六年级奥数举一反三2630Word文档下载推荐.docx
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此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点:
（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少,
这是一道开放题，方法有多种:
?
按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1
按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2
按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
图27--3
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少,
2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米,
3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化,
把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
图27—4
要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。
从上往下看从左往右看从前往后看
图27—5
而从另外三个方向上看到的面积与以上三个方向的面积是相等的。
整个立体图形的表面积可采用（S上+S左+S前）×
2来计算。
（3×
3×
9+3×
8+3×
10）×
2
=（81+72+90）×
=243×
=486（平方厘米）
答:
这个立体图形的表面积是486平方厘米。
练习2:
1、用棱长是1厘米的立方体拼成图27-6所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
图27—6
2、一堆积木（如图27-7所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。
它们的表面积是多少平方厘米,
3、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。
每个小正方体的表面积是多少平方厘米,
把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米,
把两个相同的大长方体拼成一个大厂房体，需要把两个相同面拼合，所得大厂房体的表面积就减少了两个拼合面的面积。
要使大长方体的表面积最小，就必须使两个拼合面的面积最大，即减少两个9×
7的面。
（9×
9+9×
4+7×
4）×
2×
2—9×
7×
=（63+36+28）×
4—126
=508—126
=382（平方厘米）
这个大厂房体的表面积最少是382平方厘米。
练习3:
1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少,
2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。
求大长方体的表面积是多少。
3、用6块（如图27-8所示）长方体木块拼成一个大长方体，有许多种做法，其中表面积最小的是多少平方厘米,
3厘米1厘米
2厘米
一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米;
如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米;
如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道:
体积=长×
宽×
高;
由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×
高=40?
2=20（平方厘米）;
由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×
高=90?
3=30（平方厘米）;
由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×
宽=96?
4=24（平方厘米）。
而长方体的表面积=（长×
宽+长×
高+宽×
高）×
2=（20+30+24）×
2=148（平方厘米）。
即
40?
2=20（平方厘米）
90?
3=30（平方厘米）
96?
4=24（平方厘米）
（30+20+24）×
=74×
=148（平方厘米）
原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4:
1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米;
如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米;
如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米,
2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。
原来厂房体的体积是多少立方厘米,
3、有一个厂房体如下图所示，它的正面和上面的面积之和是209。
如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少,
宽
长
高
例题5:
如图27-10所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。
求这个物体的表面积。
如果分别求出三个圆柱的表面积，再减去重叠部分的面积，这样计算比较麻烦。
实际上三个向上的面的面积和恰好是大圆柱的一个底面积。
这样，这个物体的表面积就等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积。
3.14×
1.5×
2+2×
1+2×
1×
0.5×
1
=3.14×
（4.5+3+2+1）
10.5
=32.97（平方米）
这个物体的表面积是32.97平方米。
练习5:
1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图27-11所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。
求这个零件的表面积。
2、用铁皮做一个如图27-12所示的工件（单位:
厘米），需用铁皮多少平方厘米,
3、如图27-13所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。
已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积（?
取3.14）。
答案:
练1
1、切下一块后，切口处的表面减少了前、后、上面3个1×
1的正方形，新增
加了左右下面三个1×
1的正方形，所以表面积大小不变。
2、4×
4×
6,2×
2,92平方厘米
233、中心挖去的洞的体积是:
3,1×
2,7立方厘米，挖洞后木块的体积:
3223,7,20立方厘米，中心挖洞后每面增加的面积是1×
4,1,3平方厘米，
2挖洞后木块的表面积:
（3+3）×
6,72平方厘米。
练2
1、从三个不同的方向看，得到图答27,1:
从上往下看从前往后看从左往右看
（1×
12+1×
8+1×
7）×
2,54平方厘米
2、（2×
9+2×
2,200平方厘米
3、因为64,4×
4，所以大正方形的棱长等于小正方形棱长的4被，那么大
正方体的表面积是小正方体的4×
4,16倍，小正方体的表面积是:
384?
16
24平方厘米
练3
1、将正方体分为两个长方体，表面积就增加了2个30?
6,15平方厘米，拼成
大正方体，表面积将减少两个拼合面的面积，正好是1个30?
6,15平方厘
米，所以大长方体的表面积是30+30+6,35平方厘米。
2、要是表面积最小，就要尽可能地把大的面拼合在一起。
表面积最小的拼法有
如图答27,2两种:
表面积都是（3×
3+3×
2）×
2,66平方厘米。
23、设大长方体的宽和高为x分米，长为2x分米，左面和右面的面积就是x平
22方分米。
其余的面积为2x平方分米，根据题意，大长方体的表面积是:
8x+8
2x,600x,5
大长方体的体积是:
5×
5,250立方分米
练4
1、（48?
2+65?
5+96?
2,122平方厘米
2、减少的表面积实质是高度分别为2厘米和3厘米的前、后、左、右四个面的
面积之和。
把两个合并起来，用120?
（2+3）,24厘米，求到正方体底面
6厘米。
圆长方体的体积是:
6×
的周长，正方体的棱长就是24?
4
（6+3+2）,396立方厘米
3、长方体正面及上面的面积之和恰好等于这个长方体的长×
（宽+高），209,
11×
19，所以长,11，宽+高,19，或长,19，宽+高,11，根据题意，宽
和高只能是17和2，长方体的体积就是11×
17×
2,374练5
21、40×
6+3.14×
10×
2,9651.2平方厘米
2、用两个同样的工件可拼成图答27,3的圆柱体。
15×
（46+54）?
2,2355平方厘米
42223、立方体的表面积和是:
10,4×
4,2×
（）,510.88平方厘米2
打洞后增加的面积是:
4223.14×
（10,4）+4×
（10,4）×
2+4×
2,3.14×
（）×
2,274.242平方厘米
表面积是:
510.88+274.24,785.12平方厘米
43232体积是:
2+4,3.14×
（10,4）,668.64平方厘米2
第28周表面积与体积
（二）
有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。
如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米,练习1:
1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。
把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米，如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，那么大水池水面将升高多少厘米,
2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）,
3、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积
一个底面半径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米,练习2:
1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。
现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（?
取3）,
2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高2.5厘米，玻璃杯内侧的底面积市2平方里。
在这个杯中放进棱长6厘米的正方形铁块后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米,
3、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方形容器里，直立放着一个长
100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。
这时容器里的水50厘米深。
现在把铁棍轻轻地向上方提起24厘米，露出睡眠的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米
某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。
当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积（如图28-1所示）。
1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。
求这个圆锥体的体积。
、一个正方体的纸盒中如图28-2所示，恰好能装入一个体积6.28立方厘2
米的圆柱体。
纸盒的容积有多大（?
取3.14）,
3、如图28-3所掷，圆锥形容器中装有3升水，水面告诉正好是圆锥高读的一半。
这个容器还能装多少水,
如果把12件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法,怎样打包物体的表面积最小呢,
a
c
b
图28—4
练习4:
1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的2件同样的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法,怎样打包，物体的表面积最小,
2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。
请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理,为什么,
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。
把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。
可以怎样包装,算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。
你认为哪一种包装比较合理,
一只集装箱，它的内尺寸是18×
18×
18。
现在有批货箱，它的外尺寸是1×
9。
问这只集装箱能装多少只货箱,
1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。
在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块,
2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米,
3、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米,
第二十九周抽屉原理
（一）
专题简析:
如果给你5盒饼干，让你把它们放到4个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉里至少有2盒饼干。
如果把4封信投到3个邮箱中，那么可以肯定有一个邮箱中至少有2封信。
如果把3本联练习册分给两位同学，那么可以肯定其中有一位同学至少分到2本练习册。
这些简单内的例子就是数学中的“抽屉原理”。
基本的抽屉原理有两条:
（1）如果把x+k（k?
1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有2个或2个以上的元素。
（2）如果把m×
x×
k（x,k?
1）个元素放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含有m+1个或更多个元素。
利用抽屉原理解题时要注意区分哪些是“抽屉”,哪些是“元素”,然后按以下步骤解答:
a、构造抽屉，指出元素。
b、把元素放入（或取出）抽屉。
C、说明理由，得出结论。
本周我们先来学习第
（1）条原理及其应用。
某校六年级有学生367人，请问有没有两个学生的生日是同一天,为什么,
把一年中的天数看成是抽屉，把学生人数看成是元素。
把367个元素放到366个抽屉中，至少有一个抽屉中有2个元素，即至少有两个学生的生日是同一天。
平年一年有365天，闰年一年有366天。
把天数看做抽屉，共366个抽屉。
把367个人分别放入366个抽屉中，至少在一个抽屉里有两个人，因此，肯定有两个学生的生日是同一天。
1、某校有370名1992年出生的学生，其中至少有2个学生的生日是同一天，为什么,
2、某校有30名学生是2月份出生的，能否至少有两个学生生日是在同一天,
3、15个小朋友中，至少有几个小朋友在同一个月出生,
某班学生去买语文书、数学书、外语书。
买书的情况是:
有买一本的、二本的、也有三本的，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）,
首先考虑买书的几种可能性，买一本、二半、三本共有7种类型，把7种类型看成7个抽屉，去的人数看成元素。
要保证至少有一个抽屉里有2人，那么去的人数应大于抽屉数。
所以至少要去7+1=8（个）学生才能保证一定有两位同学买到相同的书。
买书的类型有:
买一本的:
有语文、数学、外语3种。
买二本的:
有语文和数学、语文和外语、数学和外语3种。
买三本的:
有语文、数学和外语1种。
3+3+1=7（种）把7种类型看做7个抽屉，要保证一定有两位同学买到相同的书，至少要去8位学生。
1、某班学生去买语文书、数学书、外语书、美术书、自然书。
有买一本的、二本的、三本或四本的。
，问至少要去几位学生才能保证一定有两位同学买到相同的书（每种书最多买一本）,
2、学校图书室有历史、文艺、科普三种图书。
每个学生从中任意借两本，那么至少要几个同学才能保证一定有两人所借的图书属于同一种,
3、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的玻璃珠子，颜色有绿、红、黄三种，问最少要取出多少个珠子才能保证有两个同色的,
一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有3副同色的,
把四种不同的颜色看成是4个抽屉，把手套看成是元素，要保证有1副同色的，就是1个抽屉里至少有2只手套，根据抽屉原理，最少要摸出5只手套。
这时拿出1副同色的后，4个抽屉中还剩下3只手套。
再根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的，以此类推。
把四种颜色看成是4个抽屉，要保证有3副同色的，先考虑保证有一副就要摸出5只手套。
根据抽屉原理，只要再摸出2只手套又能保证有一副手套是同色的。
以此类推，要保证有3副同色的，共摸出的手套有
5+2+2=9（只）
最少要摸出9只手套才能保证有3副同色的。
1、一只袋中装有许多规格相同但颜色不同的手套，颜色有黑、红、蓝、黄四种。
问最少要摸出多少只手套才能保证有4副同色的,
2、布袋中有同样规格但颜色不同的袜子若干只。
颜色有白、黑、蓝三种。
问:
最少要摸出多少只袜子，才能保证有3双同色的,
、一个布袋里有红、黄、蓝色袜子各8只。
每次从布袋中拿出一只袜子，3
最少要拿出多少只才能保证其中至少有2双不同袜子,
任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数，这是为什么,
一个自然数除以4的余数只能是0，1，2，3。
如果有2个自然数除以4的余数相同，那么这两个自然数的差就是4的倍数。
一个自然数除以4的余数可能是0，1，2，3，所以，把这4种情况看做时个抽屉，把任意5个不相同的自然数看做5个元素，再根据抽屉原理，必有一个抽屉中至少有2个数，而这两个数的余数是相同的，它们的差一定是4的倍数。
所以，任意5个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是4的倍数。
1、任意6个不相同的自然数，其中至少有两个数的差是5的倍数，这是为什么,
2、任意取几个不相同的自然数，才能保证至少有两个数的差是8的倍数,
3、证明在任意的（n+1）个不相同的自然数中，必有两个数之差为n的倍数。
能否在图29-1的5行5列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线AD、BC上的各个数的和互不相同,
由图29-1可知:
所有空格中只能填写1或2或3。
因此每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是1×
5=5，最大是3×
5=15。
从5到15共有11个互不相同的整数值，把这11个值看承11个抽屉，把每行、每列及每条对角线上的各个数的和看承元素，只要考虑元素和抽屉的个数就可得出结论是不可能的。
因为每行、每列、每条对角线上的5个数的和最小是5，最大是15，从5到15共有11个互不相同的整数值。
而5行、5列及两条对角线上的各个数的和共有12个，所以，这12条线上的各个数的和至少有两个是相同的。
1、能否在6行6列方格表的每个空格中，分别填上1，2，3这三个数中的任一个，使得每行、每列及对角线上的各个数的和互不相同,为什么,
2、证明在8×
8的方格表的每个空格中，分别填上3，4，5这三个数中的任一个，在每行、每列及对角线上的各个数的和中至少有两个和是相同的。
3、在3×
9的方格图中（如图29-2所示），将每一个小方格涂上红色或者蓝色，不论如何涂色，其中至少有两列的涂色方式相同。
这是为什么,
1、1992年共有366天，把它看成是366个抽屉，把370个人放入366个抽屉中，至少有一个抽屉里有两个人，因此其中至少有2个学生的生日是同一天的。
2、2月份最多有29天，把它看作29个抽屉，把30名学生放入29个抽屉，至少有一个抽屉里有两个人，因此这30名学生中至少有两个学生的生日是在同一天。
3、一年有12个月，把12个月看作12个抽屉，把15个小朋友放入12个抽屉
中，至少有一个抽屉里有两个小朋友，因此至少有2个小朋友是才同一个月出生。
练2
1、买书的类型中买一本的有4种，买二本的有6种，买三本的有4种，买4本的有一种，共有4+6+4+1,15种情况。
把种15种情况看出15个抽屉，要保证有两位同学买到相同的书，至少要去16位学生。
2、从三周图书种任意借2
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