秋高中数学人教版必修一模块综合评价一.docx
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秋高中数学人教版必修一模块综合评价一
模块综合评价
（一）
（时间：
120分钟 满分：
150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝（ ）
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6}D．{x∈R|－1≤x≤5}
解析：
因为A∪B＝{1，2，4，6}．
又C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则（A∪B）∩C＝{1，2，4}．
故选B.
答案：
B
2．已知集合M＝{x|y2＝2x，y∈R}和集合P＝{（x，y）|y2＝2x，y∈R}，则两个集合间的关系是（ ）
A．MPB．PM
C．M＝PD．M，P互不包含
解析：
由于集合M为数集，集合P为点集，因此M与P互不包含，故选D.
答案：
D
3．已知幂函数f（x）＝xa的图象过点（4，2），若f（m）＝3，则实数m的值为（ ）
A. B．± C．±9 D．9
解析：
依题意有2＝4a，得a＝，所以f（x）＝x，
当f（m）＝m＝3时，m＝9.
答案：
D
4．设a＝log3，b＝，c＝2，则（ ）
A．aC．c解析：
数形结合，画出三个函数的图象．
由图象可知a<0，01，因此a答案：
A
5．下列各组中的两个集合相等的有（ ）
①P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2（n－1），n∈Z}；
②P＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，Q＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}；
③P＝{x|x2－x＝0}，Q＝.
A．①②③B．①③
C．②③D．①②
解析：
①中对于Q，n∈Z，所以n－1∈Z，Q亦表示偶数集，所以P＝Q；②中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以集合P与集合Q不相等；③中P＝{0，1}，Q中当n为奇数时，x＝＝0；当n为偶数时，x＝＝1，Q＝{0，1}，所以P＝Q.
答案：
B
6．已知集合A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝（ ）
A．∅B．[－1，1]
C．[－1，＋∞）D．[1，＋∞）
解析：
A＝{x|y＝}＝{x|x≥－1}，
B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．
所以A∩B＝[1，＋∞）．
答案：
D
7．设f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则（ ）
A．f（－x1）>f（－x2）
B．f（－x1）＝f（－x2）
C．f（－x1）D．f（－x1）与f（－x2）大小不确定
解析：
由x1<0，x1＋x2>0得x2>－x1>0，又f（x）是R上的偶函数，且在（0，＋∞）上是减函数，
所以f（－x2）＝f（x2）答案：
A
8．已知a>b，函数f（x）＝（x－a）（x－b）的图象如图所示，则函数g（x）＝loga（x＋b）的图象可能为（ ）
解析：
易知0答案：
B
9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A．y＝x B．y＝lgx
C．y＝2xD．y＝
解析：
函数y＝10lgx的定义域与值域均为（0，＋∞）．
函数y＝x的定义域与值域均为（－∞，＋∞）．
函数y＝lgx的定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）．
函数y＝2x的定义域为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞）．
函数y＝的定义域与值域均为（0，＋∞）．故选D.
答案：
D
10．设二次函数f（x）＝x2－x＋a（a>0）．若f（m）<0，则f（m－1）的值为（ ）
A．正数B．负数
C．非负数D．正数、负数和零都有可能
解析：
二次函数f（x）＝x2－x＋a（a>0）的对称轴是x＝，且f（0）＝f
（1）＝a>0.
因为f（m）<0，所以m－1<0，所以f（m－1）>0.
答案：
A
11．（2017·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（ ）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
解析：
f（x）的定义域为（0，2）．
f（x）＝lnx＋ln（2－x）
＝ln[x（2－x）]＝ln（－x2＋2x）．
设u＝－x2＋2x，x∈（0，2），则u＝－x2＋2x在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．
又y＝lnu在其定义域上单调递增，
所以f（x）＝ln（－x2＋2x）在（0，1）上单调递增，
在（1，2）上单调递减．
所以选项A，B错误．
因为ff（x）＝lnx＋ln（2－x）＝f（2－x），
所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，
所以选项C正确．
因为f（2－x）＋f（x）＝[ln（2－x）＋lnx]＋[lnx＋ln（2－x）]＝2[lnx＋ln（2－x）]，不恒为0，
所以f（x）的图象不关于点（1，0）对称，所以选项D错误，故选C.
答案：
C
12．设方程3－x＝|lgx|的两个根分别为x1，x2，则（ ）
A．x1x2<0B．x1x2＝1
C．x1x2>1D．0解析：
由题意知，当x>1时，3－x1＝lgx1，当0答案：
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）
13．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于________．
解析：
因为∁UA＝{3}，所以a2－2a＋3＝3，解得a＝0或a＝2.由元素的单一性可得：
a＝0.
答案：
0
14．已知函数f（x）＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．
解析：
因为函数f（x）＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.
又f（0）＝＝＝0，所以b＝1.故a＋b＝2.
答案：
2
15．若函数f（x）＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________．
解析：
作出g（x）＝|4x－x2|的图象（图略），g（x）的零点为0和4.由图象可知，将g（x）的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a＝4.
答案：
4
16．已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________．
解析：
因为logab＋logba＝logab＋＝，
所以logab＝2或.
因为a>b>1，所以logab所以logab＝，所以a＝b2.
因为ab＝ba，所以（b2）b＝bb2，所以b2b＝bb2，
所以2b＝b2，所以b＝2，所以a＝4.
答案：
4 2
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
解：
当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠∅时，则有或
解得a<－4或2综上，实数a的取值范围为（－∞，－4）∪（2，＋∞）．
18．（本小题满分12分）设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n）（f（m）≠0，f（n）≠0），且当x＞0时，0＜f（x）＜1.
（1）求证f（0）＝1；
（2）求证x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证f（x）在R上是减函数．
证明：
（1）根据题意，令m＝0，
可得f（0＋n）＝f（0）·f（n），
因为f（n）≠0，所以f（0）＝1.
（2）由题意知x＞0时，0＜f（x）＜1，
当x＝0时，f（0）＝1＞0，
当x＜0时，－x＞0，所以0＜f（－x）＜1.
因为f[x＋（－x）]＝f（x）·f（－x），
所以f（x）·f（－x）＝1，
所以f（x）＝＞0.
故x∈R时，恒有f（x）＞0.
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x2）＝f[x1＋（x2－x1）]，
所以f（x2）－f（x1）＝f[x1＋（x2－x1）]－f（x1）＝f（x1）·f（x2－x1）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]．
由
（2）知f（x1）＞0，又x2－x1＞0，
所以0＜f（x2－x1）＜1，
故f（x2）－f（x1）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝2x－.
（1）判断函数的奇偶性，并证明；
（2）用单调性的定义证明函数f（x）＝2x－在（0，＋∞）上单调递增．
解：
（1）函数f（x）＝2x－是奇函数．
证明如下：
易知f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．
因为f（－x）＝2（－x）－＝－2x＋＝－＝－f（x），所以f（x）是奇函数．
（2）证明：
任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1则f（x2）－f（x1）
＝2x2－－
＝2（x2－x1）＋5
＝（x2－x1），
因为00，x1x2>0，
所以f（x2）－f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），
所以f（x）＝2x－在（0，＋∞）上单调递增．
20．（本小题满分12分）求函数f（x）＝x2＋2x＋a－1在区间上的零点．
解：
Δ＝4－4（a－1）＝8－4a.
当Δ<0，即a>2时，f（x）无零点．
当Δ＝0，即a＝2时，f（x）有一个零点－1.
当Δ>0且f<0，
即
a<－时，f（x）仅有一个零点：
－1－.
当Δ>0且f≥0，
即⇒－≤a<2时，
f（x）有两个零点：
x＝＝－1±.
综上所述，当a>2时，f（x）无零点；
当a＝2时，f（x）有一个零点－1；
当－≤a<2时，f（x）有两个零点：
－1±；
当a<－时，f（x）有一个零点：
－1－.
21．（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：
“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：
千克/年）是养殖密度x（单位：
尾/立方米）的函数．当x不超过4（尾/立方米）时，v的值为2（千克/年）；当4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v的值为0（千克/年）．
（1）当0（2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：
千克/立方米）f（x）＝x·v（x）可以达到最大，并求出最大值．
解：
（1）由题意：
当0当4显然该函数在[4，20]是减函数，
由已知得解得
故函数v（x）＝
（2）依题意并由
（1）可得
f（x）＝
当0≤x≤4时，f（x）为增函数，
故fmax（x）＝f（4）＝4×2＝8；
当4≤x≤20时，f（x）＝－x2＋x＝－（x2－20x）＝－（x－10）2＋，
fmax（x）＝f（10）＝12.5.
所以，当0当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．
22．（本小题满分12分）已知奇函数f（x）＝的定义域
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