专题19 与圆有关的角.docx

1、专题19 与圆有关的角专题19 与圆有关的角阅读与思考与圆有关的角主要有圆心角、圆周角、弦切角.特别的，直径所对的圆周角是直角.圆内接四边形提供相等的角、互补的角，在理解与圆有关的角的概念时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系.角在解题中经常发挥重要的作用，是证明角平分线、两线平行、两线垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要条件，而圆的特点又使角的互相转化具备了灵活多变的优越条件，是解题中最活跃的元素.熟悉以下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，在ABC中，ABAC，BC2，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，则CDE的面积为_. （海南省竞赛题） 例1题

2、图 例2题图 解题思路：作DFBC于F，需求出CE，DF的长.由AB为O的直径作出相关辅助线.【例2】如图，ABC内接于O，M是的中点，AM交BC于点D，若AD3，DM1，则MB的长是（ ） A4 B2 C3 D 解题思路：图中隐含许多相等的角，利用比例线段计算.【例3】如图1，O中AB是直径，C是O上一点，ABC45，等腰直角三角形DCE中，DCE是直角，点D在线段AC上.(1) 证明：B，C，E三点共线；(2) 若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MNOM；(3) 将DCE绕点C逆时针旋转(090)后，记为D1CE1(如图2).若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，

3、M1N1OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由.解题思路：对于(2)，充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系. 【例4】如图所示，ABCD为O的内接四边形，E是BD上的一点，BAEDAC. 求证：(1)ABEACD； (2) ABDCADBCACBD. （陕西省竞赛试题）解题思路：由(1)可类比猜想，为(2)非常规问题的证明铺平道路.【例5】如图1，已知M与x轴交于点A，D，与y轴正半轴交于点B，C是M上一点，且A（2,0），B（0，4），ABBC.(1) 求圆心M的坐标；(2) 求四边形ABCD的面积；(3) 如图2，过C点作弦CF交BD于点E，当BCBE时，求C

4、F的长. 解题思路：作出基本辅助线（如连接BM或AC），这是解(1)、(2)的基础；对于(3)，由BCBE，得BECBCE，连接AC，将与圆无关的BEC转化为与圆有关角，导出CF平分ACD，这是解题的关键. 【例6】如图，AB，AC，AD是O中的三条弦，点E在AD上，且ABACAE. 求证：(1) CAD2DBE；(2) AD2AB2BDDC. （浙江省竞赛试题） 解题思路：对于（2），AD2AB2(ADAB)(ADAB) (ADAE)(ADAE) (ADAE) DE，需证(ADAE) DEBDDC，从构造相似三角形入手. 能力训练A 级 1.如图，AB是O的直径，点C在O上，BAC30，点P

5、在线段OB上运动.设ACPx，则x的取值范围是_.2.如图，AB是O的直径，弦CDAB，F是CG的中点，延长AF交O于E，CF2，AF3，则EF的长为_. 3.如图，AB，CD是O的两条弦，它们相交于点P.连接AD，BD，已知ADBD4，PC6，那么CD的长为_.4.如图，圆内接四边形ABCD中的两条对角线相交于点P，已知ABBC，CDBD1.设ADx，用x的代数式表示PA与PC的积：PAPC_. （宁波市中考试题）5.如图，ADBC是O的内接四边形，AB为直径，BC8，AC6，CD平分ACB，则AD( ) A50 B32 C5 D4 第4题图 第5题图 第6题图6.如图，在ABC中，AD是高

6、，ABC 的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：AD2BDCD；BE2EGAE；AEADABAC；AGEGBGCG.其中正确结论的个数是( ) A1个 B2个 C3个 D4个 （哈尔滨市中考试题） 7.如图，正ABC内接于O，P是劣弧上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：PAPBPC；PAPEPBPC.其中正确结论的个数是( ) （天津市中考试题） A3个 B2个 C1个 D0个8. 如图，四边形ABCD内接于O，延长AD，BC交于点M，延长AB，DC交于点N，M20，N40，则A的大小为（ ） A35 B60 C65 D70 第7题图 第8题图 第9题图9. 如图，已知O的内

7、接四边形ABCD中，ADCD，AC交BD于点E. 求证：(1)； (2) ADCDAEECDE2； （扬州市中考试题） 10. 如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为5，对角线AC与BD交于点E，且AB2AEAC，BD8，求ABD的面积. （黑龙江省中考试题） 11. 如图，已知O的内接ABC中，ABAC12，ADBC于D，AD3. 设O的半径为y，AB的长为x.(1) 求y与x之间的函数关系式； (2) 当AB的长等于多少时，O的面积最大？并求出O的最大面积. （南京市中考试题） 12. 如图，已知半圆O的直径AB4，将一个三角板的直角顶点固定在圆心O上.当三角板绕着O点转动时，三角板的两

8、条直角边与半圆周分别交于C，D两点，连接AD，BC交于点E.(1) 求证：ACEBDE；(2) 求证：BDDE；(3) 设BDx，求AEC的面积y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（广东省中考试题） B 级1.如图，ABC内接于直径为d的圆，设BCa，ACb，那么ABC的高CD_. 2.如图，在平面直角坐标系中，OCB的外接圆与y轴相交于点A（0，），OCB60，COB45，则OC_. 第1题图 第2题图 第3题图3.如图，AB为O的直径，CDAB，设COD，则_.（江苏省竞赛试题）4.如图，已知圆内接四边形ABCD中，ADAB，DAB90，对角线AC平分DAB.若ADa，ABb，则

9、AC_. （“东亚杯”竞赛试题）5.如图，ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB5，PC4，分别延长AB和DC，它们相交于点P，若APD60，则O的面积为（ ）A25B16C15D136. 如图，ABACAD，若DAC是CAB的k倍（k为正数），那么DBC是BDC的（ ）Ak倍B2k倍C3k倍D以上答案都不对 第4题图 第5题图 第6题图 7. 如图，AD是RtABC斜边BC上的高，ABAC，过A，D两点的圆与AB，AC分别相交于E，F，弦EF与AD相交于点G，则图中与GDE相似的三角形的个数为( )A5个 B4个 C3个 D2个8如图，AB为O的直径，AC交O于点E，BC交O于点D，

10、CDBD，C70，现给出以下四个结论：A45；ACAB；CEAB2BD2.其中正确结论的序号是( )A B C D （苏州市中考试题） 第7题图 第8题图 第9题图9. 如图，四边形ABCD内接于O，BC为O的直径，E为DC边上一点，若AEBC, AEEC7，AB6.(1) 求AD的长；(2) 求BE的长. （绍兴市竞赛题）10.如图1，已知M（，），以M为圆心，MO为半径的M分别交x轴，y轴于B，A.(1) 求A，B两点的坐标;(2) C是上一点，若BC，试判断四边形ACOM是何种特殊四边形，并说明理由;(3) 如图2，在(2)的条件下，P是上一动点，连接PA，PB，PC.当P在上运动时，求证：的值是定值.11.如图，四边形ABCD为正方形，O过正方形的顶点A和对角线的交点P，分别交AB，AD于点F，E.(1) 求证：DEAF；(2) 若O的半径为，AB1，求的值. （江苏省竞赛题）