角线AC平分∠DAB.若AD＝a，AB＝b，则AC＝___________.（“东亚杯”竞赛试题）

5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB＝5，PC＝4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若∠APD＝60°，则⊙O的面积为（）

A．25π　　　　　B．16π　　　　　C．15π　　　　　D．13π

6.如图，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k为正数），那么∠DBC是∠BDC的（）

A．k倍　　　　　B．2k倍　　　　　C．3k倍　　　　　D．以上答案都不对

第4题图第5题图第6题图

7.如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，AB＝AC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为（）

A．5个B．4个C．3个D．2个

8．如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，CD＝BD，∠C＝70°，现给出以下四个结论：

①∠A＝45°；②AC＝AB；③；④CE·AB＝2BD2.其中正确结论的序号是（）

A．①②B．②③C．②④D．③④

（苏州市中考试题）

第7题图第8题图第9题图

9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，E为DC边上一点，若AE∥BC,AE＝EC＝7，AB＝6.

（1）求AD的长；

（2）求BE的长.（绍兴市竞赛题）

10.如图1，已知M（，），以M为圆心，MO为半径的⊙M分别交x轴，y轴于B，A.

（1）求A，B两点的坐标;

（2）C是上一点，若BC＝，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;

（3）如图2，在

（2）的条件下，P是上一动点，连接PA，PB，PC.当P在上运动时，

求证：

的值是定值.

11.如图，四边形ABCD为正方形，⊙O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.

（1）求证：

DE＝AF；

（2）若⊙O的半径为，AB＝＋1，求的值.（江苏省竞赛题）