高中数学《平面》导学案Word文件下载.docx

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（2）若A∈a，a⊂α，则A∈α.（　　）

（3）两个平面的交线可能是一条线段．（　　）

（4）空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线．（　　）

答案　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

2．（教材改编，P43，T4）做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）如图所示，用符号语言表示以下各概念：

①点A，B在直线a上：

________；

②直线a在平面α内：

③点D在直线b上，点C在平面α内：

________.

（2）若平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，A∈β，则点A________l；

其理由是__________________________．

答案　

（1）①A∈a，B∈a　②a⊂α　③D∈b，C∈α　

（2）∈　同时在两个不重合平面上的点一定在两个平面的交线上

3．根据下图，填入相应的符号：

A________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.

答案　∈　∉　⊄　AC

课堂互动探究

探究1　　平面概念的理解

例1　

（1）下列命题：

①书桌面是平面；

②8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；

③有一个平面的长是50m，宽为20m；

④平面是绝对平的、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为________．

（2）下图中的两个相交平面，其中画法正确的是________．

解析　

（1）由平面的概念，知它是平滑、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③都不正确．

（2）对于①，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚也没有按照画法原则去画，因此①的画法不正确．同样的道理，也可知②、③图形的画法不正确，④中图形的画法正确．

答案　

（1）1　

（2）④

拓展提升

平面概念的理解及特点

（1）平面是一个只描述而不定义的原始概念，它是由平时生活中常见的平面抽象出来的，是理想的，是无限延展的，是无厚薄、大小的．

（2）要注意平面具有如下特点：

①平面是平的；

②平面是没有厚度的；

③平面是无限延展而没有边界的；

④平面是由空间的点、线组成的无限集合；

⑤平面图形是空间图形的重要组成部分．

【跟踪训练1】　下列四种说法正确的是________．

①平面的形状是平行四边形；

②任何一个平面图形都可以表示平面；

③平面ABCD的面积为100cm2；

④空间图形中，后作的辅助线都是虚线．

答案　②

解析　①错，通常用平行四边形表示平面，但平面的形状不一定是平行四边形；

③错，平面不能度量；

④错，看不到的线画成虚线．

探究2　　文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

例2　根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

（1）点P与直线AB；

（2）点C与直线AB；

（3）点M与平面AC；

（4）点A1与平面AC；

（5）直线AB与直线BC；

（6）直线AB与平面AC;

（7）平面A1B与平面AC.

解　

（1）点P∈直线AB.

（2）点C∉直线AB.

（3）点M∈平面AC.

（4）点A1∉平面AC.

（5）直线AB∩直线BC＝点B.

（6）直线AB⊂平面AC.

（7）平面A1B∩平面AC＝直线AB.

三种语言的转换方法

（1）用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着先用文字语言表示，再用符号语言表示．

（2）根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

【跟踪训练2】　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

解　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.

【跟踪训练3】　用符号语言表示下列语句，并画出图形．

（1）三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.

解　

（1）符号语言表示：

α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC.用图形表示如图①.

（2）符号语言表示：

平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.用图形表示如图②.

探究3　　线共面问题

例3　已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：

直线a，b，c共面．

证明　∵b∥c，∴不妨设b，c共面于平面α，设a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈a，B∈a，A∈b，又∵b⊂α，∴A∈α，同理B∈α，即a⊂α，∴三线共面．

[条件探究]　在本例中，若直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C，又该如何证明直线a，b，c，l共面？

证明　如图所示．

∵a∥b，∴a，b可确定一个平面α.

又l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈a，B∈b，A∈α，B∈α.

∴AB⊂α.又A∈l，B∈l，∴l⊂α.

又b∥c，∴b，c可确定一个平面β.

同理l⊂β.

∵平面α，β均经过直线b，l，且b和l是两条相交直线，∴l与b确定的平面是唯一的．

∴a，b，c，l四线共面．

证明多线共面的两种方法

（1）纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．

（2）重合法：

即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内．

【跟踪训练4】　证明：

空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．

证明　设四条直线分别为a，b，c，d.

（1）如图①，设直线a，b，c相交于点O，直线d和直线a，b，c分别交于点M，N，P，直线d和点O确定平面α.

因为O∈a，M∈a，所以a⊂α.

同理可证b⊂α，c⊂α.

（2）如图②，设直线a，b，c，d两两相交，且任意三条不共点，交点分别是M，N，P，Q，R，G.

因为a∩b＝M，

所以直线a和b确定平面α.

因为a∩c＝N，b∩c＝Q，

所以点N，Q都在平面α内，所以c⊂α.

同理可证d⊂α，所以直线a，b，c，d共面于α.

综合

（1）

（2），知空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．

探究4　　点共线问题

例4　如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.

求证：

P，Q，R三点在同一条直线上．

证明　由已知AB的延长线交平面α于点P，根据公理3，平面ABC与平面α必相交于一条直线，设为l.

∵P∈直线AB，∴P∈平面ABC.

又AB∩α＝P，∴P∈平面α，

∴P是平面ABC与平面α的公共点．

∵平面ABC∩α＝l，∴P∈l.同理，Q∈l，R∈l.

∴P，Q，R三点在同一条直线l上．

证明点共线问题的步骤

证明三点共线，一般先证两点确定的直线是某两个平面的交线，再证第三个点也是两个平面的一个公共点．证明“点在直线上”“三点共线”“三线共点”的问题通常用公理3.

【跟踪训练5】　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：

D，A，Q三点共线．

证明　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD1A1.

∴Q∈平面ADD1A1.

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．

探究5　　线共点问题

例5　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.求证：

直线AA1，BP，CQ相交于一点．

证明　如图，连接PQ.

由B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1，得

PQ∥B1C1，且PQ＝

B1C1.

又BC綊B1C1，∴四边形BCQP为梯形，∴直线BP，CQ相交，设交点为R，则R∈BP，R∈CQ.

又BP⊂平面AA1B1B，CQ⊂平面AA1C1C，∴R∈平面AA1B1B，且R∈平面AA1C1C，∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线上，即R∈AA1，

∴直线AA1，BP，CQ相交于一点．

证明线共点问题的步骤

证明三线共点的思路是：

先证明两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这个点，把问题归结为证明点在直线上的问题．

【跟踪训练6】　如图，四面体A－BCD中，E，G分别为BC，AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3.

EF，GH，BD交于一点．

证明　如图所示，连接GE，HF，

∵E，G分别为BC，AB的中点，

∴GE∥AC，GE＝

AC.

又∵DF∶FC＝2∶3，DH∶HA＝2∶3，

∴HF∥AC，HF＝

∴GE∥HF，GE>

HF.

∴G，E，F，H四点共面．

∴EF与GH相交，设交点为O.

则O∈平面ABD∩平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴O∈BD.即EF，GH，BD交于一点．

1.关于平面的画法要注意的几点

（1）通常画的平行四边形表示的是整个平面．需要时，可以把它延展开来，如同在平面几何中画直线一样，直线是可以无限延伸的，但在画直线时却只画一条线段来表示．

（2）加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示：

如用三角形、矩形、圆等平面图形来表示平面．

（3）画表示平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成45°

，横边画成邻边的两倍．

（4）画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边画成铅垂线．

2.三个公理的主要作用

（1）公理1：

如图甲所示．主要作用是：

利用点在面内判定线在面内．

（2）公理2：

如图乙所示．主要作用是：

①确定平面；

②证明点、线共面．

（3）公理3：

如图丙所示．主要作用是：

①判定两个平面是否相交；

②点共线；

③线共点．

思维拓展：

1.

（1）公理2中的“有且只有一个”包含两层含义：

①“有”说明平面的存在性；

②“只有一个”说明平面的唯一性．“有且只有一个”和“只有一个”不是同义词，和“确定”是同义词．

（2）在平面几何中，辅助线均画成虚线；

而在立体几何中则不然，凡是被平面遮住的线，均画成虚线，无论是题中原有的，还是后添加的辅助线，凡是不被遮住的线均画成实线．

2.公理的三个推论

推论1：

经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面；

推论2：

经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：

经过两条平行直线有且只有一个平面.

课堂达标自测

1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的上述关系可记为（　　）

A．M∈α，a∈αB．M∈a，a⊂α

C．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α

答案　B

解析　点M在直线a上记为M∈a，直线a在平面α内记为a⊂α.

2．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（　　）

A．相交B．重合

C．相交或重合D．以上都不对

答案　C

解析　若三个点在同一直线上，则两平面可能相交；

若这三个点不在同一直线上，则这两个平面重合．

3．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（　　）

A．0B．1C．0或1D．1或3

答案　D

解析　当三条互相平行的直线共面时，可确定1个平面；

当三条互相平行的直线不共面时，可确定3个平面．

4．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1.

（1）AC∩BD＝________；

（2）平面AB1∩平面A1C1＝________；

（3）A1B1∩B1B∩B1C1＝________.

答案　

（1）O　

（2）A1B1　（3）B1

解析　

（1）AC、BD同在面ABCD中，交于点O.

（2）平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.

（3）A1B1，B1B，B1C1三条直线交于一点B1.

5．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD>

BC，P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，设PQ与NM的交点为S，AB与DC的交点为R，A1B1与D1C1的交点为G.求证：

R，S，G三点共线．

证明　因为P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，PQ∩NM＝S，

所以S∈MN，MN⊂平面CC1D1D，S∈PQ，PQ⊂平面AA1B1B，

所以S∈平面CC1D1D，且S∈平面AA1B1B，

所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上．

同理可证：

R，G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上，

所以R，S，G三点共线．

课后课时精练

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．能确定一个平面的条件是（　　）

A．空间三个点B．一个点和一条直线

C．无数个点D．两条相交直线

解析　不在同一条直线上的三个点可确定一个平面，A，B，C的条件不能保证有不在同一条直线上的三个点，故不正确．

2．空间中A，B，C，D，E五个点，已知A，B，C，D在同一平面内，B，D，C，E在同一平面内，那么这五点（　　）

A．共面B．不一定共面

C．不共面D．以上都不对

解析　当B，C，D三点共线时，A，B，C，D所在平面与B，C，D，E所在的平面不一定相同，所以A，B，C，D，E五点不一定共面，选B.

3．已知空间四点中，无三点共线，则经过其中三点的平面有（　　）

A．一个B．四个

C．一个或四个D．无法确定平面的个数

解析　当空间四点共面时，它们确定一个平面；

当空间四点不共面时，每三个点都可以确定一个平面，即四个平面．

4．给出下列四个命题：

①不共面的四点中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

解析　①假设其中有三点共线，则该直线与直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故不共面的四点中任意三点不共线，所以①正确；

②当A，B，C共线时，结论可能不成立，所以②不正确；

利用正方体模型，易知③不正确；

由空间四边形，知④不正确．

5．如图，平面α∩平面β＝l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ与β的交线必过（　　）

A．点AB．点B

C．点C，但不过点DD．点C和点D

解析　根据基本性质判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内，故在平面β与γ的交线上．

二、填空题

6．已知A∈α，B∉α，若A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________公共点．

答案　1

解析　若l与α有两个不同的公共点，则由公理1知l⊂α，又B∈l，所以B∈α与B∉α矛盾，所以l与α有且仅有一个公共点A.

7．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．

答案　36

解析　正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；

正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个．

8．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．

答案　5

解析　如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与AB和CC1都相交的棱为BC；

与AB相交且与CC1平行的棱有AA1，BB1；

与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.因此，符合题意的棱共有5条．

三、解答题

9．用符号语言表示下列图形中几何元素之间的位置关系．

解　图

（1）：

平面α∩平面β＝AB，直线a⊂α，直线b⊂β，b∩AB＝M.

图

（2）：

平面α∩平面β＝PQ，直线a∩α＝A，a∩β＝B.

图（3）：

平面α∩平面β＝CD，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝A，A∈CD.

B级：

能力提升练

10．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

（1）D，B，F，E四点共面；

（2）若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

证明　如图．

（1）∵EF是△D1B1C1的中位线，

∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中，B1D1∥BD，

∴EF∥BD.

∴EF，BD确定一个平面，

即D，B，F，E四点共面．

（2）正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β.

∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β.

则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，

∴α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.

∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.

故P，Q，R三点共线．