版高中数学 第一章 常用逻辑用语 122非否定学案 新人教B版选修21Word格式文档下载.docx

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0”的含义是“有意义且>

0”，故其否定应为“无意义或≤0”，即“x＝0或<

0”．

知识点三　全称命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的全称命题的否定，并归纳写全称命题的否定的方法．

（1）所有矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）∀x∈R，x2－2x＋1≥0.

梳理　写全称命题的否定的方法：

（1）更换量词，将全称量词换为存在量词；

（2）将结论否定．

对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：

全称命题p：

∀x∈M，p（x），

它的否定綈p：

____________.

全称命题的否定是__________命题．

知识点四　存在性命题的否定

思考　尝试写出下面含有一个量词的存在性命题的否定，并归纳写存在性命题的否定的方法．

（1）有些实数的绝对值是正数；

（2）某些平行四边形是菱形；

（3）∃x∈R，x2＋1<

0.

梳理　写存在性命题的否定的方法：

（1）将存在量词改写为全称量词，

（2）将结论否定．

对于含一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：

存在性命题p：

∃x∈M，p（x），

∀x∈M，綈p（x）．

存在性命题的否定是全称命题．

类型一　綈p命题及构成形式

例1　写出下列命题的否定形式．

（1）面积相等的三角形都是全等三角形；

（2）若m2＋n2＝0，则实数m、n全为零；

（3）若xy＝0，则x＝0或y＝0.

反思与感悟　綈p是对命题p的全盘否定，对一些词语的正确否定是写綈p的关键，如“都”的否定是“不都”，“至多两个”的反面是“至少三个”、“p∧q”的否定是“綈p∨綈q”等．

跟踪训练1　写出下列命题的否定形式．

y＝sinx是周期函数；

3<

2；

（3）p：

空集是集合A的子集；

（4）p：

5不是75的约数．

类型二　命题的否定的真假应用

例2　已知命题p：

方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：

关于x的不等式ax2－ax＋1>

0的解集为R，若“p∨q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．

反思与感悟　由真值表可判断p∨q、p∧q、綈p命题的真假，反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数范围，再求其补集．

跟踪训练2　已知命题p：

|x2－x|≤2，q：

x∈Z，若“p∧q”与“綈p”同时为假命题，则x的取值范围为________．

类型三　全称命题和存在性命题的否定及应用

命题角度1　全称命题的否定

例3　写出下列全称命题的否定：

（1）任何一个平行四边形的对边都平行；

（2）数列：

1，2，3，4，5中的每一项都是偶数；

（3）∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

（4）可以被5整除的整数，末位是0.

反思与感悟　全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定．

跟踪训练3　写出下列全称命题的否定：

每一个四边形的四个顶点共圆；

所有自然数的平方都是正数；

任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

对任意实数x，x2＋1≥0.

命题角度2　存在性命题的否定

例4　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

∃x>

1，使x2－2x－3＝0；

有些素数是奇数；

有些平行四边形不是矩形．

反思与感悟　存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：

∃x∈M，p（x）成立⇒綈p：

∀x∈M，綈p（x）成立．

跟踪训练4　写出下列存在性命题的否定，并判断其否定的真假．

（3）∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

命题角度3　存在性命题、全称命题的综合应用

例5　已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>

0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若存在一个实数x0，使不等式m－f（x0）>

0成立，求实数m的取值范围．

反思与感悟　对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出存在符合条件的元素．一般地，对任意的实数x，a>

f（x）恒成立，只要a>

f（x）max；

若存在一个实数x0，使a>

f（x0）成立，只需a>

f（x）min.

跟踪训练5　已知f（x）＝3ax2＋6x－1（a∈R）．

（1）当a＝－3时，求证：

对任意x∈R，都有f（x）≤0；

（2）如果对任意x∈R，不等式f（x）≤4x恒成立，求实数a的取值范围．

1．已知命题p：

所有有理数都是实数，命题q：

正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．（綈p）∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．（綈p）∨（綈q）

2．已知a>

0且a≠1，命题“∃x>

1，logax>

0”的否定是（　　）

A．∃x≤1，logax>

0B．∃x>

1，logax≤0

C．∀x≤1，logax>

0D．∀x>

3．“a≥5且b≥2”的否定是________．

4．由命题“∃x0∈R，x＋2x0＋m≤0”是假命题，得实数m的取值范围是（a，＋∞），则实数a＝________.

5．分别指出下列各组命题的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题的真假．

2>

2，q：

2＝2；

∅是{0}的真子集，q：

0∈∅；

函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，q：

方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．

1．带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定，应注意对逻辑联结词进行否定，即“或”的否定是“且”，“且”的否定是“或”，“不是”的否定是“是”．

2．

（1）对含有全称量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将全称量词改写成存在量词，即将“任意”改为“存在”；

第二步，将结论加以否定．

（2）对含有存在量词的命题进行否定需两步操作：

第一步，将存在量词改写成全称量词；

提醒：

完成作业　第一章　1.2.2

答案精析

问题导学

知识点一

思考　两组命题中，命题q都是命题p的否定．

“非”与日常用语中的“非”含义一致，表示“否定”“不是”“问题的反面”等；

也可以从集合的角度理解“非”：

若命题p对应集合A，则綈p对应集合A在全集U中的补集∁UA.

梳理　

（1）全盘否定　p的否定

（2）假　真

知识点二

1．或　且

2．a∉A且a∉B　a∉A或a∉B

知识点三

思考　

（1）将量词“所有”换为“存在一个”，然后将结论否定，即“不是平行四边形”，所以原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”；

用同样的方法可得

（2）（3）的否定：

（2）存在一个素数不是奇数；

（3）∃x∈R，x2－2x＋1<

梳理　∃x∈M，綈p（x）　存在性

知识点四

思考　

（1）先将存在量词“有些”改写为全称量词“所有”，然后将结论“实数的绝对值是正数”否定，即“实数的绝对值不是正数，于是得原命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”；

同理可得

（2）（3）的否定：

（2）所有平行四边形都不是菱形；

（3）∀x∈R，x2＋1≥0.

题型探究

例1　解　

（1）面积相等的三角形不都是全等三角形．

（2）若m2＋n2＝0，则实数m、n不全为零．

（3）若xy＝0，则x≠0且y≠0.

跟踪训练1　解　

（1）綈p：

y＝sinx不是周期函数．

（2）綈p：

3≥2.

（3）綈p：

空集不是集合A的子集．

（4）綈p：

5是75的约数．

例2　解　命题p：

方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于

⇔，

解得a≤－1.

命题q：

0的解集为R，等价于a＝0或

由于⇔

解得0<

a<

4，所以0≤a<

4.

因为“p∨q”与“綈q”同时为真命题，即p真且q假，所以

故实数a的取值范围是（－∞，－1]．

跟踪训练2　{x|－1<

x<

2且x≠0，1}

例3　解　

（1）其否定：

存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

（2）其否定：

数列：

1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数．

（3）其否定：

∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

（4）其否定：

存在被5整除的整数，末位不是0.

跟踪训练3　解　

（1）綈p：

存在一个四边形，它的四个顶点不共圆．

（2）綈p：

有些自然数的平方不是正数．

（3）綈p：

存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

（4）綈p：

存在实数x，使得x2＋1<

例4　解　

（1）綈p：

∀x>

1，x2－2x－3≠0（假）．

所有的素数都不是奇数（假）．

所有的平行四边形都是矩形（假）．

跟踪训练4　解　

（1）命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝对值都不是正数”．它为假命题．

（2）命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱形”．由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题．

（3）命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．

例5　解　

（1）不等式m＋f（x）>

0可化为m>

－f（x），

即m>

－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>

－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>

－4即可．

故存在实数m，使不等式m＋f（x）>

0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>

－4.

（2）不等式m－f（x0）>

f（x0），若存在一个实数x0，使不等式m>

f（x0）成立，只需m>

又f（x）＝（x－1）2＋4，

∴f（x）min＝4，∴m>

∴所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

跟踪训练5　

（1）证明　当a＝－3时，

f（x）＝－9x2＋6x－1，

∵Δ＝36－4×

（－9）×

（－1）＝0，

∴对任意x∈R，都有f（x）≤0.

（2）解　∵f（x）≤4x恒成立，

∴3ax2＋2x－1≤0恒成立，

∴即

解得a≤－，

即实数a的取值范围是（－∞，－]．

当堂训练

1．D　2.D　3.a<

5或b<

2　4.1

5．解　

（1）∵p：

2，是假命题，q：

2＝2，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．

（2）∵p：

∅是{0}的真子集，是真命题，q：

0∈∅，是假命题，

∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是假命题．

（3）∵p：

函数y＝x2＋2x＋5的图象与x轴有公共点，是假命题，

方程x2＋2x＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题p∨q是真命题，p∧q是假命题，綈p是真命题．

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