普通高考数学科一轮复习精品学案 第26讲 平面向量的数量积及应用.docx

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普通高考数学科一轮复习精品学案第26讲平面向量的数量积及应用

201X年普通高考数学科一轮复习精品学案

第26讲平面向量的数量积及应用

一．课标要求：

1．平面向量的数量积

①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

②体会平面向量的数量积与向量投影的关系；

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；

④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2．向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。

二．命题走向

本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察平面向量的数量积的概念及应用。

重点体会向量为代数几何的结合体，此类题难度不大，分值5~9分。

平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、共线等问题，以解答题为主。

预测201X年高考：

（1）一道选择题和填空题，重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题；属于中档题目。

（2）一道解答题，可能以三角、数列、解析几何为载体，考察向量的运算和性质；

三．要点精讲

1．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作＝，＝，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角；

说明：

（1）当θ＝０时，与同向；

（2）当θ＝π时，与反向；

（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0︒≤θ≤180︒。

C

（2）数量积的概念

已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）。

规定；

向量的投影：

︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。

投影的绝对值称为射影；

（3）数量积的几何意义：

·等于的长度与在方向上的投影的乘积。

（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：

。

②乘法公式成立

；

；

③平面向量数量积的运算律

交换律成立：

；

对实数的结合律成立：

；

分配律成立：

。

④向量的夹角：

cos==。

当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。

（5）两个向量的数量积的坐标运算

已知两个向量，则·=。

（6）垂直：

如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。

两个非零向量垂直的充要条件：

⊥·＝O，平面向量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设，则或。

如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）。

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用；

（2）向量在物理中的应用。

四．典例解析

题型1：

数量积的概念

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）；

（2）；

（3）若，则；

（4）若，则当且仅当时成立；

（5）对任意向量都成立；

（6）对任意向量，有。

解析：

（1）错；

（2）对；（3）错；（4）错；（5）错；（6）对。

点评：

通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系，重点清楚为零向量，而为零。

例2．

（1）若、、为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是（）

A．B．

C．m（）=m+mD．

（2）设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（·）－（·）=②||－||<|－|③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9||2－4||2中，是真命题的有（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

解析：

（1）答案：

D；因为，而；而方向与方向不一定同向。

（2）答案：

D①平面向量的数量积不满足结合律。

故①假；②由向量的减法运算可知||、||、|－|恰为一个三角形的三条边长，由“两边之差小于第三边”，故②真；③因为［（·）－（·）］·=（·）·－（·）·=0，所以垂直.故③假；④（3+2）（3－2）=9··－4·=9||2－4||2成立。

故④真。

点评：

本题考查平面向量的数量积及运算律，向量的数量积运算不满足结合律。

题型2：

向量的夹角

例3．

（1）已知向量、满足、，且，则与的夹角为（）

A．B．C．D．

（2）已知向量=（cos,sin）,=（cos,sin）,且，那么与的夹角的大小是。

（3）已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。

（4）||=1，||=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

解析：

（1）C；

（2）；

（3）由题意，，且与的夹角为，

所以，，

，

，

同理可得。

而，

设为与的夹角，

则。

（4）C；设所求两向量的夹角为

　　即：

所以

点评：

解决向量的夹角问题时要借助于公式，要掌握向量坐标形式的运算。

向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。

对于这个公式的变形应用应该做到熟练，另外向量垂直（平行）的充要条件必需掌握。

例4．

（1）设平面向量、、的和。

如果向量、、，满足，且顺时针旋转后与同向，其中，则（）

A．－++=B．-+=

C．+-=D．++=

（2）已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是（）

A．B．C．D．

解析：

（1）D；

（2）B；

点评：

对于平面向量的数量积要学会技巧性应用，解决好实际问题。

题型3：

向量的模

例5．

（1）已知向量与的夹角为，则等于（）

A．5　　　　B．4　　　　C．3　　　　D．1

（2）设向量满足,,则（）

A．1B．2C．4D．5

解析：

（1）B；

（2）D；

点评：

掌握向量数量积的逆运算，以及。

例6．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使（x+y）⊥，且｜x+y｜=1。

解析：

由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=（3x+4y,4x+3y）；

又（x+y）⊥（x+y）·＝０3（3x+4y）+4（4x+3y）=0；

即25x+24y＝０①；

又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１；

（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１；

整理得25x２＋48xy+25y２＝１即x（25x+24y）+24xy+25y２＝１②；

由①②有24xy+25y２＝１③；

将①变形代入③可得：

y=±；

再代回①得：

。

点评：

这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想。

题型4：

向量垂直、平行的判定

例7．已知向量，，且，则。

解析：

∵，∴，∴，∴。

例8．已知，，，按下列条件求实数的值。

（1）；

（2）；。

解析：

（1）；

（2）；

。

点评：

此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。

题型5：

平面向量在代数中的应用

例9．已知。

分析：

，可以看作向量的模的平方，而则是、的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式。

证明：

设

则。

点评：

在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如等。

例10．已知，其中。

（1）求证：

与互相垂直；

（2）若与（）的长度相等，求。

解析：

（1）因为

所以与互相垂直。

（2），

，

所以，

，

因为，

所以，

有，

因为，故，

又因为，

所以。

点评：

平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。

如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。

若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。

可使解题过程得到简化，从而提高解题的速度。

题型6：

平面向量在几何图形中的应用

例11．已知两点，且点P（x，y）使得，成公差小于零的等差数列。

（1）求证；

（2）若点P的坐标为，记与的夹角为，求。

解析：

（1）略解：

，由直接法得

（2）当P不在x轴上时，

而

所以，当P在x轴上时，，上式仍成立。

图1

点评：

由正弦面积公式得到了三角形面积与数量积之间的关系，由面积相等法建立等量关系。

例12．用向量法证明：

直径所对的圆周角是直角。

已知：

如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点（不与A、B重合），求证：

∠APB＝90°。

证明：

联结OP，设向量，则且，

，即∠APB＝90°。

点评：

平面向量是一个解决数学问题的很好工具，它具有良好的运算和清晰的几何意义。

在数学的各个分支和相关学科中有着广泛的应用。

题型7：

平面向量在物理中的应用

例13．如图所示，正六边形PABCDE的边长为b，有五个力、作用于同一点P，求五个力的合力。

解析：

所求五个力的合力为，如图3所示，以PA、PE为边作平行四边形PAOE，则，由正六边形的性质可知，且O点在PC上，以PB、PD为边作平行四边形PBFD，则，由正六边形的性质可知，且F点在PC的延长线上。

由正六边形的性质还可求得

故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为，方向与的方向相同。

五．思维总结

1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定；

（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而⋅是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；

（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；但是在数量积中，若≠0，且⋅=0，不能推出=。

因为其中cosθ有可能为0；

（4）已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bc⇒a=c。

但是⋅=⋅；

如右图：

⋅=|||cosβ=|||OA|，⋅c=||c|cosα=|||OA|⇒⋅=⋅，但≠；

（5）在实数中，有（⋅）=（⋅），但是（⋅）≠（⋅），显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。

2．平面向量数量积的运算律

特别注意：

（1）结合律不成立：

；

（2）消去律不成立不能得到；

（3）=0不能得到=或=。

3．向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视.数量积的主要应用：

①求模长；②求夹角；③判垂直；

4．注重数学思想方法的教学

①．数形结合的思想方法。

由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。

②．化归转化的思想方法。

向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。

③．分类讨论的思想方法。

如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。

5．突出向量与其它数学知识的交汇

“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。

因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。

我们可